4.5 三角函数的图象与性质（全国通用）-2027届高考数学一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的图象与性质，系统覆盖五点法作图、定义域、值域、周期性、对称性等十大核心考点，按知识内在逻辑构建体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破性质应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以核心素养为导向，如引导学生用数学眼光观察图象关键点，用数学思维分析单调性参数问题，设计分层练习与真题案例，如五点法作图步骤分解、对称性求参数策略，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

4.5 三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（k∈Z） 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间 [－π＋2kπ，2kπ] 递减区间 [2kπ，π＋2kπ] 无 对称性 对称中心 (kπ，0) 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 无对称轴 零点 kπ kπ＋ kπ [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2．奇偶性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z). 考点一　三角函数图像（五点法） 考点二　三角函数的定义域 考点三　三角函数的值域(最值) 考点四　利用三角函数的值域(最值)求参数 考点五　三角函数的周期性以及求参数 考点六　三角函数的对称性以及求参数 考点七 三角函数的奇偶性以及求参数 考点八 三角函数的单调性以及求参数 考点九 三角函数中零点问题 考点十 三角函数综合应用 考点一　三角函数图像（五点法） 1．（25-26高三上·江苏连云港·期末）（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）或． 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【详解】（1）列表如下： 作图如下： （2）. 当时，不符合题意， 当时，， ，符合题意； 当时，， ．符合题意． 综上，或． 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)求函数的解析式及在上的单调增区间； (2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】(1)和 (2)且 【分析】（1）首先求，先求的范围，再求函数在上的单调增区间； （2）利用图像变换规律得，再利用函数与在上有两个交点，即可求得． 【详解】（1）由条件可知，解得：，即， 代入可得， 因为，所以， 即， 当时，， 所以在和上单调递增， 即在和上单调递增． （2）函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位， 得， 因为，所以， 因为在上有两个不同的解， 所以函数与在上有两个交点， 所以且， 解得且 3．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 【答案】(1)个关键的点为：，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据五点法可得关键的个关键的点，从而可完善表格； （2）利用整体法求出零点和对称轴可求的值； （3）先讨论函数在上的单调性，再画出相应的函数图象，数形结合后可得交点个数. 【详解】（1）个关键的点为，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 （2）因为是函数的一个零点，且， 所以，解得， 即，又因为，所以. 又因为直线是函数的一条对称轴 所以，解得, 又因为，所以,所以 （3）因为，所以， 令，则， 因为在为增函数，故在上为增函数， 同理在上为减函数，故在的图象如下图所示： 由图可得当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点；当时，有1个交点； 当或时，有2个交点. 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）依次令取，可得的值，描点并用光滑曲线连接即可； （2）将有2个根，转化为的图象与直线有2个交点，由图象可得实数m的取值范围； （3）令，得或；令，得或；结合图象及函数的单调性，可得的最小值及最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： （2）若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或． 即实数m的取值范围或． （3）在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 考点二　三角函数的定义域 5．（25-26高三上·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域． 【详解】要使原函数有意义，必须有，即， 解集为， 取交集可得原函数的定义域为. 6．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）函数的定义域是________. 【答案】 【详解】由于，解得：，则, 解得： 则函数的定义域是 7．（25-26高三上·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】应用正切函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由题意得，结合余弦函数的图象性质求出在一个周期上的解集，再推广到实数集的解集即可. 【详解】函数有意义，等价于即， 由余弦函数的性质，在一个周期上，不等式的解集为， 则在实数集上不等式的解集为， 即函数的定义域为． 10．（25-26高三上·北京·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得，即， 解得， 所以函数的定义域为. 考点三　三角函数的值域(最值) 11．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）的最小正周期，令，，解不等式可求出函数的单调递增区间； （2）由，求出，结合正弦函数的性质即可求出函数的值域． 【详解】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； （2）由，可得，故， ，故函数值域为 12．（25-26高三上·广东清远·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以当时取到最大值，当时取到最小值， 所以的值域为． 13．（25-26高三上·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【详解】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 14．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据余弦型函数的性质判断BCD. 【详解】对于A：，显然，所以不是偶函数，A错误. 对于B：的最小正周期为，B正确. 对于C：当时，， 余弦函数在对称轴处取最值，所以是的对称轴，C正确. 对于D：当时，，则， 所以在上的值域为，D错误. 15．（2026·广西崇左·二模）（多选）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质判断． 【详解】对AB，的定义域为，值域为，A正确，B错误. 对C，，所以的图象关于点对称，C正确. 对D，当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减.当时，，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确. 16．（25-26高三上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为________； （2）函数的值域为________． 【答案】 【分析】（1）根据正切型函数的定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合正切函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由，，得，， 即函数的定义域为． （2）令，∵， ∴由正切函数的单调性可知， ∴原函数可化为，， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ∴原函数的值域为． 故答案为：； 考点四　利用三角函数的值域(最值)求参数 17．（25-26高三上·河南南阳·期中）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正弦函数的图像性质，确定最大值存在、最小值不存在的条件. 【详解】因为且，设， 所以. 函数在上有最大值、无最小值， 等价于在上有最大值、无最小值. 正弦函数的最大值为，在（）处取得； 最小值为，在（）处取得. 存在最大值：区间必须包含， 即，化简得：. 无最小值：区间不能包含， 即，化简得：. 综上，的取值范围是. 18．（25-26高三上·河南南阳·期中）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元法，将方程转化为一元二次方程，讨论方程解的个数对应上的解的个数，从而确定a的取值范围． 【详解】因为，则； 令，则可整理为：； 故在区间有两解 等价于在上的解，对应有两个不同的解； 当或时，一个t对应上的一个解， 当且时，一个t对应上的两个解； 分离参数：， 令，对称轴为，； 与对称的点为；，， 当时，与有一个交点， 此时，一个t对应上的两个解； 当时，，一个t对应上的一个解，不合题意； 当时，或，对应或两个解，符合题意； 当时，与有两个交点，即t有两个值， 此时，一个t对应上的两个解， 则在区间上，x有4个解，不合题意，舍去； 当时，，此时对应上的两个解，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． 19．（25-26高三上·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数. 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 20．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. 21．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 22．（25-26高三上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题设知：，根据正切函数的性质求解最值，即可求得a的取值范围. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 考点五　三角函数的周期性以及求参数 23．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 24．（2026·贵州毕节·三模）函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由正弦函数的性质可知：任意两个相邻零点之间的距离为半个周期，即：，解得：. 25．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，然后周期公式和奇函数定义判断即可. 【详解】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 26．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最小正周期求出，再根据余弦函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 考点六　三角函数的对称性以及求参数 27．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为相邻两对称中心的距离为， 则函数的最小正周期满足， 又由，解得. 28．（2026·辽宁·三模）（多选）下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B错误； 对于C，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，函数的周期为，D错误. 29．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数对称轴的公式，可得当时满足，结合题目给定的的取值范围，即可计算得到符合条件的的值. 【详解】由于正弦函数的对称轴为， 已知的图象关于对称， 所以将 代入可得：， 整理可得：，又因为，取 ， 得. 30．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 31．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的最小正周期为，，， ，令，解得， 令，得，故的一个对称中心的坐标可以是. 32．（25-26高三上·江西赣州·期中）（多选）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 函数的周期，即，所以，则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以或． 33．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 34．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切型函数的对称性得出，结合可得出的最小值. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 则，解得， 因为，故当时，取最小值. 考点七 三角函数的奇偶性以及求参数 35．（25-26高二·全国·暑假作业）函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】B 【详解】因为函数，所以该函数是最小正周期为的奇函数． 36．（25-26高三上·北京西城·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换求出，再利用正弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得， 解得，当时，，A是； 不存在整数，使得，BCD不是. 37．（25-26高三上·北京房山·期中）“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 38．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 / 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 39．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，且，则________． 【答案】 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】令， 则，所以， 因为， 所以， 所以. 40．（25-26高三上·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 【答案】1 【详解】将向左平移个单位， 得：， 又因为为奇函数，所以， 整理得： ， 又因为，所以. 考点八 三角函数的单调性以及求参数 41．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数. (1)求的对称轴和在上的值域； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】(1)对称轴； (2) ． 【分析】（1）先根据三角恒等变形化简可得，再利用整体法求对称轴及值域； （2）先由三角函数平移变换得到，再整体代入求单调区间即可． 【详解】（1）由题意得 ， 令，，则 ， 所以对称轴为 ， 因为，所以，所以， 则的对称轴为 ，在上的值域； （2）向右平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到， 令， 解得， 所以的单调递增区间为 ． 42．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 43．（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将不等式转化为，根据余弦函数的性质求出的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解. 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得，，即，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 45．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BD 【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析. 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 46．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 考点九 三角函数中零点问题 47．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 【答案】C 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 48．（2026·河南驻马店·三模）（多选）已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 【答案】BC 【详解】代入点得，代入得，又因为，所以，函数解析式为. 选项A，，，因此不单调递减. 选项B，，，为对称轴. 选项C，向左平移得成立. 选项D，，，因为函数在上只有1个零点，因此只有1个零点. 49．（2026·湖南长沙·一模）已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得到，结合最小正周期求出；根据导数的几何意义求解即可. （2）根据题意列不等式组求解即可. 【详解】（1）. 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，，，，则， 因为在区间上恰有三个极值点，所以，且， 即，解得. 又若在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 综上，. 故的取值范围为. 50．（2026·山东临沂·二模）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦函数的零点性质求出的表达式，再结合周期公式和周期的取值范围确定的值． 【详解】已知为函数的一个零点， 根据余弦函数的性质，若是的零点，则，即，． 所以，则． 所以． 对于余弦函数，其最小正周期， 已知的最小正周期，则． 解不等式，得，即； 解不等式，得，因为，所以． 综上，． 因为，，且，当时，， 满足．因此的值为． 51．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数，若在上恰有三个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，代入即可求值； 【详解】令，即，解得或， 当时，可得， 所以， 所以， 所以， 52．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】由偶函数的定义判断A；当时，化简得，由三角函数的性质判断B；求出函数在上零点个数，判断C；求出函数在上的最大值，可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且， 故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，， 令，得，所以函数在上只有一个零点， 同理函数在上也只有一个零点，所以函数在上有3个零点，故C错误； 对于D，因为当时，， 此时函数的最大值为3， 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，函数的最大值为3， 综上，函数的最大值为3，故D正确. 53．（25-26高三上·广东汕尾·期中）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间和对称中心； (3)若时，函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，对称中心为 (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，即可得到解析式，从而利用正弦型函数最小正周期公式求解即可； （2）利用正弦函数的单调区间，结合整体法可求得到结果； （3）将函数零点转化为函数图像交点，数形结合即可求解. 【详解】（1） . ∴函数的最小正周期. （2）令， 解得， 的单调递减区间为， 令，解得， ∴函数的对称中心为. （3），令. ∵函数有三个零点， 有三个解，即的函数图象与有三个交点， 与有三个交点， 图象如图所示： 在单调递增､在单调递减､在单调递增， 当时，时， 当时，时， 的取值范围为 54．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 【答案】(1)，对称轴，零点或． (2) (3)且，或 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式及辅助角公式化简函数为，再利用正弦型函数的性质求最小正周期、对称轴和零点； （2）利用已知条件求出，进而根据求出，最后利用余弦的和角公式计算求解； （3）把零点问题转化为与直线的交点问题，作出的大致图象，结合图象及正弦型函数的对称性求实数m的取值范围及的值． 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为， 令，即，则或， 解得或． （2），解得， ， ，则位于第四象限，， ， ． （3）方程在上有两个不同的解、，等价于与 在有两个不同交点， ， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 最大值为，最小值为，且， 作出函数大致图象如下： 由图象可知，且时，直线与有两个交点， 解得且， 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则； 当，即时，两交点关于对称轴对称， 则． 考点十 三角函数综合应用 55．（25-26高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 【答案】AC 【详解】对于A，因为的最小正周期为， 所以，解得，故A正确. 对于B，因为，所以，故B错误. 对于C，因为，故C正确. 对于D，因为，所以，所以，故D错误. 56．（25-26高三上·云南·阶段检测）（多选）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（   ） A． B． C．时，的值域为 D．时，与的交点数为个 【答案】AB 【分析】根据极值点的距离可得，再根据函数过点，代入解析式可得，即可得函数解析式，再根据自变量范围可得函数值域，做出函数图像，可得交点个数. 【详解】A选项：由已知相邻两个极值点的距离为，可得， 又，可得，A选项正确； B选项：由函数经过点，则，即， 又，可得，B选项正确； C选项：，当时，， 则，所以，C选项错误； D选项：因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象， 如图所示：由图可知，两函数图象有个交点，D选项错误； 故选：AB. 57．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知函数的图象过点和，则（    ） A． B．当时，的值域 C．的最小值为 D．函数有三个零点 【答案】AD 【分析】先根据点在函数上求出判断A,应用正弦函数图象性质求值域判断B,根据两点间距离求最值判断C,数形结合判断交点个数即是零点个数判断D. 【详解】因为函数的图象过点可得,即得,所以，A选项正确； 函数， 可得，所以,B选项错误； 函数的图象过点可得, , 当 ,C选项错误； 函数的零点个数可以转化为的交点个数， 如图两个函数有三个交点可得函数有三个零点，D选项正确. 故选：AD. 58．（25-26高二上·广东汕头·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递减 D．在上有6个零点 【答案】ABD 【分析】先求出的解析式，再利用余弦函数的性质分析函数的最小正周期，对应值，单调区间及零点情况． 【详解】间距为，结合图象可知，故， ，， ，代入点得， ，，取，得， ， 选项A： 最小正周期为，故A正确； 选项B：，， ，故B正确； 选项C：的单调递减区间为，解得， 当时，递减区间为，包含递增区间，不满足单调递减，故C错误； 选项D：的零点满足，解得， 在内，时共6个零点，故D正确． 故选：ABD． 59．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期． (2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解． （2）确定函数在上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线与函数的上的图象有两个交点求出范围． 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为； （2）当时，， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，函数值从递减到； 函数在上单调递增，函数值从增大到， 由方程在上有两个不同的实根， 得在上有两个不同的实根， 即直线与函数的上的图象有两个不同交点， 因此， 所以实数m的取值范围是． 60．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)根据已知可求出的值，相邻两条对称轴之间的距离为，根据计算的值； (2)利用整体代换的思想，将看作整体，通过，得到整体的范围，根据正弦函数单调区间计算m的最大值； (3)通过x的取值范围计算的取值范围，利用换元法，根据二次函数图象性质求参数取值范围． 【详解】（1）解：由，得，由，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期满足，可得, 因为，则＝2，所以． （2）令，因为，所以． 要使函数在区间上单调递增，只需， 解得：，所以实数m的最大值为． （3）∵，∴，∴， 令，则由题可知恒成立， 令，，对称轴为，开口向上， 所以， 解得：，综上可知，的取值范围是． 1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据辅助角公式，，其中，， 当，时，取得最小值，， 所以. 2．（25-26高三上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 3．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数. 因为是偶函数，则. 整理得， 因为，取时，得到最小正数. 因此的最小值为. 4．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求出正弦型函数的单调递减区间，再根据题给区间是减区间的子集建立不等式组，求解得到的取值范围后确定最大值. 【详解】正弦函数的单调递减区间为. 令，则的单调递减区间满足： ， 解不等式得： . 由于在上单调递减，故，， 同时区间长度，得. 当时，则 ，解得，即. 当时，无解； 当时，对应减区间不符合题设区间要求， 因此的最大值为. 5．（25-26高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，即对于函数，若满足，则为奇函数，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数，A错误. 选项B：设，定义域为，关于原点对称， ， 且，为非奇非偶函数， B错误. 选项C：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数， C错误. 选项D：设，定义域为，关于原点对称， ，是奇函数， D正确. 6．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是. 7．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移可得表达式，即可根据偶函数的性质求解． 【详解】由题意，则， 则由可得，当将的图象向左平移个单位， 可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数，所以， 故，由于，所以的最小值， 当将的图象向右平移个单位，可得， 由于的图象关于轴对称，故为偶函数， 所以，故， 由于，所以时，的最小值. 综上的最小值. 8．（2026·重庆渝中·三模）已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的对称中心，通过整体结构一致，即可求解. 【详解】对于正切函数，其对称中心满足， 因为是的对称中心， 因此将代入得： ， 整理得​， 因为，要求的最小值，则取最小的正整数， 代入得： ，​ 因此的最小值为. 9．（25-26高三上·云南昆明·期中）（多选）若函数，则下列说法中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心的坐标为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【详解】对于A，由，所以， 所以的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，，解得，， 所以的定义域为，故B正确； 对于C，令，，解得，， 所以图象的对称中心的坐标为，故C正确； 对于D，令，，得，， 所以的单调递增区间为，故D错误. 10．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】化简得函数，即可得周期和最值，将代入函数判断C；由于，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】函数 ， 所以函数的最小正周期为，最大值为，A、B正确； 当时，， 不是最值，C错误； 当时，， 因为余弦函数在上单调递增，D正确. 11．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：的最小正周期为， 单调递增区间为，满足在上单调递增，故A正确； 选项B：，定义域为且，没有意义，最小正周期不是，故B错误； 选项C：的最小正周期为，在单调递减， 则在单调递减，故在单调递增，故C正确； 选项D：，最小正周期为， 在时，，函数在区间内先增后减，故D错误． 12．（2026·江西九江·模拟预测）（多选）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数， 当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 13．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在内单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则， 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在内单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在内单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 14．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知，若，则__________． 【答案】 【分析】设，由奇函数的性质即可求解． 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 16．（25-26高三上·天津·期末）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 【答案】(1)定义域为；值域为. (2)最小正周期；函数为非奇非偶函数；函数的递增区间为，没有递减区间. 【分析】（1）（2）由正切函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间得到函数的定义域、值域、最小正周期、奇偶性和单调区间. 【详解】（1）令，则， ∴的定义域为. ∵函数的值域为， ∴的值域为. （2）∵函数中，∴函数的最小正周期. 令，则， 即函数关于点中心对称， ∴函数为非奇非偶函数. 令，∴， 且函数中，. ∴函数的递增区间为，没有递减区间. 17．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 18．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，单调递增区间，； (2)选①，最小正周期； 选③，最小正周期． 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【详解】（1） ； 因为，则； ； 令，解得； 故的单调递增区间为，； （2）由（1）知，， 令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即， 解得，因为，则， 故，解得； ，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上， 则，即，，解得， 综上，，；，； 此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为， 则，解得， 因为，故，； ，的最小正周期． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（k∈Z） 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间 [－π＋2kπ，2kπ] 递减区间 [2kπ，π＋2kπ] 无 对称性 对称中心 (kπ，0) 对称轴 x＝kπ＋ x＝kπ 无对称轴 零点 kπ kπ＋ kπ [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2．奇偶性 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z). 考点一　三角函数图像（五点法） 考点二　三角函数的定义域 考点三　三角函数的值域(最值) 考点四　利用三角函数的值域(最值)求参数 考点五　三角函数的周期性以及求参数 考点六　三角函数的对称性以及求参数 考点七 三角函数的奇偶性以及求参数 考点八 三角函数的单调性以及求参数 考点九 三角函数中零点问题 考点十 三角函数综合应用 考点一　三角函数图像（五点法） 1．（25-26高三上·江苏连云港·期末）（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 2．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)求函数的解析式及在上的单调增区间； (2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 3．（25-26高三上·北京延庆·期中）已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 4．（25-26高三上·河南南阳·期中）函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 考点二　三角函数的定义域 5．（25-26高三上·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 6．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）函数的定义域是________. 7．（25-26高三上·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域为__________． 9．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为________． 10．（25-26高三上·北京·期中）函数的定义域为______． 考点三　三角函数的值域(最值) 11．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 12．（25-26高三上·广东清远·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 14．（25-26高三上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 15．（2026·广西崇左·二模）（多选）已知函数，下列命题正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．在，上单调递减 16．（25-26高三上·全国·课堂例题）（1）函数的定义域为________； （2）函数的值域为________． 考点四　利用三角函数的值域(最值)求参数 17．（25-26高三上·河南南阳·期中）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·河南南阳·期中）关于x的方程在区间有两解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 21．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·山东·阶段检测）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 考点五　三角函数的周期性以及求参数 23．（2026·湖南·模拟预测）已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 24．（2026·贵州毕节·三模）函数，满足，且的最小值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 25．（2026·湖南邵阳·模拟预测）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 26．（25-26高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 考点六　三角函数的对称性以及求参数 27．（2026·云南·三模）若函数的相邻两对称中心的距离为，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 28．（2026·辽宁·三模）（多选）下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 29．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，．若的图象关于直线对称，则（    ） A．0 B． C． D． 30．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 31．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·江西赣州·期中）（多选）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·云南曲靖·二模）若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 34．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点七 三角函数的奇偶性以及求参数 35．（25-26高二·全国·暑假作业）函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 36．（25-26高三上·北京西城·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·北京房山·期中）“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 39．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，且，则________． 40．（25-26高三上·河北沧州·开学考试）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是 _____________ ． 考点八 三角函数的单调性以及求参数 41．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数. (1)求的对称轴和在上的值域； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 42．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（2026·河北保定·三模）已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高三上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 46．（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 考点九 三角函数中零点问题 47．（2026·北京丰台·二模）已知函数，，若的最大值为，则（    ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 48．（2026·河南驻马店·三模）（多选）已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 49．（2026·湖南长沙·一模）已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 50．（2026·山东临沂·二模）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 51．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数，若在上恰有三个零点，则（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 53．（25-26高三上·广东汕尾·期中）已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递减区间和对称中心； (3)若时，函数有三个零点，求的取值范围. 54．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期、对称轴和零点； (2)若，，求的值； (3)若关于x的方程在上有两个不同的解、，求实数m的取值范围及的值． 考点十 三角函数综合应用 55．（25-26高三上·江西南昌·期中）（多选）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 56．（25-26高三上·云南·阶段检测）（多选）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（   ） A． B． C．时，的值域为 D．时，与的交点数为个 57．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知函数的图象过点和，则（    ） A． B．当时，的值域 C．的最小值为 D．函数有三个零点 58．（25-26高二上·广东汕头·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递减 D．在上有6个零点 59．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期． (2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 60．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，求的取值范围． 1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 5．（25-26高三上·广东汕尾·期中）下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于直线对称，若将函数的图像向左或向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆渝中·三模）已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·云南昆明·期中）（多选）若函数，则下列说法中正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．图象的对称中心的坐标为 D．的单调递增区间为 10．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为2 C．函数关于对称 D．函数在区间上单调递增 11．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·江西九江·模拟预测）（多选）已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 13．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 14．（25-26高三上·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 15．（25-26高三上·上海·期中）已知，若，则__________． 16．（25-26高三上·天津·期末）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)求的最小正周期，奇偶性和单调区间. 17．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 18．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $