第22讲三角函数的图象与性质（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦三角函数的图象与性质高考核心考点，系统梳理定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性、单调性及图象变换等内容，以知识清单为基础，通过7类典例精讲、6大方法技巧指导和分层训练，帮助学生构建知识网络，突破高频难点。 讲义创新采用“解题大招”提升复习效率，如用整体代换法求单调区间培养数学思维，五点法速画图象强化数学眼光，结合近3年高考真题及分层练习，助力学生精准掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第22讲三角函数的图象与性质 （知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 三角函数的定义域、值域与最值 单选、填空 5分 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 单选、填空 5分 三角函数的单调性与单调区间 单选、填空、解答题 5分/12分 函数 的图象与变换 单选、填空、解答题 5分/12分 三角函数图象与性质综合应用 单选、填空、解答题 5分/12分 【知识点01】用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)(π，－1)(2π，1). 【例1】用“五点法”作出函数 在一个周期内的简图 解：步骤1：求周期 函数中 ，最小正周期 ，一个周期的区间长度为 。 步骤2：列表求五个关键点 令 分别取 ，解出 和 ： 步骤3：描点、连线，得到一个周期内的简图（关键点为 ）。 【知识点02】正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【例2】求函数 的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标。 解：（1）最小正周期 函数中 ，最小正周期 。 （2）单调递增区间 令 解不等式： 即 故单调递增区间为 。 （3）对称轴方程 令 解得：，即 故对称轴方程为 。 （4）对称中心坐标 令 解得：，即 故对称中心坐标为 。 【题型一】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象为（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 当时，，所以，故排除C. 故选：B 【变式2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】联立方程直接求解即可. 【详解】令得，所以或， 解得或，即， 又，所以， 所以函数与的图象在区间上有3个交点：. 【题型二】正弦函数的单调性 【例1】（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 【变式1】（2026·河南·三模）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题成立时的取值范围，再判断哪个选项对应集合是该范围的子集，即为的充分条件. 【详解】由，可得. 因为且区间的长度为， 所以要使函数在区间内单调递增， 则，可得. 即命题：. 所以的一个充分条件为，故C正确. 【变式2】（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求出，求出函数的单调递增区间，结合定义域求得结果. 【详解】因为， 函数的单调递增，即 解得， 又因为， 当，函数的单调递增区间 【变式3】（2026·湖北·二模）若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于的方程，求解得到值 （2）将拆分为或两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集 【详解】（1） 因为的最大值为3，所以， ，解得， 的单调递减区间为 （2）， 可得或即或， 所以或， 解得或， 所以解集为或. 【题型三】正弦函数的定义域、值域和最值 【例3】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的基本性质，通过变量代换即可求出的值域 【详解】因为，令，由正弦函数的图像性质得的值域为， 则的值域为. 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，使得点为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 【变式2】（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 【答案】 【详解】，其中，所以的最大值为. 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 【答案】(1) (2)值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）结合角的范围利用同角三角函数关系求得，然后利用两角差的正弦公式求解即可. （2）先利用两角和差的正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解值域和单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. 故 . （2） . 当时，， 所以，故的值域为. 由，解得，所以的单调递增区间为； 由，解得，所以的单调递减区间为. 【题型四】正弦函数的对称性 【例4】（2026·江西·模拟预测）已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，则，即， 由，可得. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知函数关于点对称，则______． 【答案】 【分析】根据对称性得，进而利用诱导公式求值即可. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故 ． 【变式3】（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可； （2）由，得到，结合角的范围求得，再利用正弦倍角公式求解即可． 【详解】（1）， 令， 解得， 故函数的对称轴为直线. （2）因为，即， 且，则， 可得，则， 则 ， 所以． 【题型五】余弦函数的性质 【例5】（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 【变式1】（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数的最小正周期为，且，则函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合正弦型函数性质求出，再利用诱导公式及二倍角公式化简，并结合二次型函数求出最小值. 【详解】由函数的最小正周期为，得，解得，， 由，得，而 ，则， 因此 ，又，则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 【变式2】（2026·四川自贡·三模）已知（）的图象关于点中心对称，则______. 【答案】 【分析】利用中心对称的性质求出，结合余弦函数对称性求出即可. 【详解】由（）的图象关于点中心对称， 得，，解得， 而，则，， 所以. 【变式3】（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【答案】(1)2；. (2). 【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得的值，得到的解析式，进而由整体法求得单调递减区间； （2）首先化简得到的解析式，再由的范围求得的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得. 所以. 要求的单调递减区间，令， 解得，即的单调递减区间为. （2）因为，所以， 所以. 由得， 由正弦函数的性质可得，所以， 所以函数在区间上的值域为． 【题型六】正切函数的性质 【例6】（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 【变式1】（多选）（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由奇函数定义逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意； 对于B，若，则，故B不满足题意； 对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意； 对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意. 故选：ACD. 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】由函数的解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确． 故选：BCD． 【变式3】（2026·安徽合肥·二模）设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得. 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 【题型七】正(余)弦型三角函数的图象 【例7】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合中点坐标性质得到两点函数值互为相反数，推出两点水平距离为半个周期，进而求解. 【详解】由余弦和角公式化简函数解析式，. 由线段的中点在轴上，得，即. 对于余弦型函数，若两点处函数值互为相反数，结合图象的走势特征， 可知两点间水平距离为半个最小正周期. 即，得最小正周期. 由周期公式，代入得，解得. 【变式1】（多选）（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数 满足，且在内恰有两个极值点，则（ ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由题设可得，进而求得可判断A；结合可求得，即可判断B；根据正弦函数的性质可得函数关于对称，进而判断C；根据正弦函数的单调性判断D. 【详解】由，且在内恰有两个极值点， 则，即，则，故A正确； 而，则或， 即或， 又，则，即，故B错误； 由， 则函数关于对称，即，故C正确； 当时，， 因为函数在上不单调递增， 所以在上不单调递增，故D错误. 【变式2】（2026·山西晋中·三模）如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 【变式3】（2026·云南曲靖·二模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求方程在上的解的个数． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）应用三角恒等变换化简函数为，再由正弦函数的性质求区间内的零点个数. 【详解】（1）的最小值为，所以， 的最小正周期，得，又，所以， 结合图象可知，即， ， ， ； （2） ， ∴令，即，又， ， ∴当或或时，， 分别对应，，，故方程在上的解的个数为3. 【解题大招01】五点法速画图象 1. 方法原理 针对 、，无需逐点计算，利用“整体代换思想”，令相位整体取五个特征值，快速锁定一个周期内关键点，是图象题、解析式判断题的基础提速技巧。 2. 通用操作步骤 令 ，取 ，反解 ，对应求出 ，直接得到五个核心点。 3. 秒杀结论 正弦型函数五点依次对应：零点→最高点→零点→最低点→零点 余弦型函数五点依次对应：最高点→零点→最低点→零点→最高点 【例1】快速写出 一个周期内的五个关键点。 解：令 ，分别取值求解： 当 ，；当 ， 当 ，；当 ， 当 ， 五个关键点：。 【解题大招02】标准化简技巧 1. 方法原理 高考90%三角函数性质题，题干为二次、复合型三角函数，必须先化简为 标准形式，再求解所有性质，是解题核心前提。 2. 必背化简公式 二倍角公式：， 降幂公式：， 辅助角公式：，其中 【例2】化简 并求标准形式。 解：利用降幂公式化简： 整理得：，完成标准化简，后续可直接求值域、单调性。 【解题大招03】图象求解析式「三步秒杀法」 1. 方法口诀 最值定A、B，周期定ω，特殊点定φ（高考必考，零失误模板） 2. 核心公式（） 振幅：，上下平移量： 周期与角速度： φ取值技巧：优先代入最高点/最低点（唯一解），避免代入零点出现多解争议。 【例3】已知三角函数图象最高点 ，最低点 ，求解析式。 解：① 求A、k：， ② 求T、ω：相邻高低点间距为 ，得 ， ③ 求φ：解析式设为 ，代入最高点 解得 ，最终解析式：。 【解题大招04】图象变换「先缩后移」避坑技巧 1. 易错痛点 多数同学混淆「先平移后伸缩」与「先伸缩后平移」的平移单位，极易算错相位平移量，此技巧统一最优解题顺序，杜绝错误。 2. 最优解题顺序（推荐） 先周期伸缩→再相位平移→最后振幅、上下平移 3. 核心规则 所有变换只针对单独x，与系数无关；时，平移单位为 。 【例4】由 变换得到 ，写出变换步骤。 解（先缩后移）： ① 横坐标缩短为原来 倍，得 ； ② 向左平移 个单位（平移量 ），得。 避坑提醒：禁止直接平移 ，此为高考最高频易错点。 【解题大招05】单调性「整体代换法」万能解题模板 1. 方法原理 将 视为整体 ，代入基础三角函数单调区间，解不等式即可，适用于所有正弦、余弦型函数。 2. 关键避坑结论 若，必须先利用诱导公式将 化为正数，再求单调区间，负数ω直接解不等式区间完全反向。 【例5】求 的单调递减区间。 解：先化正 ： 令 解得： 递减区间： 【解题大招06】对称性秒杀结论 1. 核心秒杀结论（） ： 对称轴：（函数取最值处） 对称中心：（函数取零点处） ： 对称轴：（函数取最值处） 对称中心：（函数取零点处） 2. 奇偶性快速判断 正弦型为奇函数 ，为偶函数 余弦型为偶函数 ，为奇函数 【例6】求 在 上的值域。 解：令 ，由 ，得 。 由 图象可知：，， 故 。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 二、多选题 3．（2026·广东江门·二模）若曲线关于点对称，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】依题意，， 由正弦函数、余弦函数的性质得的图象都关于点对称； 而，因此的图象关于点不对称. 4．（2026·四川内江·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 三、填空题 5．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为偶函数，则___________.（写出满足题意的一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由为偶函数，则，， 所以满足要求的一个（答案不唯一）. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 四、解答题 7．（2025·浙江台州·一模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）化简得到，从而求出最小正周期； （2）求出，根据函数的奇偶性得到方程，求出，结合，得到答案. 【详解】（1）由， 得的最小正周期为； （2）， 因为函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，所以当时，取到最小值. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数解析式为，利用周期公式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数解析式化为，结合与正弦函数的性质即可求得其最小值. 【详解】（1）函数， 所以， 所以函数， 所以函数的最小正周期为． （2）函数 ， 当时，， 故当时，即时，函数取得最小值为． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【详解】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 2．（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 二、多选题 3．（2026·河南信阳·三模）函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 【答案】AC 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 三、填空题 4．（2026·四川眉山·二模）函数同时满足下列三个条件： ①定义域为，值域为； ②在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③对任意，都有． 请写出符合要求的一个的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用常见函数，写出一个符合三个条件的函数即可. 【详解】取，所以函数定义域为，值域为，满足条件①； 当时，，在此区间单调递增，且，所以也单调递增； 当时，，在此区间单调递减，且，所以也单调递减，满足条件②； 由于，满足条件③ 四、解答题 5．（2026·浙江宁波·三模）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 6．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据周期得出，再应用余弦函数对称轴计算求解即可. 【详解】因为函数 的最小正周期为 ， 则，所以，所以函数 ， 所以，即， 当时，即， 则函数 的图象的对称轴可以为. 二、多选题 2．（2026·云南昆明·二模）已知函数．则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．在区间上单调递减 C．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D．若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BD 【分析】应用两角和正弦公式结合二倍角公式和辅助角公式化简得出解析式判断A，应用正弦函数单调性判断B，应用平移变换判断C，由对称性得出即可判断D. 【详解】因为 所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于轴对称， 则， 所以，所以的最小正值为，故D正确. 三、填空题 3．（2024·河北衡水·模拟预测）当函数取最大值时，的值为________． 【答案】 【详解】，其中，， 当，，所以取最大值， 此时，，所以， 所以 四、解答题 4．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 5．（2026·重庆长寿·模拟预测）已知． (1)求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； (2)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)， (2)92 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，求得，设 结合正弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由 ， 所以函数的最小正周期为， 令，可得， 所以函数图象的对称轴的方程为. （2）解：由， 当时，可得， 因为， 结合正弦函数的性质，可得方程在区间上共有6个实数解， 设 根据正弦函数图像的对称性，可得， 又由， 所以，解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲三角函数的图象与性质 （知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 三角函数的定义域、值域与最值 单选、填空 5分 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 单选、填空 5分 三角函数的单调性与单调区间 单选、填空、解答题 5分/12分 函数 的图象与变换 单选、填空、解答题 5分/12分 三角函数图象与性质综合应用 单选、填空、解答题 5分/12分 【知识点01】用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)(π，－1)(2π，1). 【例1】用“五点法”作出函数 在一个周期内的简图 【知识点02】正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 【例2】求函数 的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标。 【题型一】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象为（    ） A．     B．   C．   D．   【变式2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】正弦函数的单调性 【例1】（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南·三模）已知命题：函数在区间内单调递增，则的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 【变式3】（2026·湖北·二模）若函数的最大值为3. (1)求的值及函数的单调递减区间； (2)求不等式的解集. 【题型三】正弦函数的定义域、值域和最值 【例3】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，，求的值域和单调区间. 【题型四】正弦函数的对称性 【例4】（2026·江西·模拟预测）已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知函数关于点对称，则______． 【变式3】（2025·安徽·二模）已知函数. (1)求函数的对称轴方程； (2)若，，求的值． 【题型五】余弦函数的性质 【例5】（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数的最小正周期为，且，则函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（2026·四川自贡·三模）已知（）的图象关于点中心对称，则______. 【变式3】（2025·上海长宁·一模）已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调递减区间； (2)设，求函数在区间上的值域． 【题型六】正切函数的性质 【例6】（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．是奇函数 C．是的一个周期 D．是曲线的一个对称中心 【变式3】（2026·安徽合肥·二模）设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【题型七】正(余)弦型三角函数的图象 【例7】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（多选）（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数 满足，且在内恰有两个极值点，则（ ） A． B． C． D．在上单调递增 【变式2】（2026·山西晋中·三模）如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【变式3】（2026·云南曲靖·二模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求方程在上的解的个数． 【解题大招01】五点法速画图象 1. 方法原理 针对 、，无需逐点计算，利用“整体代换思想”，令相位整体取五个特征值，快速锁定一个周期内关键点，是图象题、解析式判断题的基础提速技巧。 2. 通用操作步骤 令 ，取 ，反解 ，对应求出 ，直接得到五个核心点。 3. 秒杀结论 正弦型函数五点依次对应：零点→最高点→零点→最低点→零点 余弦型函数五点依次对应：最高点→零点→最低点→零点→最高点 【例1】快速写出 一个周期内的五个关键点。 【解题大招02】标准化简技巧 1. 方法原理 高考90%三角函数性质题，题干为二次、复合型三角函数，必须先化简为 标准形式，再求解所有性质，是解题核心前提。 2. 必背化简公式 二倍角公式：， 降幂公式：， 辅助角公式：，其中 【例2】化简 并求标准形式。 【解题大招03】图象求解析式「三步秒杀法」 1. 方法口诀 最值定A、B，周期定ω，特殊点定φ（高考必考，零失误模板） 2. 核心公式（） 振幅：，上下平移量： 周期与角速度： φ取值技巧：优先代入最高点/最低点（唯一解），避免代入零点出现多解争议。 【例3】已知三角函数图象最高点 ，最低点 ，求解析式。 【解题大招04】图象变换「先缩后移」避坑技巧 1. 易错痛点 多数同学混淆「先平移后伸缩」与「先伸缩后平移」的平移单位，极易算错相位平移量，此技巧统一最优解题顺序，杜绝错误。 2. 最优解题顺序（推荐） 先周期伸缩→再相位平移→最后振幅、上下平移 3. 核心规则 所有变换只针对单独x，与系数无关；时，平移单位为 。 【例4】由 变换得到 ，写出变换步骤。 【解题大招05】单调性「整体代换法」万能解题模板 1. 方法原理 将 视为整体 ，代入基础三角函数单调区间，解不等式即可，适用于所有正弦、余弦型函数。 2. 关键避坑结论 若，必须先利用诱导公式将 化为正数，再求单调区间，负数ω直接解不等式区间完全反向。 【例5】求 的单调递减区间。 【解题大招06】对称性秒杀结论 1. 核心秒杀结论（） ： 对称轴：（函数取最值处） 对称中心：（函数取零点处） ： 对称轴：（函数取最值处） 对称中心：（函数取零点处） 2. 奇偶性快速判断 正弦型为奇函数 ，为偶函数 余弦型为偶函数 ，为奇函数 【例6】求 在 上的值域。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·广东江门·二模）若曲线关于点对称，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川内江·三模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．若，则 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称 三、填空题 5．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为偶函数，则___________.（写出满足题意的一个即可） 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 四、解答题 7．（2025·浙江台州·一模）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·海南儋州·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·河南信阳·三模）函数，则（    ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大值时， D．当为奇函数时， 三、填空题 4．（2026·四川眉山·二模）函数同时满足下列三个条件： ①定义域为，值域为； ②在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③对任意，都有． 请写出符合要求的一个的解析式________． 四、解答题 5．（2026·浙江宁波·三模）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 6．（2026·吉林长春·三模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·云南昆明·二模）已知函数．则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．在区间上单调递减 C．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D．若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 三、填空题 3．（2024·河北衡水·模拟预测）当函数取最大值时，的值为________． 四、解答题 4．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 5．（2026·重庆长寿·模拟预测）已知． (1)求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程； (2)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $