第二十三讲 三角函数的图象与性质（二）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕三角函数图象与性质，涵盖平移伸缩、奇偶性、对称性、周期性及零点问题等高考核心考点，按知识点系统梳理与题型分类归纳构建复习体系，通过考点精讲、方法归纳、真题演练帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“谐音记忆法”强化平移变换步骤，结合高考真题设计分层题型训练，如通过对称中心推导培养数学思维，零点问题分类解析提升数学语言表达。设置即时反馈环节，确保高效突破重点，助力学生构建解题模型，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三数学一轮复习 第二十三讲 三角函数的图象与性质（二） 【学习目标】能解决与三角函数有关的函数奇偶性、对称性、周期性和零点问题. 【学习重点】三角函数的图象与性质. 【学习难点】三角函数的零点问题． 必掌握知识点 1.平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 2.关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 必考题型全归纳 题型一、三角函数图像平移、伸缩变换 1（多选）．（江苏省常州市北郊高级中学2022-2023学年高一下学期期初调研数学试题）已知函数,对任意均有,且在上单调递减,则下列说法正确的有(   ) A．函数为奇函数 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D．若在上恒成立，则的最大值为 2（多选）．（吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的单调递增区间为， D．将函数的图象向左平移个单位可得的图象 3（多选）．（湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题）函数的图像向左平移个单位后得到一个偶函数的图像，则的值可以为（    ） A．0 B． C． D． 题型二、奇偶性（由奇偶性求参数） 4．（【全国百强校】广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题）函数是上的偶函数，则的值是． A． B． C． D． 5．（【百强校】甘肃省武威第五中学2018-2019学年高一5月月考数学试题）函数是上的偶函数，则的值是   A． B． C． D． 6．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学（文）试题）将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型三、对称性：对称轴、对称中心 7．（2025年高考全国一卷数学真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（广东省深圳市宝安第一外国语学校2024届高三上学期8月月考数学试题）记函数的最小正周期为 ． 若， 且 的图象关于点 中心对称， 则 （    ） A．1 B． C． D．3 9．（【校级联考】广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文））点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为. ①的最小正周期是； ②的值域为； ③的初相为； ④在上单调递增. 以上说法正确的个数是 A． B． C． D． 题型四、周期性（求最小正周期、由周期限定参数范围） 10．（2024年上海夏季高考数学真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（云南省保山市第九中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题）在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型五、零点问题 13．（广西南宁市2022届高三5月模拟考数学（理）试题）已知函数，在区间上有且仅有个零点，对于下列个结论： ①在区间上存在，，满足； ②在区间有且仅有个最大值点； ③在区间上单调递增； ④的取值范围是． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2025年高考北京数学真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 15．（云南省楚雄龙江中学2026届高三开年大联考数学试题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 16．（2025年山东省青岛市青岛第五十八中学一模数学试题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 题型六、单调区间、区间单调性、最值、值域 17．（河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最值及取最值时x的值； (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 18．（湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三8月模块考试数学试题）设函数． (1)求函数的最小正周期T和单调递减区间． (2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十三讲 三角函数的图象与性质（二） 【学习目标】能解决与三角函数有关的函数奇偶性、对称性、周期性和零点问题. 【学习重点】三角函数的图象与性质. 【学习难点】三角函数的零点问题． 必掌握知识点 1.平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少． 2.关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 必考题型全归纳 题型一、三角函数图像平移、伸缩变换 1（多选）．（江苏省常州市北郊高级中学2022-2023学年高一下学期期初调研数学试题）已知函数,对任意均有,且在上单调递减,则下列说法正确的有(   ) A．函数为奇函数 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到 D．若在上恒成立，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】首先根据已知条件确定为的对称中心,为的对称轴,结合已知中的范围确定的值,从而确定函数的解析式.对于A,利用奇偶函数的定义进行判断即可;对于B,进行判断即可;对于C,根据图像的平移得到平移后的解析式进行判断即可;对于D,根据,解出的取值范围进行判断. 【详解】, 为的对称中心,即,① , 为的对称轴,即,② ②①得:, 代入①得:,, ,则,在上单调递减, ,即 ,又,,, 对于A,,为偶函数,故A错误; 对于B,函数的最小正周期为,故B正确; 对于C,函数的图象向左平移个单位长度得到,故C正确; 对于D,根据题意,即或,, ,即,解得, 在上恒成立,,故D正确.故选:BCD. 2（多选）．（吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的单调递增区间为， D．将函数的图象向左平移个单位可得的图象 【答案】ABD 【分析】利用代入检验法可确定AB正误；根据整体代入法可求得正弦型函数的单调递增区间，知C错误；根据三角函数平移变换，结合诱导公式可知D正确. 【详解】； 对于A，当时，，图象关于对称，A正确； 对于B，当时，，又，关于点对称，B正确； 对于C，令，解得：， 即的单调递增区间为，C错误； 对于D，向左平移个单位得：，D正确.故选：ABD. 3（多选）．（湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题）函数的图像向左平移个单位后得到一个偶函数的图像，则的值可以为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用图象变换可求平移后的函数解析式，结合偶函数可求满足的条件，从而可得正确的选项. 【详解】函数的图像向左平移个单位后对应的解析式为： ，因为该函数为偶函数，故， 故，所以可取，不可取， 否则若，，与为整数矛盾；若，，与为整数矛盾；故选：BC. 题型二、奇偶性（由奇偶性求参数） 4．（【全国百强校】广东省华南师范大学附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题）函数是上的偶函数，则的值是． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由奇偶性可得，化为，从而可得结果. 详解：∵是上的偶函数，则， 即， 即成立，∴，又∵，∴．故选C． 点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 5．（【百强校】甘肃省武威第五中学2018-2019学年高一5月月考数学试题）函数是上的偶函数，则的值是   A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数是上的偶函数，可得，结合的范围可得. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以，所以，又因为，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性应用，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养 6．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学（文）试题）将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式将函数变形，然后写出向左平移后的函数，由函数图象关于原点对称可知函数为奇函数，由此得到关于的方程，从而确定的最小值. 【详解】因为，所以左移个单位后得到函数，又因为函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数，所以且，所以，此时.故选D. 【点睛】（1）三角函数图象的平移也是遵循“左加右减，上加下减”的原则； （2）分析正弦型函数的奇偶性：若为奇函数，则有，若为偶函数，则有. 题型三、对称性：对称轴、对称中心 7．（2025年高考全国一卷数学真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即，又，则时最小，最小值是，即.故选：B 8．（广东省深圳市宝安第一外国语学校2024届高三上学期8月月考数学试题）记函数的最小正周期为 ． 若， 且 的图象关于点 中心对称， 则 （    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据周期的范围可得，结合对称可得且，进而可得，代入即可求解. 【详解】由可得， 由的图象关于点 中心对称可知且，所以,故， 由可得，由于,故取，则， 故，则，故选：B 9．（【校级联考】广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文））点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为. ①的最小正周期是； ②的值域为； ③的初相为； ④在上单调递增. 以上说法正确的个数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论． 【详解】∵点P（﹣，1）是函数f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m＝1，ω•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z． ∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，∴ω＝2， ∴φ＝kπ+, k∈Z，又|φ|＜∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）+1． 故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确； ③f（x）的初相φ为，正确； ④在[，2π]上，2x+∈[，]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣，]时的单调性相同，故函数f（x）单调递增，故④正确，故选D． 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题． 题型四、周期性（求最小正周期、由周期限定参数范围） 10．（2024年上海夏季高考数学真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误，故选：A． 11．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选：B. 12．（云南省保山市第九中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题）在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】利用函数的周期性的定义以及周期的公式，逐个函数判定，即可求解. 【详解】对于函数，可得， 所以函数的周期，图象如图所示，结合图象： 可函数的最小正周期为，符合题意； 对于函数，可得函数的最小正周期为，复合题意； 对于函数，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期为，符合题意； 对于函数，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期为，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的周期性的定义，以及函数的最小正周期的计算公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 题型五、零点问题 13．（广西南宁市2022届高三5月模拟考数学（理）试题）已知函数，在区间上有且仅有个零点，对于下列个结论： ①在区间上存在，，满足； ②在区间有且仅有个最大值点； ③在区间上单调递增； ④的取值范围是． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由整体代换法解出的取值范围，再由三角函数性质对结论逐一判断 【详解】∵，∴，令，则， 由题意，在上只能有两解和，∴，解得，所以④成立； 对于①，因为在上必有，故在上存在满足；①成立； 对于②，对应的（显然在上）一定是最大值点，因对应的值有可能在上，故②结论错误； 对于③，当时，，由于，故， 此时是增函数，从而在上单调递增，所以③成立， 综上，①③④成立，故选：C 14．（2025年高考北京数学真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即；综上，的最小值为4.故选：C. 15．（云南省楚雄龙江中学2026届高三开年大联考数学试题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换得，再由周期性条件得，，再结合函数的零点得即可得答案. 【详解】函数． 设函数的最小正周期为，由，得，， 所以，，即，． 又因为函数在上存在零点，且当时，， 所以，即．综上，的最小值为4． 16．（2025年山东省青岛市青岛第五十八中学一模数学试题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数．在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意；故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意；故的最大值为9．故选：C 题型六、单调区间、区间单调性、最值、值域 17．（河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一下学期收心考试数学试题）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最值及取最值时x的值； (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为－1，此时；最大值为2，此时 (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换得到，从而根据求出最小正周期； （2）时，，整体法求出函数的最值及对应的； （3）转化为在的图象在与直线只有一个交点，画出在上的图象，数形结合进行求解 【详解】（1） ，故函数的最小正周期为. （2）由（1）知，因为，所以， 令，则，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以，即时， 函数有最大值，最大值为. 当，即，函数有最小值，最小值为. 综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时. （3）因为函数在内有且只有一个零点， 所以在只有一个实根， ，即， 即函数在的图象在与直线只有一个交点， 当时，，画出在上的图象，如下： 结合函数图象可知：函数在区间的图象与直线只有一个交点时， ，即. 18．（湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三8月模块考试数学试题）设函数． (1)求函数的最小正周期T和单调递减区间． (2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围． 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化简，再利用周期公式可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入，解不等式即可得解； （2）利用正弦定理边化角求出，再利用三角形的内角和性质求出的范围，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为， 令，得，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由，得，即得， 又在锐角中，所以，，解得，， ，所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $