2.9 函数模型及其应用讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用核心考点，涵盖指数、对数、幂函数等模型的性质比较及一次、二次、分段等常见模型的实际应用，按“知识梳理-性质对比-模型应用”逻辑架构知识点，通过知识复习巩固基础，典例精讲指导方法，真题训练突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于结合直播会员增长、AI训练效率等真实情境案例设计问题，引导学生用数学眼光观察数据特征，用数学思维分析模型适用性，通过“模型选择-参数求解-实际预测”三步教学法培养模型观念和应用意识。设置分层例题配合数据处理训练，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2.9 函数模型及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 第二部分：典型例题 典例一：几类不同增长的函数模型 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 4．（25-26高三上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 5．（25-26高三上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 典例二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型） 7．（25-26高三上·云南昆明·期末）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的调查情况如下列表格所示： 人均GDPx（千美元） 0.5 1 3 4 7 8 人均A饮料销售量（L） 1.0625 2 4.5 5 3 2 (1)给出下列几个函数模型：①；②；③；④（表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）.用哪个函数模型来描述人均GDP与人均A饮料销售量的关系更合适？说明理由. (2)根据表中数据，把（1）中你所选的函数模型求出来，并求出各个区域中，年人均A饮料的销售量最多是多少？ 8．（24-25高二下·北京怀柔·期末）年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 9．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 10．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 11．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 12．（24-25高三上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 13．（25-26高三上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 14．（25-26高三上·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 15．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 16．（25-26高三上·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17．（25-26高三上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 18．（25-26高三上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 20．（25-26高三上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 典例三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型） 21．（25-26高二下·贵州·阶段检测）工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（     ） （参考数据：，，） A．220 B．250 C．270 D．280 23．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 24．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 25．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 26．（25-26高三上·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 27．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 典例四：利用给定函数模型解决实际问题 28．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 29．（2026·安徽·模拟预测）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·山东枣庄·三模）为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 31．（2026·福建厦门·模拟预测）某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 32．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.9 函数模型及其应用（精讲） 第一部分：知识复习 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f(x)取最小值2. 第二部分：典型例题 典例一：几类不同增长的函数模型 1．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 【答案】(1)最符合实际的函数模型为①，理由见解析 (2)函数解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是增加的，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案. 【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且的变化随的增大而增大得越来越快，故排除AC，对比BD选项，D选项的预测值远大于实际数据，因此排除D，故选B. 3．（25-26高三上·湖北武汉·期中）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)选模型③， (2)至少需要小时 (3) 【分析】（1）根据的增长速度可选择模型③，再结合表格中的数据可求得模型的函数解析式； （2）解不等式，可得结论； （3）求得，且，，于是得出，构造函数，其中，由题意可知函数在上的最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. （2）由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. （3）由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. 4．（25-26高三上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【分析】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 5．（25-26高三上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】(1)选择模型③，理由见解析；； (2)分钟. 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 【详解】（1）是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， 由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 6．（25-26高三上·福建漳州·期末）近年来，漳州文旅直播平台以“闽南文化推广”为主题，聚焦漳州土楼，闽南古厝，漳州小吃等内容.从2025年初上线后会员人数逐月增加，下表是平台上线第个月的会员人数统计： 平台上线第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请恰当选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，若平台会员人数至少达到12万才能开启“漳州非遗专场直播”，请问至少第几个月才能开启该专场直播. 【答案】(1)①，理由见解析 (2)，至少第11个月 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将两组数据组代入模型，求出，即可求得解析式，再求出时的最小正整数解即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增长速度随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数的增长速度随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，当时，会员人数的增长速度随增大而减缓，符合题意. 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将数据组代入，得，解得. 因此. 函数在定义域上单调递增. 令，则，所以. 因为，且，所以. 所以所求函数模型的解析式为，预测至少第11个月会员人数达到12万. 典例二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型） 7．（25-26高三上·云南昆明·期末）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的调查情况如下列表格所示： 人均GDPx（千美元） 0.5 1 3 4 7 8 人均A饮料销售量（L） 1.0625 2 4.5 5 3 2 (1)给出下列几个函数模型：①；②；③；④（表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）.用哪个函数模型来描述人均GDP与人均A饮料销售量的关系更合适？说明理由. (2)根据表中数据，把（1）中你所选的函数模型求出来，并求出各个区域中，年人均A饮料的销售量最多是多少？ 【答案】(1)用①比较合适，理由见解析 (2)， 【分析】（1）先判断函数单调性，结合表中的数据是不单调的，故选择①； （2）由于是两个待定系数，我们选取两个点，利用待定系数法求出函数解析式，从而可求出销售量的最大值. 【详解】（1）用①函数模型比较合适，因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减，而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适， 故用①比较合适. （2）由（1）得所选函数模型为，因为人均GDP在1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5升. 则 ∴ ∵， ∴当时，年人均饮料的销售量最多是 8．（24-25高二下·北京怀柔·期末）年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 【答案】(1)； (2)公里/小时. 【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可； （2）利用基本不等式计算即可得出． 【详解】（1）已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时，所以司机工资为元， 装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； （2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 9．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 11．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 12．（24-25高三上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 13．（25-26高三上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【分析】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【详解】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 14．（25-26高三上·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【分析】（1）根据给定条件，分段列式求出函数解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式分段求解即得最大值. 【详解】（1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 15．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【分析】先判断时酒精含量均高于合法阈值，再对的情况列不等式，通过对数运算求解时间范围即可. 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 16．（25-26高三上·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)，540元 【分析】（1）分与两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x的函数； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可． 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 17．（25-26高三上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，， (2)答案见详解 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得； （2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 18．（25-26高三上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述： 2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 19．（25-26高三上·贵州遵义·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 20．（25-26高三上·上海·阶段检测）现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 典例三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型） 21．（25-26高二下·贵州·阶段检测）工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，可以计算出常数；再令准确率提升倍数时，计算出. 【详解】根据该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数， 又已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，那么 ，故， 令，得 ， ，，故C正确. 22．（25-26高二下·北京朝阳·阶段检测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中，为常数，.已知，，则电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加（     ） （参考数据：，，） A．220 B．250 C．270 D．280 【答案】C 【分析】先根据条件求和的值，再求电池健康度为时对应的的值，再计算的值即可. 【详解】因为，所以，解得； 由，所以，所以. 设，则，所以，所以. 所以. 因为，所以电池健康度从衰减到，循环次数大约需要增加次. 23．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 24．（2026·北京西城·二模）某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 25．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 26．（25-26高三上·贵州毕节·期中）中国茶文化源远流长，是中华文明的重要组成部分，从神农时代至今，茶文化已经在中国发展了4700多年，形成了独特的精神内涵和表现形式.若把一杯刚泡的茶水放在冷空气中冷却，茶水初始的温度为，空气温度为（），则经过后茶水的温度（单位：）可由公式（其中，）求得，其中是一个随着茶水与空气的接触状况而定的正的常数.现在有85的一杯茶水，放在25的空气中冷却，20min以后的温度是35. (1)求的值； (2)若将100的茶水，放在20的空气中冷却，该茶水的温度降至24需要多少分钟？（精确到小数点后一位）（参考数值：，，） (3)该函数模型为（其中，，），请结合实际意义对函数模型及其系数，给出合理的解释. 【答案】(1) (2)33.4分钟. (3)当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 【分析】（1）结合已知条件及指数函数、对数的运算求解即可. （2）根据指数函数的模型，结合指数与对数的互化、对数的运算求解即可. （3）结合函数模型分析其实际意义，分析解释即可. 【详解】（1）由题意知，，即， 所以，解得. （2）设该物体需要放置分钟温度降至24，由题意知，，即. 由（1）知，所以，即， 所以， 故该茶水的温度降至24需要33.4分钟. （3）当时，物体初始温度； 当时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度， 又当时，，因此，， 故. 当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度是先快后慢，故函数模型是合理的. ：代表环境温度，是茶水冷却过程中温度趋近的极限值； ：代表茶水初始温度与环境温度的差值，差值越大，初始冷却速度越快. 27．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【答案】(1)； (2)散点图； (3)的预测值与实际值之差的绝对值更小. 【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间； （3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可. 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 典例四：利用给定函数模型解决实际问题 28．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 29．（2026·安徽·模拟预测）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为贮存费为，且订货费为，所以总费用为，易知每天所需平均成本费用为. 设，. 令，解得. 又因为，单调递减，，单调递增. 所以时最小. 30．（2026·山东枣庄·三模）为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 【答案】(1)分布列如下： 60 70 80 90 数学期望 (2)的最大值为11.7，取得最大值时的值为. 【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可； （2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可. 【详解】（1）由题可知，可能取值为：60、70、80、90. ， ， ， ， 所以消费者购买一件该产品的实际支付金额的分布列为： 60 70 80 90 数学期望为： . （2）设优惠券实际成本为，则 且支付金额的期望 ， 所以， 即： 求导得： ， 令，解得： ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时 ， 即：的最大值约为11.7，取得最大值时的值约为. 31．（2026·福建厦门·模拟预测）某工厂的产量Q（单位：件）与资本投入K（单位：万元）、劳动投入L（单位：人）满足柯布-道格拉斯生产函数（其中，，为常数）.在劳动投入不变的前提下，要使该工厂的产量提升20%，资本投入需增加60%，则该工厂资本产出的弹性系数约为（    ）（参考数据：，） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意可得，又， 两式相除可得，两边取对数可得， 所以，所以. 32．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $