精品解析：贵州省遵义市红花岗区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期遵义市红花岗区八年级期末试卷 数学 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 6的倒数为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若点，在一次函数的图象上，且，则下列k的取值符合条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8. 某市大力发展光伏新能源产业，技术员检测9块光伏板单日发电量（单位：度），测得的数据分别为12.1，12.5，12.8，13.2，13.6，13.9，14.2，14.2，14.8．则该组发电量数据的上四分位数是（ ） A. 14.05 B. 14.2 C. 14.35 D. 14.5 9. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ） A. 65平方里 B. 60平方里 C. 325平方里 D. 30平方里 11. 如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：____________． 14. 若点在直线上，则______． 15. 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件___________使四边形是平行四边形． 16. 如图，在菱形中，，，在内部作，交的延长线于点P，点M是上一点，连接．若，则线段的长为____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简：，然后从，1，0，3中给选取一个合适的值，再求分式的值． 18. 智能手机的普及给中学生带来便利的同时，沉迷游戏、短视频等问题日渐突出，直接影响中学生身心健康．为了解学生周末使用手机的时间，某中学对全校学生开展了调查，现从中随机抽取50名学生的手机使用时间进行统计分析，时间用x（单位：h）表示，且x是整数，将使用时间分为五组（A：，B：，C：，D：，E：．），得到如下信息： C组数据统计表 使用时间/h 4 5 人数（频数） 8 12 手机使用时间频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取学生的周末使用手机时间的中位数是 ，众数是 ； （2）若该校共有1000名学生，请估计周末使用手机时间达到4小时以上（含4小时）的学生人数； （3）请结合以上数据，为该校学生周末使用手机提出一条合理的建议． 19. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，在（1）的条件下，若，，求的长． 20. 如图，正方形网格上的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，并在图中标上字母（要求线段的端点在格点上）； （2）在图2中，点E在格点上，画，使得，，，且D，F在格点上．并判定三角形的形状，说明理由． 21. 为增强学生体质，某校计划购买排球和足球供更多学生参加体育锻炼，有如下条件： ①购买2个排球和3个足球共需210元； ②购买4个排球和5个足球共需370元． ③足球的单价比排球的单价多20元； （1）从①②③中任选2个作为已知条件，求排球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买排球和足球共40个，且购买排球的数量不超过购买足球的3倍．设购买排球个，购买排球和足球的总费用为元． ① 求与之间的函数关系式； ② 请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 22. “善思”学习小组学习了一次函数后，发现食堂的碗叠在一起，叠放成一摞碗的总高度（单位：cm）与碗的数量x（单位：个）满足一次函数关系： /个 1 2 3 4 8 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．下表是该小组经过测量得到的与之间的对应数据： （1）请求出关于的函数解析式； （2）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？ 23. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线：与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线对应的解析式； （2）求的面积； （3）点是直线上一动点，过点作轴，交直线于点，当时，求点的坐标． 25. 综合探究 【教材呈现】 （1）如图，正方形中，点是边上的一个动点（不与，重合），连接，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：． 小明的证明思路如下，请补全过程， 在上截取，连接， ∵在正方形中，，， ∴，， 又∵平分， ∴ ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【类比探究】如图，正方形中，为对角线上一点（不与，重合），连接，过点作，交射线于点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （2）当点在线段上时，求证：； （3）试探究线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期遵义市红花岗区八年级期末试卷 数学 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 6的倒数为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】6的倒数为. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 3. 据统计，贵州省2025年总量约为23600亿元，数据23600用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：∵把23600的小数点向左移动4位可得到，满足，， ∴． 4. 为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若和分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，越稳定，即波动越小，由统计图可知甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，据此可得答案． 【详解】解：观察统计图可知，甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，故， 故选：B． 5. 如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，所以四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 6. 若点，在一次函数的图象上，且，则下列k的取值符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知点的横坐标和对应纵坐标的大小关系，判断一次函数的增减性，得到k的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵点，满足，且， ∴在一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴， 选项中只有符合条件，故选项D符合题意． 7. 如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，从而得到是是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边的中点， ∴是是的中位线， ∵， ∴． 故选：B 8. 某市大力发展光伏新能源产业，技术员检测9块光伏板单日发电量（单位：度），测得的数据分别为12.1，12.5，12.8，13.2，13.6，13.9，14.2，14.2，14.8．则该组发电量数据的上四分位数是（ ） A. 14.05 B. 14.2 C. 14.35 D. 14.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查上四分位数的计算，按照分位数的计算步骤，先确认数据已完成排序，再确定位置，最终确定对应上四分位数即可． 【详解】解：方法一：题目中数据已经从小到大排列，总数据个数， ∴上四分位数为后四个数13.9，14.2，14.2，14.8的中位数， ∵后四个数的中位数为， ∴该组发电量数据的上四分位数是． 方法二：计算位置参数， ∵不是整数，根据分位数计算规则，取大于的最小整数对应位置的数据作为分位数， ∴上四分位数为排序后第7个数据， ∴该组发电量数据的上四分位数是． 9. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，分别交于点D，E，连接，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由线段的垂直平分线的性质得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A． 10. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为（ ） A. 65平方里 B. 60平方里 C. 325平方里 D. 30平方里 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方里）． 故选：D． 11. 如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直角三角形的性质得出，由勾股定理得，然后通过阴影部分的面积为，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为 ． 12. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若点在直线上，则______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点在直线上， ∴将代入，则 解得． 15. 如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件___________使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加，根据平行四边形的性质可得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，在内部作，交的延长线于点P，点M是上一点，连接．若，则线段的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，交于点，先求出的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 整理得：， 利用平方根的性质得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简：，然后从，1，0，3中给选取一个合适的值，再求分式的值． 【答案】（1） （2）；当时，原式或当时，原式 【解析】 【分析】（1）先利用加法的交换律和结合律变形，然后合并同类项即可求解； （2）先将分式通分，再计算同分母分式的减法，然后化简得到，判断分式有意义时的取值情况，可知或，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴，， ∴当时，原式；当时，原式． 18. 智能手机的普及给中学生带来便利的同时，沉迷游戏、短视频等问题日渐突出，直接影响中学生身心健康．为了解学生周末使用手机的时间，某中学对全校学生开展了调查，现从中随机抽取50名学生的手机使用时间进行统计分析，时间用x（单位：h）表示，且x是整数，将使用时间分为五组（A：，B：，C：，D：，E：．），得到如下信息： C组数据统计表 使用时间/h 4 5 人数（频数） 8 12 手机使用时间频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取学生的周末使用手机时间的中位数是 ，众数是 ； （2）若该校共有1000名学生，请估计周末使用手机时间达到4小时以上（含4小时）的学生人数； （3）请结合以上数据，为该校学生周末使用手机提出一条合理的建议． 【答案】（1）， （2）周末使用手机时间达到4小时（含4小时）的学生人数约700人 （3）控制手机使用时间，有益于身心健康．（合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （2）根据样本估计总体的思想进行解答即可； （3）根据实际情况提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取50名学生的手机使用时间进行统计分析， ∴抽取学生的周末使用手机时间的中位数是从小到大排列后的第个和第个数据的平均数， ∵A组和B组的人数和为，A组、B组、C组的人数和为， ∴中位数是C组的第10个和第11个数据的平均数，即为， ∵C组中出现了12次，次数最多， ∴众数为； 【小问2详解】 解：（人） 答：周末使用手机时间达到4小时（含4小时）的学生人数约700人． 【小问3详解】 合理的建议为：控制手机使用时间，有益于身心健康．（合理即可） 19. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）过点作于点，在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）的长为 【解析】 【分析】（1）先由两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合一组邻边相等，根据菱形定义证明平行四边形为菱形； （2）菱形对角线互相垂直平分，先用勾股定理求出菱形边长，再利用菱形面积两种计算方式(对角线乘积一半、底高)建立等式，求出高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，互相垂直平分， ，， 在中， ，， ，，， ， ， ， ． 20. 如图，正方形网格上的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，并在图中标上字母（要求线段的端点在格点上）； （2）在图2中，点E在格点上，画，使得，，，且D，F在格点上．并判定三角形的形状，说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图2所示，三角形 即为所求； 是直角三角形，理由如下： ，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点和勾股定理画出长度为和的线段和即可； （2）根据网格的特点和勾股定理画出，并利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：由图可知，； 【小问2详解】 略 21. 为增强学生体质，某校计划购买排球和足球供更多学生参加体育锻炼，有如下条件： ①购买2个排球和3个足球共需210元； ②购买4个排球和5个足球共需370元． ③足球的单价比排球的单价多20元； （1）从①②③中任选2个作为已知条件，求排球和足球的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买排球和足球共40个，且购买排球的数量不超过购买足球的3倍．设购买排球个，购买排球和足球的总费用为元． ① 求与之间的函数关系式； ② 请给出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）选①和②；排球的单价是30元，足球的单价是50元（其它组合也可） （2）① ；②当购买排球30个，足球10个时，最省钱，最少费用为1400元 【解析】 【分析】（1）设排球和足球的单价分别是元，元．选①和②或②和③或①和③列二元一次方程组，求解即可； （2）①根据题意列出与之间的函数关系式； ②根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：选①和② 设排球和足球的单价分别是元，元．则： 解得， 答：排球的单价是30元，足球的单价是50元． （或选②和③：设排球和足球的单价分别是元，元．则： 解得， 答：排球的单价是30元，足球的单价是50元． 选①和③：设排球和足球的单价分别是元，元．则： 解得， 答：排球的单价是30元，足球的单价是50元． 【小问2详解】 解：① ； ②根据题意，得：， 解得， ，且为整数， ， 随的增大而减小， 当时，（元）， 答：当购买排球30个，足球10个时，最省钱，最少费用为1400元． 22. “善思”学习小组学习了一次函数后，发现食堂的碗叠在一起，叠放成一摞碗的总高度（单位：cm）与碗的数量x（单位：个）满足一次函数关系： /个 1 2 3 4 8 如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．下表是该小组经过测量得到的与之间的对应数据： （1）请求出关于的函数解析式； （2）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？ 【答案】（1） （2）每一摞最多叠放11个碗 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，可得到，解不等式，取最大值即可． 【小问1详解】 解：∵与成一次函数关系， ∴设与的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， ∴关于的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意可知高度不超过， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴最大值， 答：每一摞最多叠放11个碗． 23. 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E． （1）求证：，； （2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1）见解析；（2）方法一：；方法二：；见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中，，则求出后可列式计算得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； （3）由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线：与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线对应的解析式； （2）求的面积； （3）点是直线上一动点，过点作轴，交直线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 先求出点，联立方程组，求得，然后通过即可求解； 设点的坐标为，则点的坐标为，然后分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：设直线对应的解析式为， 则 ， 解得， ∴直线对应的解析式为； 【小问2详解】 解：由直线：可得当时，则， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，则点的坐标为， 当点在线段上时，， 解得， ∴点的坐标为； 当点在线段的延长线上时，， 解得， ∴点的坐标为， 综述：点的坐标为或． 25. 综合探究 【教材呈现】 （1）如图，正方形中，点是边上的一个动点（不与，重合），连接，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：． 小明的证明思路如下，请补全过程， 在上截取，连接， ∵在正方形中，，， ∴，， 又∵平分， ∴ ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 【类比探究】如图，正方形中，为对角线上一点（不与，重合），连接，过点作，交射线于点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （2）当点在线段上时，求证：； （3）试探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），； （2）证明：如图，过点作于点，于点，在上截取，连接， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在正方形的对角线上， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，当点在边上时，过点作于点，于点，连接， ∴， 由知四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 由知， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴； 如图，当点在边延长线上时，过点作于点，于点，连接， 同理可证， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴； 综上所述：． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，证明即可； （2）过点作于点，于点，在上截取，连接，则有，由四边形是正方形，则有，所以四边形是矩形，再证明四边形是正方形，则有，所以，即，再证明，由全等三角形的性质可得； （3）分当点在边上时和当点在边延长线上时两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：在上截取，连接， ∵在正方形中，，， ∴，， 又∵平分， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $