精品解析：山东淄博实验中学2025-2026学年高一第二学期质量检测教学质量

参照秘密级管理★启用前 2025—2026学年度第二学期高一教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为1. 2. 已知两个随机事件，相互独立， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件计算，再利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】由，则， 因为事件，相互独立，根据相互独立事件的概率乘法公式， 则. 3. 设一组数据的方差为0.1，则数据，，，…，的方差为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的定义求解. 【详解】设的均值为，则的均值为， 的方差为， 故选：C． 4. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解. 【详解】 如图所示，连接直线， 因为分别为直线和直线的中点， 所以为的中位线， 所以， 则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值， 因为, 所以平面, 平面, 所以, 所以为直角三角形， 所以. 故选：B. 5. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知模长等式平方求得与的数量积关系，再计算目标两向量的数量积为0，即可判断夹角为直角. 【详解】已知，则，展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 6. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 7. 如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先结合分别为中点的条件，通过向量中点公式将用、线性表示，再结合、的已知条件，将转化为以、为基底的线性形式，最后利用三点共线时向量系数和为的性质即可求解目标式. 【详解】∵ 为的中点，根据向量中点公式，可得. 又∵ 为的中点，∴ . 由题知，，变形得，，代入上式可得 . ∵三点共线，根据共线向量的系数性质，可得. 等式两边同乘，得. 8. 已知一个圆锥的底面半径为5，高为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切， 三个球都与圆锥的底面和侧面也相切， 则一个小球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径和高可得母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图， 则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心， 所以，沿所在的轴截面如图， 易知，所以，所以，解得， 所以小球的表面积. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】因为，所以，选项C错误； ，选项A正确； ，选项B错误； ，选项D正确. 10. 某新能源汽车公司对 600 辆汽车进行电池续航测试， 其中 360 辆为甲型车， 240 辆为乙型车．质检部门采用分层抽样(按车型分层)抽取 60 辆车，实测满电续航里程.经计算: 甲型车样本均值为 475 公里， 方差为 20; 乙型车样本均值为 465 公里; 所有 60 辆样本车的总方差为 48 ．下列说法正确的是（ ） A. 甲型车的样本容量为 36 B. 每辆乙型车被抽入到样本的概率为 C. 所有样本车的平均续航里程为 471 公里 D. 乙型车续航里程的样本方差为 30 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比公式，以及均值和方差公式，即可求解. 【详解】采用分层抽样（按车型分层）抽取 60 辆车，抽样比为. 对于A，依题意，甲型车的样本容量为，故A正确； 对于B， 乙型车的样本容量为，而每辆乙型车被抽入到样本的概率为，故B错误； 对于C，所有样本车的平均续航里程为公里，故C正确； 对于D，设乙型车续航里程的样本方差为， 由题意，，解得，故D正确. 11. 四面体 的体积为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 若该四面体有 1 条棱的长为 6，其余 5 条棱的长为 4，则 B. 若该四面体有 5 条棱的长为 2，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用体积分割法求解体积判断AB，利用三棱锥体积判断C，举反例判断D. 【详解】 对于B选项，如图1，， 取的中点，连接， 则，且， 所以为二面角的平面角， 当时，，B正确； 对于C选项，如图2，在中，，， 所以的高，则的面积为， 故当平面时，，C正确； 对于D选项，如图3，当，平面时，，D错误； 对于A选项，如图4，， 分别取的中点，连接， 则，且，， 平面，所以平面， 在中，，， 所以，A正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果。 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 13. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 【答案】82 【解析】 【分析】由百分位数求解即可. 【详解】设这100名学生成绩的61%分位数为x， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组内， 所以，解得，所以这200名学生成绩的61%分位数为82. 14. 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛规则约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到一人比另一人多得分或打满局时结束. 设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立. 则比赛结束时乙获胜且甲所得分数为分的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件知要打满局，且甲得分分，乙得分分，必须前局结束时双方分差小于（也就是，分差），且打完第局时双方分差仍然小于（也就是，分差）最后局全是乙胜，再利用相互独立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为比赛进行到一人比另一人多得分或打满局时结束，又比赛结束时乙获胜且甲所得分数为分， 则比赛要打满局才停止，且甲得分分，乙得分分， 则比赛前局都没有满足“分差达到分”的停止条件， 打完前局不停止：前局比分必须是（分差为，若分差为则提前停止）， 所以概率为， 前局未停止后，打完第局仍不停止，此时原本比分是，要继续不停止， 第局和第局仍必须是一胜一负，总比分变为，所以概率为， 第、局必须都是乙赢，概率为， 又各局胜负相互独立，因此所求概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量 . （1）若 ，求 ； （2）若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列出方程得到x，再得到的坐标，即可利用模长公式求解； （2）两个向量的数量积小于零且两向量不共线，求出范围即可． 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以， 故. 【小问2详解】 与 的夹角为钝角等价于且夹角不为. 由，解得， 若与的夹角为，则，即， 故x的取值范围是. 16. 已知中，角 的对边分别为 ，且 ， . （1）求角 的大小； （2）若 ，点 在边 上，且 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简得出，可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出以及，利用正弦定理求出的值. 【小问1详解】 由余弦定理，代入已知式子得到， 即， 因为，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 由题可得. 代入余弦定理，可得， 即，解得， 所以， 则，则， 在中由余弦定理， 解得， 由正弦定理，得 17. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，因为，点 为 的中点，所以，所以， 又因为 是等边三角形， 所以，所以，所以， 因为平面 ，所以 平面 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先应用四边形是平行四边形得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出二面角的平面角是，最后应用边长得出角的大小； （3）先设点到平面的距离为，应用等体积法计算求出，再应用线面角正弦计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，因为 是等边三角形，所以， 取，因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， ∴二面角的平面角是， 因为 是等边三角形，，所以， 所以，则，所以二面角 为． 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 所以，所以， 又因为，所以 ，所以， 设直线 与平面 所成角为，所以. 18. 如图，满足：，，动点，都在边上(点 靠近点，且. （1）若点是三等分点，求的周长； （2）若的面积是的面积的倍，求 的大小； （3）求面积的最小值，并求出此时的大小. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理求得，，进而可得是等边三角形，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理，求出，结合条件，由三角形面积公式，即可求解； （3）由（2）得，再求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为，，则， 由余弦定理得，所以，则， 在中，由余弦定理得， 解得，所以，则，所以， 则，又，所以是等边三角形，的周长为. 【小问2详解】 设，， 在中，由正弦定理得，所以， 又，所以， 则， 在中，，，由正弦定理， 得到， 所以， 因为的面积是的面积的倍，所以， 整理得到，所以，又，则， 所以，则. 【小问3详解】 由（2）知，又， 又，，则， 所以，则面积的最小值为， 此时，即. 19. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着太多关联．它的具体内容是：如图，若点是内一点，，，的面积分别为，，，则有 （1）若点为锐角的外心， ①证明：； ②若，求的取值范围. （2）若点为的内心， ①证明：(分别为角的对边)； ②若，求的最大值. 【答案】（1）①因为点为锐角的外心，所以（外接圆半径）， 由三角形面积公式及圆周角定理可知：， 因为和对应的弧相同， 所以，即， 同理可得： ， ， 因此，， 根据题设给出的“奔驰定理”：， 将比例代入即可得：. ② （2）①因为点为的内心，设内切圆半径为， 则，，， 因此，， 根据奔驰定理， 将比例代入可得：. ② 【解析】 【分析】（1）①利用外心到三顶点距离相等（均为外接圆半径），由三角形面积公式及圆周角定理（圆心角为对应圆周角的2倍），得出面积之比，代入奔驰定理直接得证；②由①式对比已知条件的系数，得到，代入并利用两角和正弦公式，二倍角公式化简，再由锐角三角形的限制解得，结合二次函数性质得出范围. （2）①利用内心到三边距离相等（均为内切圆半径），由三角形的面积公式，得出面积之比，代入奔驰定理即可得证；②由①式的向量关系，将向量起点统一转化为点，可得，从而得出，利用余弦定理与基本不等式，构造出，代入的表达式即可求出最大值. 【小问1详解】 ①略 ②由①的结论可知：， 移项得：， 对比已知条件，得到： ，， 所以， 已知，且，则， 代入得： ，， 所以， 因为， ， 再化简得， 令，因为为锐角三角形，故， 由得；由得， 所以，则，得， 二次函数开口向上，对称轴， 故 即. 【小问2详解】 ①略 ②由①的结论， 将其转化为以点为起点的向量，即，，， 代入得： 解得：， 对比，可知： ，， 所以， 已知，由余弦定理得： ， 将代入得： ， 由于，则， 所以， 即（当且仅当时取等号）， 因此，， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 2025—2026学年度第二学期高一教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2. 已知两个随机事件，相互独立， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 设一组数据的方差为0.1，则数据，，，…，的方差为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 2 4. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， 为 的中点， 为 的中点，过点 任作一直线 分别交 于 两点，若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 已知一个圆锥的底面半径为5，高为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切， 三个球都与圆锥的底面和侧面也相切， 则一个小球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某新能源汽车公司对 600 辆汽车进行电池续航测试， 其中 360 辆为甲型车， 240 辆为乙型车．质检部门采用分层抽样(按车型分层)抽取 60 辆车，实测满电续航里程.经计算: 甲型车样本均值为 475 公里， 方差为 20; 乙型车样本均值为 465 公里; 所有 60 辆样本车的总方差为 48 ．下列说法正确的是（ ） A. 甲型车的样本容量为 36 B. 每辆乙型车被抽入到样本的概率为 C. 所有样本车的平均续航里程为 471 公里 D. 乙型车续航里程的样本方差为 30 11. 四面体 的体积为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 若该四面体有 1 条棱的长为 6，其余 5 条棱的长为 4，则 B. 若该四面体有 5 条棱的长为 2，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长为，则它的体积为___________． 13. 某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 14. 甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛规则约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到一人比另一人多得分或打满局时结束. 设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立. 则比赛结束时乙获胜且甲所得分数为分的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量 . （1）若 ，求 ； （2）若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围. 16. 已知中，角 的对边分别为 ，且 ， . （1）求角 的大小； （2）若 ，点 在边 上，且 ，求 . 17. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是平行四边形， ，点 为 的中点， 是等边三角形， . （1）求证: 平面 ； （2）求二面角 的大小； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 如图，满足：，，动点，都在边上(点 靠近点，且. （1）若点是三等分点，求的周长； （2）若的面积是的面积的倍，求 的大小； （3）求面积的最小值，并求出此时的大小. 19. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心(重心、内心、外心、垂心)有着太多关联．它的具体内容是：如图，若点是内一点，，，的面积分别为，，，则有 （1）若点为锐角的外心， ①证明：； ②若，求的取值范围. （2）若点为的内心， ①证明：(分别为角的对边)； ②若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $