精品解析：湖北云学联盟2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷

2025~2026学年度下学期教学质量检测题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 36 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 某高中体育课开设：篮球课、足球课、羽毛球课、排球课、乒乓球课和健美操六门课程，要求每名学生必须从中仅选择一门课程上课.小云、小阳、小东、小石4人共选了三门不同课程的选法数（ ） A. 720 B. 360 C. 120 D. 20 5. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得极小值 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 6. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 为测试一种新药的有效性，研究员用某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 15 35 50 未使用药物 30 20 50 合计 45 55 100 从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 若数列，则数列的前n项和 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 若事件A，B相互独立，则 C. 根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05. D. 在一组样本数据（，2，3，⋯，10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性回归方程为 11. 过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. P点的坐标可以是 B. P点的坐标可以是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和. 16. 某AI研发团队为探究模型训练时长对有效推理次数的影响，选取5组不同的训练时长方案，在相同硬件与数据条件下开展测试，统计出对应训练时长下的有效推理次数，得到如下数据： 训练时长x/h 12 13 14 15 16 有效推理次数y/次 4 6 18 20 26 （1）求变量y关于x的经验回归方程； （2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望. 附：；参考数据：. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，当时，函数在上的最大值为0，求a的值. 18. 某高中为了促进学生阅读兴趣，组织了一场知识竞赛.比赛以班为单位参与，分为预赛和决赛.预赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. （1）若甲班在预赛阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用X表示在前4次答题中答对的题目数量，求. （2）若乙班在预赛阶段每道题答对的概率是，用Y表示在前10次答题中答对的题数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少? （3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件A，B分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知A，B有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断A，B的关系，并在，时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 19. 已知函数. （1）当时，若恒成立，求实数的值； （2）当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； （3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期教学质量检测题 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】在等比数列中，， 结合，，则. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得解. 【详解】由已知正态分布，， 则. 3. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设， 因为定义域为，不等式两边同乘， 得到， 令或. 因为二次函数开口向上， 所以的解为或. 因为的定义域为， 所以最后不等式的解集为. 4. 某高中体育课开设：篮球课、足球课、羽毛球课、排球课、乒乓球课和健美操六门课程，要求每名学生必须从中仅选择一门课程上课.小云、小阳、小东、小石4人共选了三门不同课程的选法数（ ） A. 720 B. 360 C. 120 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】先从六门课程中选择三门，再将四人按照进行分组，再全排列即可，共有种方法. 5. 已知函数，则（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得极小值 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数计算即可得. 【详解】， 令，则，有， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，故A、B、C错误，D正确. 6. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对为奇数和偶数进行分类讨论，整理得到，从而得到，为常数数列，从而推出定值，进而代入即可求出的值． 【详解】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定单调性并比较大小. 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即当时，，因此，即； 令函数，求导得， 令函数，求导得， 而函数在上均单调递减，则函数在上单调递减， ，于是存在，使得， 当时，；当时，， 函数，即在上单调递增，在上单调递减， 而，，因此，函数在上单调递增， 因此，即，即，所以. 8. 为测试一种新药的有效性，研究员用某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 15 35 50 未使用药物 30 20 50 合计 45 55 100 从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势，在B发生的条件下A的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 【答案】A 【解析】 【分析】考查条件概率公式以及优势比的化简与计算，首先化简，再由条件概率公式以及数据求出概率代入求解即可. 【详解】已知，， 由条件概率公式：， ， 由列联表可知：，，，， ，， . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 若数列，则数列的前n项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，两式相减得：， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 若事件A，B相互独立，则 C. 根据小概率值的独立性检验，当时，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05. D. 在一组样本数据（，2，3，⋯，10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，若得到的新线性回归直线的斜率为3，则新的线性回归方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】借助二项分布方差公式、相互独立事件的概率公式、独立性检验性质及线性回归方程性质逐项判断即可得. 【详解】A：由题设，则，故A错； 对于B：由事件A，B相互独立，可知，对于随机事件A，B， 都有， 故仅当A，B互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C：根据小概率值的独立性检验，当时， 可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确； 对于D，因为，所以去除两个异常数据和后， 得到新的，因为且，所以， 则新的， 因为得到的新线性回归直线的斜率为3，则， 所以新的线性回归方程为，故D正确. 11. 过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. P点的坐标可以是 B. P点的坐标可以是 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设切点，用导数求切线斜率，与点斜式斜率联立得到方程，问题转化为方程有两根，再求导分类讨论参数即可. 【详解】设切点为 切线的斜率为， 此时曲线有两条切线，等价于方程有两个不同的根. 设， 当，即时，恒成立，在上单调递增， 此时：至多有一个零点，即最多有一个根，不符合条件， 当时，显然在上单调递减，在上单调递增， 结合图像的特征，要使有两个不同的零点，则必有： ， 显然只有B，C选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【详解】在中， 令，可得. 13. 若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求切点为，可得,解方程即可求解. 【详解】设所求切点为，由于, 所以，解得： 则其切点坐标为 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设n次传球后球在乙手中的概率为，结合递推关系得出数列是等比数列即可求出. 【详解】设n次传球后球在乙手中的概率为，则有， 必有， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， ， 故次传球后球在乙手中的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意求出数列的公比，再求得首项，即可得出结果； （2）结合（1）中表达式，再利用错位相减法计算. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 方法一： ①当时，，显然不合题意； ②时，，得：， 则，又，则； 由题：， 方法二： ，又，， 由题：， 【小问2详解】 ， 故： ， 两式相减得： . 16. 某AI研发团队为探究模型训练时长对有效推理次数的影响，选取5组不同的训练时长方案，在相同硬件与数据条件下开展测试，统计出对应训练时长下的有效推理次数，得到如下数据： 训练时长x/h 12 13 14 15 16 有效推理次数y/次 4 6 18 20 26 （1）求变量y关于x的经验回归方程； （2）当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望. 附：；参考数据：. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 P X的数学期望. 【解析】 【详解】（1）由题：， ， 因为， ，关于x的经验回归方程为. （2）由（1）知，. 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示. 训练时长x/h 12 13 14 15 16 有效推理次数y/次 4 6 18 20 26 预测值 3.2 9 14.8 20.6 26.4 残差的绝对值 0.8 3 3.2 0.6 0.4 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组. 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2. 则，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，当时，函数在上的最大值为0，求a的值. 【答案】（1）当时，在R上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导函数含参分类讨论判断函数的单调性即可； （2）先计算并求导，分类讨论参数与1的大小，结合函数的单调性与最值计算即可. 【小问1详解】 由题意得 令， 当时，恒成立，恒成立，在上单调递增； 当时，， 此时在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由于， ； 当时，， 由于， ①当，即时，在上单调递增， 此时当时，有最大值为：； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 此时当时，有最大值为：. 令，则，此时， 故无解，即方程无解. 综上：. 18. 某高中为了促进学生阅读兴趣，组织了一场知识竞赛.比赛以班为单位参与，分为预赛和决赛.预赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. （1）若甲班在预赛阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用X表示在前4次答题中答对的题目数量，求. （2）若乙班在预赛阶段每道题答对的概率是，用Y表示在前10次答题中答对的题数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少? （3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件A，B分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知A，B有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断A，B的关系，并在，时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【答案】（1） （2）8个题. （3）选择①：， 则 ，因此， 所以A，B相互独立. 选择②：，则， 因此，整理得， 所以A，B相互独立. 用C表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 所以经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能取值及各个取值对应的概率，再利用期望的定义求解. （2）利用二项分布的概率公式列出不等式组求解. （3）选择条件①②，利用条件概率公式推理判断事件的独立性；再利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，X的所有可能取值为：0，1，2，3，4， ，， ， ，， . 【小问2详解】 依题意，，假设最有可能答对题目的数量是k次， 则，即， 解得，又，因此，所以乙班最有可能答对8个题. 【小问3详解】 （3）略 19. 已知函数. （1）当时，若恒成立，求实数的值； （2）当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； （3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点. ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. （3），证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则， 由于在上单调递增， 又，， 所以. 【解析】 【分析】（1）分情况讨论函数的正负情况，即可得解； （2）求导根据导数判断导函数的单调性，结合零点存在定理可判断极值点，进而判断函数单调性与零点； （3）由，构造函数，求导判断函数单调性，进而确定正负，结合函数单调性，即可得证. 【小问1详解】 当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $