精品解析：湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末高二数学试卷

高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用散点图的变化趋势，判断相关系数的正负，由散点图的集中程度，分析相关系数大小，即可得答案. 【详解】由散点图可得，图1为正相关，则，且相关性较强，则， 图2为负相关，则，且相关性较强，则， 图3为正相关，则， 图4为负相关，但数据相关性较弱，所以， 所以相关系数最小的为. 故选：B 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【详解】随机变量，且，则 3. 已知等差数列中，，其前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得，则． 4. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，然后再将组诗集分配给名同学，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先将本不同诗集分成组，组诗集的数量分别为、、，分组方法种数为种， 然后再将组诗集分配给名同学，共有种分配方案． 5. 某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件为“实际下雨”，事件为“预报下雨”， 则事件为“实际下雨且预报下雨”， ， ，所以． 6. 袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意说明只有两次摸到白球，五次摸到红球， 由于每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是， 故共摸球七次只有两次摸到白球的概率是． 7. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得，利用裂项相消法可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，可得， 由题意可知：在点处的切线斜率为，即， 则，可得， 则数列的前项和， 所以． 8. 已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，可得，令，由题意可知直线与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，即，则． 令，则， 由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 的极小值为，极大值为， 当时，，当时，，如下图所示： 因此要使得直线与的图象有三个交点，的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示： 1 2 3 4 5 8 6 5 4 2 根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（ ） A. 与负相关 B. C. 当与时，残差相等 D. 每增加1小时，平均减少1个 【答案】ABD 【解析】 【详解】由于，，经验回归直线过样本中心点， 代入得，解得，回归方程为. 选项A：，说明随增大而减小，与负相关，A正确； 选项B：计算得，B正确； 选项C：残差定义为. 当时，，残差； 当时，，残差，残差不相等，C错误； 选项D：回归斜率，说明每增加1小时，平均减少1，即平均减少1个，D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为 C. 已知，，则是的充要条件 D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，使用二项分布的均值公式结合方差的线性运算性质即可求解，对于B，使用超几何分布的运算公式即可求解，对于C，由条件概率的公式结合独立事件的乘法公式即可求解，对于D，分类讨论各个赛制下的胜利方式，结合二项分布的运算公式即可求解. 【详解】对于A，，则，故A正确， 对于B，5次训练的成绩中比12.8秒用时更少的有2次，概率为．故B正确， 对于C，充分性验证: 若，即，则， 此时事件与事件独立，充分性得证, 必要性验证: 若事件与事件独立，则， 则，必要性得证， 即是的充要条件，故C正确. 对于D，三局两胜：甲获胜的情况为甲前两局全胜或甲前两局一胜一负第三局胜， 概率为． 五局三胜：甲获胜的情况为前三局甲全胜，前三局甲两胜一负第四局甲赢，前四局甲两胜两负且第五局甲胜， 概率为． ，所以对甲而言“五局三胜”比“三局两胜”更有利，故D错误. 11. 已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为： 1 2 其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，可判定A正确；由，结合期望的公式，得到，可判定B正确；由，根据期望的公式，化简得到和，进而可判定C正确，D错误. 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确. 对于B中，由，可得， 所以，所以B正确. 对于C和D中，因为， 所以 ， 又由 ， 可得，所以，则，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为_______． 【答案】65 【解析】 【分析】需要分别求出，，展开式中的系数，再相加即可. 【详解】由二项式定理得展开式中的系数为； 展开式中的系数为； 展开式中的系数为； 相加为 ． 13. 现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选择1题，他答对该题的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】记事件：小明选择的是有思路的题，记事件：答对该题， 则，，，， 由全概率公式可得． 14. 在平面直角坐标系中，动点从出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个单位长度，移动6秒后到达原点，则不同的移动路径共有________条． 【答案】225 【解析】 【分析】通过列方程得到四个方向的步数组合，进行分类讨论，对于确定的四个方向的步数，因为路径的本质是6步中按顺序排列不同方向的移动，所以用排列组合中多元素的排列公式计算该步数组合对应的路径数，即可得答案. 【详解】设在6秒内，向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点，所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得，所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中： （1）若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数； （2）若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和； （3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和． 【答案】（1）112； （2）32； （3）1． 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和为 求 ，写出通项公式，令的指数为指定值求系数； （2）由第2项和第6项二项式系数相等得，奇数项二项式系数和为； （3）由只有第5项的二项式系数最大得，令求所有项系数和. 【小问1详解】 二项式展开中，所有二项式系数和为，由题意，得， 的通项为， 令，得，因此展开式中的系数为． 【小问2详解】 根据题意和组合数性质，，得，即， 则二项式系数和为，其奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都为， 故展开式中奇数项的二项式系数的和为． 【小问3详解】 二项式系数中，仅中间项最大说明为偶数，且中间项为第5项，即，得， 令，得，即展开式的所有项的系数和为1． 16. 记等比数列的前项和为，已知，， （1）求的通项公式； （2）求，并判断是否成等差数列，说明理由． 【答案】（1）． （2）， ，， ， 即，所以，，是等差数列． 【解析】 【分析】（1）先排除公比为1的情况，再利用等比数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）由等比数列的前项和求出，结合等差中项公式即可验证. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，当时，，所以， 则，解得． 故的通项公式． 【小问2详解】 略 17. 汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序．已知某工艺师每道工序成功的概率分别为，，，且相互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为优秀作品．在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品． （1）求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率； （2）求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值； （3）若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差． 【答案】（1）； （2） 0 1 2 3 4 ； （3），． 【解析】 【分析】（1）已知三道工序相互独立，利用独立事件乘法公式计算求解； （2）优秀作品数X服从二项分布，求出均值及相关概率，进而求出分布列； （3）建立得分与优秀件数的线性函数，借助期望方差的线性变换性质快速求值． 【小问1详解】 一件作品优秀的概率为:． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3，4，，． ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 【小问3详解】设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则， 由（1）知，，则， ，所以均值为，方差为． 18. 已知 （1）求函数的极值； （2）设，当时，不等式恒成立，求的最大值； （3）若，请判断集合与集合是否相等，并证明． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）3 （3），下面进行证明：． 当时，，则；当时，； 当时，，则，所以． 设，则， 因为在上单调递增，且， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，所以．所以． 【解析】 【分析】（1）求导，根据单调性得出极值； （2）利用参变分离求函数的最小值即可； （3）构造函数，通过求导得出其单调性即可解不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 因此当时，有极小值，并且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 不等式化为，所以对任意恒成立． 令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增． 又，， 则方程在上存在唯一实根，且，． 当时，，即，当时，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 所以．故整数的最大值是3． 【小问3详解】 略 19. 某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取人进行调查，设“学生报名篮球社团”，“学生为男生”，据统计，，． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？ 性别 报名 男生 女生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 合计 （2）篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由学生自行确定．每轮均设置次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第次投完，本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望（用表示）． 参考公式与数据：，其中． 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 合计 有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率计算频数，填充列联表，再通过卡方检验对比临界值，进而进行独立性判断； （2）分段写出离散型随机变量分布列，将期望展开，通过错位相减法化简得到期望表达式． 【小问1详解】 因为，所以报名参加篮球社团的人数为， 又因为，所以报名参加篮球社团的男生人数为， 女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 合计 ：学生报名参加篮球社团与性别无关，：学生报名参加篮球社团和性别有关． 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生报名篮球社团与性别有关联． 【小问2详解】 设甲完成一轮测试，投篮数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以． ， 以上两式错位相减得： ， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 已知等差数列中，，其前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山人，北宋文学家､书法家､画家．现有苏轼的本不同诗集全部奖励给名同学，每人至少分得一本，不同分配方案的种数为（ ） A. B. C. D. 5. 某地天气预报：下雨时预报下雨的概率为0.8，不下雨时预报下雨的概率为0.1．该地某季节下雨的概率为0.2．小明按“预报下雨则带伞”行事．若某天小明带伞，则实际下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 袋中装有2个红球和1个白球，除颜色外完全相同，从袋中有放回地依次取出7个球，定义数列为，记为数列的前项和，则的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，设数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究小组调查学生每周课外阅读时间（单位：小时）与语文作业中错别字个数（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示： 1 2 3 4 5 8 6 5 4 2 根据表中的数据计算得经验回归方程为，下列结论正确的是（ ） A. 与负相关 B. C. 当与时，残差相等 D. 每增加1小时，平均减少1个 10. 下列结论正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某同学参加100米达标训练，5次训练的成绩为：11.5秒，13.1秒，14.5秒，11.7秒，14.3秒，从这5次训练的成绩中不放回任意抽取两次，则两次抽取的成绩都比12.8秒好的概率为 C. 已知，，则是的充要条件 D. 已知甲、乙两位选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率是0.4，那么对甲而言“三局两胜”比“五局三胜”更有利 11. 已知随机变量的取值为不大于的正整数值，它的分布列为： 1 2 其中满足：，且.定义的生成函数为.若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含项的系数为_______． 13. 现有8道四选一的单选题，小明对其中7道题有思路，1道题没有思路．有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选择1题，他答对该题的概率为________． 14. 在平面直角坐标系中，动点从出发，每秒向正东、正西、正南、正北任一方向移动1个单位长度，移动6秒后到达原点，则不同的移动路径共有________条． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中： （1）若展开式中各二项式系数的和是，求展开式中的系数； （2）若展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，求展开式中奇数项的二项式系数的和； （3）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式的所有项的系数的和． 16. 记等比数列的前项和为，已知，， （1）求的通项公式； （2）求，并判断是否成等差数列，说明理由． 17. 汉绣是武汉国家级非物质文化遗产之一，源于战国时期的楚绣，色彩浓艳、针法粗犷，被誉为“荆楚艺术瑰宝，针尖上的传奇”，其制作需依次完成画样、绣制、修饰三道工序．已知某工艺师每道工序成功的概率分别为，，，且相互独立，当且仅当三道工序都成功，该作品为优秀作品．在某次汉绣比赛中，该工艺师制作了4件作品． （1）求该工艺师制作一件作品时，该作品为优秀的概率； （2）求该工艺师在本次比赛中制作的优秀作品数的分布列及均值； （3）若每件优秀作品得6分，不优秀作品扣3分，求该工艺师在本次比赛中得分的均值和方差． 18. 已知 （1）求函数的极值； （2）设，当时，不等式恒成立，求的最大值； （3）若，请判断集合与集合是否相等，并证明． 19. 某中学为了解男女学生参加篮球社团的差异，按性别分层随机抽样，在全体学生中抽取人进行调查，设“学生报名篮球社团”，“学生为男生”，据统计，，． （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加篮球社团与性别有关？ 性别 报名 男生 女生 合计 未报名篮球社团 报名篮球社团 合计 （2）篮球社团的选拔设置了如下投篮测试规则：测试活动不限时间，不限次数，测试多少轮由学生自行确定．每轮均设置次投篮，学生参与该轮测试，则至少投一次篮，一旦投中一球，则其本轮测试结束，投不中则继续投篮，直到第次投完，本轮测试结束．已知甲同学报名参加篮球社团，假设甲每次投篮是否投中相互独立，且每次投篮命中的概率均为．求甲在一轮测试中投篮次数的数学期望（用表示）． 参考公式与数据：，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $