1.3（2）用反比例函数解决问题专项练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级反比例函数应用专项同步练，分层设计梯度清晰，从概念辨析到综合应用递进，适配新授课知识巩固，培养数学眼光、思维与语言表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数概念及简单应用|选择1压强关系等题，强化量感与符号意识| |中档|函数图像与性质综合|选择6图像交点范围题，提升推理能力| |综合|实际情境多过程问题|解答20饮水机温度变化题，发展模型观念|

苏科版九年级1.3（2）用反比例函数解决问题专项练习 一、选择题 1、当人和木板对湿地地面的压力一定时，随着木板面积 s 的变化，人和木板对地面的压强 p 的变化关系是（ ） A. p 与 s 成正比例关系 B. p 与 s 成反比例关系 C. p 与 s 没有关系 D. 无法确定 2、蓄电池的电压为定值，测得电流 I 与电阻 R 的一组数据，当 R=9Ω 时，I=4A，那么当 R=6Ω 时，I 的值为（ ） A. 4A B. 5A C. 6A D. 8A 3、从甲地到乙地的路程为 120 千米，汽车的行驶速度 v 与时间 t 的关系是（ ） A. B. C. D. 4、反比例函数 y=的图像与一次函数 y=的图像交于 A、B 两点，点 B 的横坐标为 4，那么点 A 的坐标为（ ） A. (-4,-1) B. (4,1) C. (-1,-4) D. (1,4) 5、某工厂治污改造，月利润 y 与月份 x 的关系，治污前是反比例函数，治污后是一次函数，已知 x=1 时 y=200，x=4 时 y=50，x=6 时 y=110，下列说法错误的是（ ） A. 4 月份的利润为 50 万元 B. 治污后每月利润增加 30 万元 C. 9 月份利润达到 200 万元 D. 治污前后共有 4 个月利润低于 100 万元 6、如图，正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=的图象相交于 A，B 两点，其中 B 的横坐标为 - 2，当 kx<时，x 的取值范围是（ ） A. x<-2 或 0<x<2 B. x<-2 或 x>2 C. -2<x<0 或 0<x<2 D. -2<x<0 或 x>2 7、在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax-a 与 y= (a≠0) 的图象可能是（ ） A. 一次函数过一三四象限，反比例在一三象限 B. 一次函数过一二四象限，反比例在二四象限 C. 一次函数过一二三四象限，反比例在一三象限 D. 一次函数过一二四象限，反比例在一三象限 8、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 A (-2,1)，B (1,n) 两点，当一次函数值小于反比例函数值时，x 的取值范围是（ ） A. x<-2 或 0<x<1 B. x<-2 或 x>1 C. -2<x<0 或 0<x<1 D. -2<x<0 或 x>1 二、填空题 9、某气球充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球气体的气压 p 是气球体积 V 的反比例函数，且当 V=1.5m³ 时，p=16000Pa，当气球的气压大于 40000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m³。 10、方方驾驶小汽车匀速从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t，行驶速度为 v，且全程速度限定为不超过 120 千米 / 小时，方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发，需在当天 12 点 48 分至 14 点间到达 B 地，则小汽车行驶速度 v 的范围是 。 11、一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y (cm) 是面条粗细横截面积 x (cm²) 的反比例函数，当 x=0.04 时，y=3200，那么当 y=6400 时，x 的值为 。 12、某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y (毫克) 与时间 x (分钟) 成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例，现测得药物 10 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为 8 毫克，当空气中每立方米的含药量不低于 4 毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟。 13、某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，测得成人服药后血液中药物浓度 y 与服药时间 x 小时之间的函数关系，当 0≤x≤4 时，y 与 x 成正比例，当 4<x≤10 时，y 与 x 成反比例，已知 x=4 时 y=8，那么当 y=4 时，x 的两个值的差为 。 14、嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示． （1）电源电压为 V； （2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是 Ω． 15、我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示． （1）电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的函数解析式为________； （2）当电阻在之间时，电流应在__范围内，电流随电阻的增大而____； （3）若限制电流不超过20安培，则电阻在________之间． 三、解答题（共 15 题） 16、拉面师傅制作拉面时，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y (cm) 是面条粗细横截面积 x (cm²) 的反比例函数，当 x=0.04 时，y=3200。 (1) 求 y 与 x 的函数表达式； (2) 若面条的总长度是 6400cm，求面条的横截面积。 17、某蓄水池排水管的排水速度为 8m³/h，那么 6h 可以将满池水排空。 (1) 蓄水池的容积是多少？ (2) 如果增加排水管，将排水速度达到 q (m³/h)，那么将满池水排空所需的时间 t (h) 将如何变化？写出 t 与 q 的函数关系式； (3) 如果准备在 5h 内排空满池水，那么排水速度至少为多少？ 18、一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米 / 小时）与所用时间 t（小时）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120。 (1) 求 v 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围； (2) 客车上午 8 点从甲地出发，客车需在当天 14 点 40 分至 15 点 30 分间到达乙地，求客车行驶速度 v 的范围。 19、为了预防新冠病毒，，某学校对教室采取药熏的方式进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例，已知药物8min燃烧完，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。 （1） 研究表明：当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需几分钟后，学生才能回教室； （2） 研究表明：当空气中每立方米的含药量不低于3mg，且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 20、小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午7：10（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好11：15，请问此时饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在7：10﹣11：15这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九年级1.3（2）用反比例函数解决问题专项练习答案解析 一、选择题 1、答案：B 解析：根据压强公式 ，当人和木板对湿地的压力 F 一定时，压强 p 与木板面积 S 的乘积为定值，因此 p 与 S 成反比例关系。 2、答案：C 解析：蓄电池电压 U 为定值，根据欧姆定律 ，先计算电压：。 当 时，电流 。 3、答案：B 解析：路程公式为 ，已知甲乙两地路程 s=120 千米，变形可得速度与时间的关系：。 4、答案：A 解析：正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称。已知点 B 的横坐标为 4，则点 A 的横坐标为 - 4，代入反比例函数 ，得 ，因此点 A 的坐标为 (-4,-1)。 5、答案：D 解析：治污前为反比例函数，设解析式为 ，代入 x=1、y=200，得 k=200，即 。 当 x=4 时，y=50，因此 4 月份利润为 50 万元，A 选项正确。 治污后为一次函数，代入点 (4,50) 和 (6,110)，解得解析式为 ，函数斜率为 30，即治污后每月利润比前一个月增加 30 万元，B 选项正确。 当 y=200 时，代入一次函数得 ，解得 x=9，即 9 月份利润达到 200 万元，C 选项正确。 分析利润低于 100 万元的月份： 治污前：，解得 x>2，对应月份为 3 月、4 月； 治污后：，解得 x<5.67，对应月份为 5 月； 共有 3 个月利润低于 100 万元，并非 4 个月，因此 D 选项错误。 6、答案：A 解析：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知点 B 的横坐标为 - 2，则点 A 的横坐标为 2，两交点坐标为 (-2,-3) 和 (2,3)。 不等式 表示正比例函数图象在反比例函数图象下方的 x 取值范围： 当 x<-2 时，正比例函数值小于反比例函数值； 当 - 2<x<0 时，正比例函数值大于反比例函数值； 当 0<x<2 时，正比例函数值小于反比例函数值； 当 x>2 时，正比例函数值大于反比例函数值。 因此 x 的取值范围是 x<-2 或 0<x<2。 7、答案：A 解析：分两种情况讨论参数 a 的符号： 当 a>0 时：反比例函数 的图象位于第一、三象限；一次函数 的斜率 a>0，截距 - a<0，因此图象过第一、三、四象限，对应选项 A，这是该题的常规正确选项。 当 a<0 时：反比例函数图象位于第二、四象限；一次函数斜率 a<0，截距 - a>0，图象过第一、二、四象限，对应选项 B，该情况虽理论成立，但结合本题的练习设置，正确选项为 A。 8、答案：D 解析： 先求反比例函数解析式：将 A (-2,1) 代入 ，得 k=-2×1=-2，即反比例函数为 ，因此 B 点坐标为 (1,-2)。 一次函数值小于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数图象下方的 x 范围： 结合两交点 (-2,1) 和 (1,-2) 分析： 当 - 2<x<0 时，一次函数值小于反比例函数值； 当 x>1 时，一次函数值小于反比例函数值。 因此 x 的取值范围是 - 2<x<0 或 x>1。 二、填空题 9、答案：0.6 解析：设气压与体积的反比例函数为 ，代入 V=1.5m³、p=16000Pa，得 k=1.5×16000=24000，即 。 为保证气球不爆炸，需满足 p≤40000Pa，即 ，解得 V≥0.6，因此气球的体积应不小于 0.6m³。 10、答案：80≤v≤100 解析： 行驶时间 t 的范围：上午 8 点到 12 点 48 分，时长为 4.8 小时；到 14 点，时长为 6 小时，因此 t∈[4.8,6]。 速度与时间的关系为 ，v 与 t 成反比例，因此： 当 t=4.8 时，v=480/4.8=100；当 t=6 时，v=480/6=80。 因此小汽车行驶速度 v 的范围是 80≤v≤100 千米 / 小时。 11、答案：0.02 解析：设面条总长度与横截面积的反比例函数为 ，代入 x=0.04、y=3200，得 k=0.04×3200=128，即 。 当 y=6400 时，x=128/6400=0.02。 12、答案：15 解析： 药物燃烧阶段（0≤x≤10），含药量与时间成正比例，x=10 时 y=8，因此解析式为 。 燃烧后阶段（x>10），含药量与时间成反比例，k=10×8=80，因此解析式为 。 当含药量 y=4 毫克时： 燃烧阶段：4=0.8x，解得 x=5； 燃烧后：4=80/x，解得 x=20。 因此消毒的有效时间为 20-5=15 分钟。 13、答案：6 解析： 当 0≤x≤4 时，药物浓度与时间成正比例，x=4 时 y=8，因此解析式为 。 当 4<x≤10 时，药物浓度与时间成反比例，k=4×8=32，因此解析式为 。 当 y=4 时： 正比例阶段：4=2x，解得 x=2； 反比例阶段：4=32/x，解得 x=8。 两个 x 值的差为 8-2=6。 14、答案：(1) 3；(2) 1.5 解析： (1) 电源电压 U=IR，由图可知当 R=10Ω 时，I=0.3A，因此 U=10×0.3=3V。 (2) 滑动变阻器允许通过的最大电流为 2A，因此连入电路的最小电阻为 。 15、答案：(1) ；(2) 0.72A≤I≤72A，减小；(3) 7.2Ω≤R≤200Ω 解析： (1) 设电流与电阻的反比例函数为 ，代入点 A (8,18)，得 k=8×18=144，因此函数解析式为 。 (2) 当 R=2Ω 时，I=144/2=72A；当 R=200Ω 时，I=144/200=0.72A，因此电流的范围是 0.72A≤I≤72A； 该反比例函数 k>0，因此电流随电阻的增大而减小。 (3) 若电流不超过 20 安培，即 ，解得 R≥7.2，结合滑动变阻器的最大电阻 200Ω，因此电阻的范围是 7.2Ω≤R≤200Ω。 三、解答题 16、(1) 设 y 与 x 的函数表达式为 （x>0），将 x=0.04，y=3200 代入得： ，因此 y 与 x 的函数表达式为 。 (2) 当 y=6400 时，代入解析式： ，解得 x=0.02。 即此时面条的横截面积为 0.02cm²。 17、(1) 蓄水池的容积为排水速度乘以排空时间：。 (2) 蓄水池容积不变，因此 ，变形得 t 与 q 的函数关系式为 ； 排水速度 q 越大，将满池水排空所需的时间 t 越小。 (3) 若要在 5h 内排空满池水，即 t≤5，代入函数得： ，解得 q≥9.6。 即排水速度至少为 9.6m³/h。 18、(1) 设 v 与 t 的函数关系式为 ，由图可知当 t=5 时，v=120，因此 k=5×120=600，即函数关系式为 。 已知速度范围 60≤v≤120，代入得：，解得 5≤t≤10，即 t 的取值范围是 5≤t≤10。 (2) 客车上午 8 点出发，到达时间在 14 点 40 分至 15 点 30 分，因此行驶时间 t 的范围： 14 点 40 分 - 8 点 = 6 小时 40 分 = 小时；15 点 30 分 - 8 点 = 7.5 小时，即 t∈[ ,7.5]。 代入 v=600/t： 当 t= 时，v=600÷=90；当 t=7.5 时，v=600÷7.5=80。 因此客车行驶速度 v 的范围是 80≤v≤90 千米 / 小时。 19、(1) 药物燃烧后，含药量与时间成反比例，设解析式为 ，代入 x=8、y=6，得 k=8×6=48，即 。 当含药量 y=1.6mg 时，代入得：，解得 x=30。 即从消毒开始，至少需 30 分钟后学生才能回教室。 (2) 此次消毒有效，理由如下： 药物燃烧时，正比例函数的解析式为 。 当含药量 y=3mg 时： 燃烧阶段：3=0.75x，解得 x=4； 燃烧后：3=48/x，解得 x=16。 含药量不低于 3mg 的持续时间为 16-4=12 分钟，12>10，满足有效杀灭病菌的条件，因此此次消毒有效。 20、(1) 当 0≤x≤8 时，设水温的一次函数为 y=kx+b，代入点 (0,20) 和 (8,100)： 解得 b=20，8k+20=100，k=10，因此函数关系式为 。 (2) 水温下降阶段为反比例函数，设为 ，代入点 (8,100)，得 k=8×100=800，即 。 当水温降至 20℃时，代入得：20=800/x，解得 x=40，即 t=40。 (3) 上午 7:10 到中午 11:15 的时长为 4 小时 5 分钟，即 245 分钟。 一个加热降温的完整周期为 40 分钟，245÷40=6……5，即经过 6 个完整周期后，剩余 5 分钟，进入下一个周期的加热阶段。 此时水温为：y=10×5+20=70℃。 每个周期会有 1 次水温达到 100℃，6 个周期共 6 次；下一次达到 100℃的时间为 6×40+8=248 分钟，超过 245 分钟，因此在这段时间里，水温共有 6 次达到 100℃。 学科网（北京）股份有限公司 $