第十八讲 函数模型的应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数模型应用高考核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数等模型及实际问题解决步骤，按“模型类型-应用步骤-题型归纳”逻辑架构知识点。通过必掌握知识点梳理、必考题型方法指导与真题训练，帮助学生突破模型选择与变量抽象难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以真实情境问题驱动教学，如在指数衰减模型中，通过污染物过滤实例引导学生用数学眼光观察变量关系，用数学思维推导函数解析式，培养模型意识与应用能力。设置从基础模型到综合应用的分层题型，配合解题策略总结，帮助学生高效掌握实战技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习 第十八讲 函数模型的应用 【学习目标】能结合现实情境，合理选择函数模型，并进一步利用模型解决实际问题. 【学习重点】将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系. 【学习难点】函数模型的应用． 必掌握知识点 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (、为常数，) 反比例函数模型 ，为常数且) 二次函数模型 (、，为常数，) 与指数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与对数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与幂函数相关模型 (、，为常数，) 2.利用函数模型解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 题型一、 指数衰减模型（污染物、药物残留、衰变） 1．规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 题型二、 逻辑斯谛增长模型（人口阻滞增长） 3．某城市人口增长满足逻辑斯谛模型：，其中为年后的人口数，为环境承载量，为增长率，为常数．已知该城市初始人口万，承载量万，且10年后人口达到400万．则人口增长到800万大约需要多少年？（参考数据： ） （    ） A．25年 B．27年 C．28年 D．30年 题型三、 对数模型（声压级、分贝、对数比较大小） 4（多选）．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 题型四、 等差 + 等比数列综合实际应用（逐年投入、逐年收入） 5.（多选）．某地准备投入资金发展旅游产业，根据规划，本年度投入1000万，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游产业收入估计为500万，由于该项建设对旅游有促进作用，预计今后每年的旅游业收入会比上年增加100万．记n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，则（    ） A． B． C．经过4年后旅游业总收入就超过总投入 D．经过5年后旅游业总收入就超过总投入 6．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，年投入万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入. （参考数据：，，） 题型五、 二次函数 + 对勾函数分段利润应用题（生产销售成本利润） 7．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 8．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完. (1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十八讲 函数模型的应用 【学习目标】能结合现实情境，合理选择函数模型，并进一步利用模型解决实际问题. 【学习重点】将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系. 【学习难点】函数模型的应用． 必掌握知识点 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (、为常数，) 反比例函数模型 ，为常数且) 二次函数模型 (、，为常数，) 与指数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与对数函数相关模型 (、，为常数，且，) 与幂函数相关模型 (、，为常数，) 2.利用函数模型解决实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 必考题型全归纳 题型一、 指数衰减模型（污染物、药物残留、衰变） 1．规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，，因此，至少还需过滤20小时，故选：B. 2．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示. 驾驶行为类别 阈值 饮酒驾车 醉酒驾车 经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升. (2)6小时 【分析】（1）分别求出两段函数的最值，再进行比较即可求出的最大值； （2）解不等式即可. 【详解】（1）当时，，故当时，即时，； 当时，在上单调递减， 故.综上，， 所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升. （2）当时可以驾车，且， 因，故， 令，得，即，得 因，则的最小值为6，故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车. 题型二、 逻辑斯谛增长模型（人口阻滞增长） 3．某城市人口增长满足逻辑斯谛模型：，其中为年后的人口数，为环境承载量，为增长率，为常数．已知该城市初始人口万，承载量万，且10年后人口达到400万．则人口增长到800万大约需要多少年？（参考数据： ） （    ） A．25年 B．27年 C．28年 D．30年 【答案】C 【分析】由和求得，然后再求得，结合条件代入即可求解． 【详解】由题意，，即，解得， 由10年后人口达到400万，可得，化简得：， 即，解得. 设人口增长到800万大约需要年，则，化简得， 则， 故选：C． 题型三、 对数模型（声压级、分贝、对数比较大小） 4（多选）．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：，且，则， 即，可得，且，所以，故D正确.故选：ACD． 题型四、 等差 + 等比数列综合实际应用（逐年投入、逐年收入） 5（多选）．某地准备投入资金发展旅游产业，根据规划，本年度投入1000万，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游产业收入估计为500万，由于该项建设对旅游有促进作用，预计今后每年的旅游业收入会比上年增加100万．记n年内（本年度为第1年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，则（    ） A． B． C．经过4年后旅游业总收入就超过总投入 D．经过5年后旅游业总收入就超过总投入 【答案】AD 【分析】根据题意结合等差、等比数列的求和公式，可判定A正确，B不正确，分别求得的值，结合，可判定C错误；又由，，且时，，结合，可判定D正确. 【详解】由题意知，旅游产业的投入构成首项为万元，公比为的等比数列， 则年内总投入为（万元），所以A正确； 又由旅游产业收入构成首项为万元，公差为万元的等差数列， 则旅游业总收入为（万元），所以B不正确； 当时，可得，，此时，所以C错误； 当时，可得，，此时， 当时，可得，，此时， 当时，，且在上单调递增， 所以当时，， 又因为，所以当时，， 所以经过5年后旅游业总收入就超过总投入，所以D正确.故选：AD. 6．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，年投入万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设年内（年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入. （参考数据：，，） 【答案】(1)；. (2)年. 【分析】（1）根据题意可得每年的旅游业投入与旅游业收入分别构成等比数列，根据等比数列的前项和公式可得，的表达式； （2）列不等式，换元后解不等式即可，注意结合实际解答. 【详解】（1）由题意知第1年旅游业投入万元，第2年旅游业投入万元，第年旅游业投入万元，所以 . 由题意知第1年旅游业收入万元，第2年旅游业收入万元，第年旅游业收入万元，所以. （2）旅游业的总收入超过总投入，即，所以， 令，代入上式得， 化简整理得，解得（舍去）或, 即，两边取常用对数得， 即，所以， 即，所以至少到年，旅游业的总收入才能超过总投入. 题型五、 二次函数 + 对勾函数分段利润应用题（生产销售成本利润） 7．Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. (1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，且最大值为115万元 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. （2）由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 8．如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰,寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元,每生产千件需另投入资金万元,其中与之间的关系为:,且函数的图象过,,三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内生产的此吉祥物能全部销售完. (1)求a,b,c的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 【答案】(1); (2)产量为（千件）时,利润最大为（万元） 【分析】(1)根据将,,三点代入中,即可求出a,b,c的值,根据利润等于收益减总成本,列出关系,将代入即可; (2)根据(1)中的解析式,分别求出,时的最值,进行比较即可求得最大年利润. 【详解】（1）解:将,,三点代入中有: ,解得,故, 由题知; （2）由(1)知, 当时,, 所以当（千件）时,（万元）, 当时, , 当且仅当,即（千件）时取等, 所以（万元）, 综上: 当（千件）时,（万元） 所以当年产量为24千件时,该厂的年利润最大,最大年利润76万元. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $