第二十二讲 三角函数的图象与性质（一）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、单调性等内容，按“基础知识点梳理-复合函数性质-题型应用”逻辑架构，通过表格对比、方法归纳、分题型训练，帮助学生构建知识网络，突破值域、单调区间求法等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如题型二通过三角恒等变换与辅助角公式化简函数，引导学生抽象模型，掌握整体代换求单调区间的方法。设置分层练习与真题演练，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2027届高三数学一轮复习 第二十二讲 三角函数的图象与性质（一） 【学习目标】能解决与三角函数有关的函数定义域和值域、单调性问题. 【学习重点】三角函数的图象与性质. 【学习难点】三角函数值域、单调区间的求法． 必掌握知识点 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 3.与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心．假设．①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设．①对于， ②对于， 必考题型全归纳 题型一、三角函数定义域求解（正弦、余弦、正切复合） 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得的取值集合即得。 【详解】由题得，，解得，则函数的定义域为.故选：D 【点睛】本题考查正切函数的定义域，是基础题。 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【解析】先找到在内的定义域，再加上周期的整数倍即可 【详解】解：在内，由，得， 由，得或，所以或， 所以函数的定义域为，故选：C 【点睛】此题考查含正弦、正切的复合函数的定义域，属于基础题 3．函数 的定义域为________________． 【答案】 【分析】函数有意义，等价于 ，利用辅助角公式将其化成 ，借助于正弦函数的图象即可求得. 【详解】函数有意义，即 ，因 ， 故不等式等价于，即 ， 由正弦函数的图象可知，，即 故原函数的定义域为.故答案为： 4．函数的定义域为_____. 【答案】 【分析】要使有意义，则有且，解三角不等式可得答案. 【详解】要使有意义，则有且 由得，由得 因为 所以原函数的定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查求具体函数的定义域，考查解三角不等式，考查正弦函数和正切函数图像的性质，属于基础题. 5．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)且.(2)(3) 【分析】（1）根据分式函数的意义与正切函数的定义域列不等式计算即得； （2）根据根式函数有意义得三角不等式，结合正弦函数的图象即可求得； （3）根据根式函数与对数函数有意义列不等式，利用正弦函数的图象求解即得. 【详解】（1）要使函数有意义，需使， 所以且， 故的定义域为且. （2）因为，即，得， 所以函数的定义域是. （3）要使函数有意义，需使， 由，可得；由，可得，解得. 综上可得函数的定义域为. 题型二、三角恒等变换 + 辅助角公式，化简正弦型函数 6．已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角变换公式可得，求出函数在上的最大值后可得，从而可得正确的选项. 【详解】， 因为，故，故， 故， 因为在上恒成立，故即， 故选：A. 7．已知函数，，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，增区间为，减区间为， 【分析】（1）由即可求； （2）利用三角恒等变换先化简，进而求的值域和单调区间. 【详解】（1）由题设知 ∵  ∴； （2）∴， ，∴的值域为， 令，解得，令，解得， 所以的增区间为，减区间为， 8．已知函数．求： （1）函数的单调递减区间，对称轴，对称中心； （2）当时，函数的值域． 【答案】（1）单调递减区间为；对称轴为，；对称中心为，；（2）． 【分析】（1）首先化简函数解析式得到，然后结合函数的图象与性质即可求出单调递减区间，对称轴和对称中心； （2）由求得，即可求出值域. 【详解】（1）化简可得， 由，，可得，， ∴函数的单调递减区间为， 令，可得，故函数的对称轴为，； 令，得，故函数的对称中心为，． （2）当时，， ∴，∴，∴函数的值域为． 题型三、正弦 、 余弦型函数图像与性质（周期、对称轴、对称中心、单调区间、值域） 9．已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上单调递减 【答案】B 【分析】根据周期的定义、对称轴的定义，结合换元法、正弦型函数的最值性质、单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为 ， 所以不是函数的一个周期，因此本选项说法不正确； B：因为 ， 所以是函数的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：令， 则， 对两边同时平方，得 ，，该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，当时，函数取得最大值，因为， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，因此本选项说法不正确； D： 当时，， 所以函数单调递减，且， 由上可知：函数的对称轴为，所以该函数在上先增后减， 因为函数在上不单调，所以本选项说法不正确.故选：B 10．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得，所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值.故选：D. 11．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心，其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据正切函数的定义域及单调区间，分析即可判断①的正误；利用诱导公式，结合正弦函数的奇偶性，可判断②的正误；将代入解析式，根据正弦函数的对称性，可判断③的正误；根据周期性的定义，结合解析式，分析计算，可判断④的正误；求出的对称中心，赋值检验，可判断⑤的正误. 【详解】对于①：的定义域为， 在每个区间单调递增，在整个定义域内不是增函数，故①错误； 对于②：，为奇函数，故②正确； 对于③：当时，，， 所以是函数的一条对称轴方程，故③正确； 对于④：假设是周期函数，设最小正周期为， 则，即， 取，得，则， 取，得，则， 联立方程无解，故不存在非零实数T，满足， 即函数不是周期函数，故④正确； 对于⑤：令，解得， 所以函数的图象的对称中心为， 令得一个对称中心为，故⑤正确.故答案为：②③④⑤ 12．已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间. （2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的最小正周期； 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，得，而在上单调递减，在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，而，则， 所以函数在区间上的值域为. 13．已知函数 （Ⅰ）求的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求的单调递增区间． 【答案】 单调递增区间为和（） 【考点定位】本题考查三角函数知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手． 【详解】（1）只需，∴∴的定义域为 ∴最小正周期为 （2），∴， ∴的单调递增区间为和（） 14．已知函数. (1)求的单调递减区间和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)单调递减区间是，对称中心是 (2) 【分析】（1）化简的解析式，根据三角函数单调区间、对称中心的求法（整体代入法）求得正确答案. （2）根据三角恒等变换的知识求得，根据三角函数值域的求法求得在上的值域. 【详解】（1） . 令，解得， 即的单调递减区间是. 令，解得，所以的对称中心是. （2）将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，即. 当，所以， 所以，即在上的值域为. 题型四、三角函数图像平移、伸缩变换 15（多选）．给出以下命题正确命题的选项为（    ） A．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位 B．函数的最大值为2 C．定义运算，则且，设，则的值域为 D．函数，当等时恒有解，则的范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由三角函数的平移变化即可判断A；对于B，用正、余弦的和差角公式及辅助角公式化简为，即可判断B；对于C，取时，即可判断C；对于D，将化简，然后用二次函数求最值，即可判断D. 【详解】对于A，将图象沿轴方向向左平移个单位，则，所以A正确； 对于B，，当时，，所以B正确. 对于C，，即，当时，，，所以C错误. 对于D， ，令， ，所以在上单调递增，，，当时恒有解，则 所以的范围是，所以D正确.故选：ABD. 16．已知函数． (1)求函数的最大值； (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间 【答案】(1)4； (2)，. 【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可； （2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1） ∴当时取得最大值4； （2）因为把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所以， 令，可得函数的单调递减区间为，． 17．已知函数. (1)求函数的单调递减区间和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，当时，求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由三角函数恒等变换公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得单调区间与对称中心； （2）由三角函数图象变换求得，再利用对称性求得值，得函数解析式，然后结合正弦函数性质求得值域． 【详解】（1）， 令（），则（）， 所以函数的单调递减区间为（）. 令，则，，所以函数的对称中心为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 因为的图象关于直线对称，所以，即，， 又，所以.所以. 因为，所以，所以的值域为. 题型五、三角函数值域 18．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，，所以的值域为． 19（多选）．设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数，当时，， 当时，，故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：    对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确.故选：ABD 20．函数的值域为______. 【答案】 【分析】将函数分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决. 【详解】解法一：， 因为，所以，因此或， 则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得， 易知，所以，则，解得或， 故的值域为. 21．已知函数． Ⅰ若，求的值； Ⅱ设函数，求函数的值域． 【答案】Ⅰ；（2） 【分析】（1）利用两角和差公式将函数拆解，即可得到结果；（2）利用两角和差公式和辅助角公式将整理为，即可求得值域. 【详解】（I） （II）     ，即的值域为 【点睛】本题考查型的函数值域的求解，关键在于将已知的三角关系式通过公式整理为的形式，再进行求解. 22．由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是； (2). 【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得. （2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得. 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则，所以m的取值范围是. 23．已知函数. （1）化简并求的值. （2）设函数且，求函数的单调区间和值域. 【答案】（1）；（2）减区间为，增区间为；值域为 【解析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，然后代值求解即可； （2）由（1）可得的解析式，再求单调区间和值域. 【详解】（1）， . （2）∵，∴， ∴的减区间为，增区间为； ∵，∴，∴ ∴的值域为. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简三角函数，以及求解正弦函数的单调区间、值域的问题，属综合基础题. 题型六、解不等式 24．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时， ，∴f(1)=0， 又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数，又是定义在R上的偶函数，故f(x)>0时，x>1，或x<−1， 故时,>1,或 <−1，解得：x∈，故选C 点睛：解抽象不等式的常规思路为借助单调性把问题转化为具体不等式的解法问题，在本题中，函数为偶函数，利用图象的对称性，在y轴两侧分别处理不等式即可. 25．已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】 当时，由，即，则，即 当时，由，得，解得 则当时，不等式的解为 则由为偶函数，当时，不等式的解为 即不等式的解为或 则由或，解得：或 即不等式的解集为 点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当时，不等式的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域的解，即可得到结论． 26．是定义在R上的函数，是的导函数，已知，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，进而结合条件判断出函数的单调性，然后将原不等式变形并根据函数的单调性解出答案. 【详解】令函数，则.因为，所以，在R上单调递增.又，而等价于，即，所以，解得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十二讲 三角函数的图象与性质（一） 【学习目标】能解决与三角函数有关的函数定义域和值域、单调性问题. 【学习重点】三角函数的图象与性质. 【学习难点】三角函数值域、单调区间的求法． 必掌握知识点 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 3.与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心．假设．①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设．①对于， ②对于， 必考题型全归纳 题型一、三角函数定义域求解（正弦、余弦、正切复合） 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D．且 3．函数 的定义域为________________． 4．函数的定义域为_____. 5．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3) 题型二、三角恒等变换 + 辅助角公式，化简正弦型函数 6．已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 8．已知函数．求： （1）函数的单调递减区间，对称轴，对称中心； （2）当时，求函数的值域． 题型三、正弦 、 余弦型函数图像与性质（周期、对称轴、对称中心、单调区间、值域） 9．已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上单调递减 10．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 11．下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心，其中正确的是______（写出所有正确答案的序号） 12．已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，(2) 13．已知函数 （Ⅰ）求的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求的单调递增区间． 14．已知函数. (1)求的单调递减区间和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的值域. 题型四、三角函数图像平移、伸缩变换 15（多选）．给出以下命题正确命题的选项为（    ） A．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位 B．函数的最大值为2 C．定义运算，则且，设，则的值域为 D．函数，当等时恒有解，则的范围是 16．已知函数． (1)求函数的最大值； (2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间 17．已知函数. (1)求函数的单调递减区间和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个长度单位，得到函数的图象，若的图象关于直线对称，当时，求函数的值域. 题型五、三角函数值域 18．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 19（多选）．设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 20．函数的值域为______. 21．已知函数． Ⅰ若，求的值； Ⅱ设函数，求函数的值域． 22．由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 23．已知函数. （1）化简并求的值. （2）设函数且，求函数的单调区间和值域. 题型六、解不等式 24．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为 A． B． C． D． 25．已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为__________． 26．是定义在R上的函数，是的导函数，已知，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $