1.3用反比例函数解决问题 同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 练习以反比例函数应用为核心，分基础、中档、提高三层，覆盖概念理解到综合应用，适配新授课巩固与能力提升，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数定义、简单计算|单选1-5、填空11-14，单一知识点直接应用，强化概念理解| |中档层|图像分析、情境问题|单选6-10、填空15-18，多情境数据处理，提升推理能力| |提高层|跨知识点综合应用|解答19-22，实际问题建模与求解，发展应用意识|

1.3用反比例函数解决问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（    ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 2．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 则功率与做功的时间之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 4．交警常用呼气式酒精测试仪检测司机是否酒后驾驶．该仪器的原理图如图（1）所示，其中R为气敏阻，R与酒精气体浓度的关系如图（2）所示，为定值电阻，电源电压U不变．闭合开关，当酒精气体浓度增大时，下列说法正确的是（    ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，总电阻等于各个电阻的阻值之和． 3．该电路中的电流 A．气敏电阻R的阻值增大 B．电路中的总电阻增大 C．电流表的示数减小 D．电压表的示数增大信息框 5．固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 7．发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知,，，则整个冷却塔的高度为（   ） A． B． C． D． 8．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 9．在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用（k是常数）来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在的范围内，那么需求量D的范围为（    ） A． B． C． D． 10．如图1是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当R从增加到时，电功率P减少了，则当时，（   ） ． A． B． C． D． 二、填空题 11．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．那么当时，氧气的密度______． 12．某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是________． （2）当时，放水的平均速度为________． 13．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为______亿米/秒． 14．根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 15．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 16．在对物体做功一定的情况下，力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是______m． 17．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 18．小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为______千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为______． 三、解答题 19．人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 20．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 21．某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 22．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3用反比例函数解决问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D C D B B A C 1．A 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，关键是运用待定系数法求函数解析式. 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴， 故选A. 3．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 4．D 【分析】本题考查了根据函数图象中获取信息，反比例函数的实际应用，根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可，熟练根据图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：由图（2）可知，当酒精气体浓度增大时，气敏电阻R的阻值减小，故选项A错误； 根据串联电路电阻特点，总电阻，R减小，减小，故选项B错误； 由可知，电路中的电流I增大，即电流表的示数增大，故选项C错误； 电压表测两端电压，，I增大，不变，所以增大，即电压表的示数增大，故选项D正确． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 7．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——发电厂的双曲线冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键．设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为． 【详解】解：设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故选：B． 8．B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 9．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，先求出反比例函数解析式，根据条件列出关于的不等式组，解出不等式组的解集即可． 【详解】解：当该商品价格为50元时，需求量为100件． ． 反比例函数解析式为， 当商品价格控制在的范围内时则有， 解得：， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键．根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程，据此可得P的值，进而得出的值，再把代入函数关系式解答即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ， 当时，， 即当时，P的值为， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．根据题意可设（为质量是定值，且），求出关于的函数解析式，即可得解． 【详解】解：由题意可设（为质量是定值，且）， ， 解得：， ， 当时，， 故答案为：． 12． 400 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及求函数值．根据“水量放水速度放水时间”即可列出v与t的函数表达式，再将代入求解即可． 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 13． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意确定光的传播速度与介质折射率的反比例函数关系． 先根据表格数据判断光的传播速度与介质折射率成反比例关系，设出反比例函数解析式，代入已知数据求出，得到函数解析式，再将普通玻璃的折射率代入解析式，求出光在其中的传播速度． 【详解】解：由表格可知， ∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系． ∴光的传播速度（亿米/秒）与介质折射率之间的函数解析式为． 将代入， 得（亿米/秒）． 答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 设出反比例函数解析式，把，坐标代入可得函数解析式，再将代入即可求得结果． 【详解】解：∵在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比 ∴设压强与体积的表达式为， 将，代入得：，解得：， ∴， 当气舱容积为，即时，． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系；根据路程=速度×时间，利用路程相等列出关系式即可解决问题． 【详解】解：由题意， 即， 故答案为：． 16．12 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把代入计算即可得． 【详解】解：∵力（单位：）与此物体在力的方向上移动的距离（单位：）成反比例函数关系， ∴设其函数关系式为， 将点代入得：， ∴这个反比例函数的解析式为， 把代入得：， 即当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是． 故答案为：12． 17． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 将代入上式， 解得：， ∴． 故答案为：． 18． 540 / 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 19．(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 20．(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2)老师的教学设计能实现，见解析 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 21．(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 22．(1)2 (2) (3) 解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $