精品解析：山东东营神州天立高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

2025-2026学年东营神州天立高级中学高二下学期期末 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应位置. 2.全部答案必须写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（为z的共轭复数），则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 某班级开展研学活动，安排5名同学去3个不同场馆志愿服务，每个场馆至少安排1名同学，每名同学只去1个场馆，则不同的安排方案共有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 240种 8. 已知函数，则函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，存在极小值 C. 当时，在上无零点 D. 当时，在处取得最小值 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 周长为 C. 点P到焦点的距离取值范围为 D. 椭圆上不存在点P，使得 11. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______________. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________. 14. 已知随机变量，且，若随机变量，则______________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 在长方体中，，，E为棱上一动点. （1）求证：； （2）当平面时，求线段的长度； （3）在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 某工厂生产一种精密零件，为把控产品质量，质检部门对生产的零件进行抽样检测，已知单个零件的合格率为0.8，每次抽检相互独立. （1）连续抽检4个零件，求至多有1个不合格零件的概率； （2）若每次抽检5个零件，记不合格零件数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）为优化生产工艺，工厂改进设备后合格率提升至0.95，现抽检100个零件，估计不合格零件数的均值. 19. 已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年东营神州天立高级中学高二下学期期末 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应位置. 2.全部答案必须写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，即，故； 由得，故，所以. 2. 已知复数z满足（为z的共轭复数），则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 将，代入，两边同乘整理得， 则，解得， 于是，. 3. 已知平面向量，满足，，，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，的夹角为， 因为，，， ， 解得. 4. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对求导得：，由题意在恒成立， 即在恒成立， 时，，故. 5. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 6. 已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和为的性质求解本题. 【详解】，，故，， 所以，当时，最大. 7. 某班级开展研学活动，安排5名同学去3个不同场馆志愿服务，每个场馆至少安排1名同学，每名同学只去1个场馆，则不同的安排方案共有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 240种 【答案】B 【解析】 【分析】先分类讨论5名同学的分组情况，分组之后将各组的同学分到3个场馆只需全排列即可. 【详解】依题意，5名同学有3，1，1和2，2，1两种分组方式， 故方案数为. 8. 已知函数，则函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先使用二倍角公式化简，再使用辅助角公式合并为正弦型函数，最后求出函数在上的最小值. 【详解】 所以，， 由，得，故 所以，函数在上的最小值为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，存在极小值 C. 当时，在上无零点 D. 当时，在处取得最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导分析函数的单调性，从而得到函数的极值和最值来进行判断. 【详解】选项A：当时，，在上单调递增，故选项A正确； 选项B：，求导可得， 因为， 所以当时，解得， 因此当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以存在极小值，故选项B正确； 选项C：当时，，在上单调递增， 因为，，所以在上有零点，故选项C错误； 选项D：当时，，求导可得， 当时，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得最小值.故选项D正确. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 周长为 C. 点P到焦点的距离取值范围为 D. 椭圆上不存在点P，使得 【答案】ABC 【解析】 【详解】，则， 椭圆C的离心率为，故A正确； 周长为，故B正确； 点P到焦点的距离取值范围为，即，故C正确； 当点位于短轴顶点时最大，此时，则， 此时，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的判定方法可判断A，由点和到平面的距离不相等可判断B，由三棱锥的体积公式可判断C，将平移并结合余弦定理可判断D. 【详解】A选项，直线平面，而与平面相交，且交点不在直线上， 所以直线与直线为异面直线，故A正确； B选项，点到平面的距离为1，而点到平面的距离为2， 所以直线与平面不平行，故B错误； C选项，三棱锥的体积，故C错误； D选项，连接，交于点，连接， 由是的中点，是的中点，所以， 则直线与直线所成角为或其补角， ，，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得切线斜率及切线所过点，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】设，则. 由题可得切线斜率为，切线过点， 则切线方程为：. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的通项公式为______________. 【答案】 【解析】 【详解】由等比性质可得：，结合得， 即，解得，又数列各项均为正数，故， ，故数列的通项公式为. 14. 已知随机变量，且，若随机变量，则______________. 【答案】0.2## 【解析】 【分析】由正态分布密度曲线对称性结合题设可得答案. 【详解】因随机变量，则随机变量对应正态分布密度曲线对称轴为，从而， 又，则. 又，从而. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，再根据等比中项列式求解即可. （2）根据（1）得到的通项公式，以及裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设公差为，由题意，即， 解得，故. 【小问2详解】 已知，则， 所以. 16. 在长方体中，，，E为棱上一动点. （1）求证：； （2）当平面时，求线段的长度； （3）在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 【答案】（1）因为长方体，且， 所以平面，且， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面，平面，所以 . （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）由长方体的结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，设（），标注相关点坐标，应用向量法求平面的法向量，结合线面平行有求参数值，即可得； （3）结合（2），设内切圆上的点，，确定相关向量的坐标，应用点面距离的向量求法得点P到平面距离，设，，应用三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面，所以，即，解得， 所以线段的长度为1 ； 【小问3详解】 由（2）知，，，平面的法向量， 底面正方形的内切圆圆心为，半径. 设内切圆上的点，，则， 所以. 点P到平面距离， 设，， 则 ，其中，， 当时，取最大值，为， 所以点P到平面距离的最大值为 . 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，无极值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到的单调性可得结果； （2）将恒成立问题转化为求在上的最小值，解不等式可得结果. 【小问1详解】 的定义域为，， 故在上单调递增，无极值. 【小问2详解】 ，由恒成立可得，即. 18. 某工厂生产一种精密零件，为把控产品质量，质检部门对生产的零件进行抽样检测，已知单个零件的合格率为0.8，每次抽检相互独立. （1）连续抽检4个零件，求至多有1个不合格零件的概率； （2）若每次抽检5个零件，记不合格零件数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）为优化生产工艺，工厂改进设备后合格率提升至0.95，现抽检100个零件，估计不合格零件数的均值. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032 数学期望为1，方差为0.8 （3）5 【解析】 【分析】（1）先求得单个零件的不合格率，再利用独立重复试验的概率求解； （2）由不合格零件数X服从二项分布求解； （3）由不合格零件数服从二项分布求解. 【小问1详解】 单个零件的不合格率为, P（0个不合格）, P（1个不合格）, 所以连续抽检4个零件，至多有1个不合格零件的概率为： ； 【小问2详解】 因为每次抽检的5个零件相互独立，故不合格零件数X服从二项分布， X的可能取值为0，1，2，3，4，5，相应的概率为：， 则，， ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.32768 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.00032 数学期望为，方差为； 【小问3详解】 因为工厂改进设备后合格率提升至0.95，所以单个零件的不合格率为： ， 因为每次抽检的100个零件相互独立，故不合格零件数Y服从二项分布， 所以不合格零件数的均值. 19. 已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意寻找方程，求解基本量 （2）设直线方程，引入参数，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入斜率之和为零的等式中计算未知数的值即可 【小问1详解】 由题意，得，解得， 故． 代入点，得，解得， 故． 由，得，故离心率. 【小问2详解】 设直线的方程为，由题意可知存在且． 联立消去，得， 设， 则， 由韦达定理，得． 由已知，得， 所以． 整理得． 代入得． 解得，符合． 所以直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $