湖北武汉市东湖中学2025-2026学年高二下学期数学作业6.5

**基本信息** 以“知识整合+方法提炼”为核心，覆盖代数、几何、统计概率等模块，通过典例系统呈现解题思路与知识逻辑，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|4（集合、复数、数列等）|定义法、公式法、错位相减|概念→运算→应用| |几何|6（向量、立体几何、解析几何）|空间向量法、几何性质法|空间形式→位置关系→数量计算| |统计概率|2（统计、概率）|独立性检验、分布列求法|数据收集→分析→决策| |导数应用|1（导数极值）|导数法、分类讨论|函数性质→极值判定→证明|

2026年6月5日高中数学作业 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，点对应的复数为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的有（   ） ①数据1，3，5，7，9，11的第50百分位数为5，中位数为6； ②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等； ③若随机变量满足，则，； ④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好； A．3个 B．2个 C．4个 D．1个 5．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（   ）（参考数据：） A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB 6．已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，，为圆：上一点，则（    ） A．点在圆外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 10．已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 11．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，，为圆的两条直径，且，母线，与该圆锥的内切球分别切于，两点，则（    ）    A．圆锥的体积为 B．球与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线与所成角为 D．平面截球的截面面积为 三、填空题 12．若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为______． 13．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为_____；若在区间上有零点，则的最小值为_______． 14．在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 四、解答题 15．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和，求． 16．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. (1)根据以上数据，填空下述列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； (3)现从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签，记赠送书签的人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 17．如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置. (1)若，求证：平面； (2)记平面与平面的夹角为，求的最小值. 18．已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 试卷第1页，共3页 《2026年6月5日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A B B A ABD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】分别确定集合，，根据并集的概念求可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．D 【分析】根据复数的乘法运算及复数对应点求参即可. 【详解】因为对应点为, 所以, 即得. 故选：D. 3．D 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数的值，即可判断A；根据及数量积的坐标表示求出，即可判断B；表示出，，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：因为，， 显然，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：D 4．B 【分析】根据百分位数及平均数定义计算判断①，应用方差计算判断②，应用数学期望及方差性质判断③，应用残差及拟合效果判断④. 【详解】对于①，该组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，由， 可知第50百分位数为第三项与第四项的平均数，为， 而中位数也是第三项与第四项的平均数，即6，故①错误； 对于②，因一组数据的方差为， 若，则，即这组数据中的所有数值均相等，故②正确； 对于③，根据随机变量的期望与方差的性质：（） ，因，可得，，故③ 正确； 对于④ ，在回归模型中，根据残差的意义可知，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，残差平方和越大，则拟合的效果越差，故④错误. 5．A 【分析】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似值. 【详解】由， 因为，所以， 故答案为：A 6．B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 7．B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，可判断的范围，即可进行选择. 【详解】由，易知函数为增函数， 因为，且由零点存在定理，可知． 由，易知函数为增函数 因为，．且 由零点存在定理，可知． ， 因此， 故选：B. 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，涉及指数函数和对数函数的单调性，属综合基础题. 8．A 【分析】过点作，延长交于点，利用平行关系得出对应线段成比例，在直角三角形中，结合双曲线定义得出各边之间的关系，在三角形中，利用余弦定理求得结果. 【详解】如图，过点作，延长交于点， 因为，，，所以， 设，则，， 因为，所以，所以， 在直角三角形中，，所以，即， 所以. 在三角形中，由余弦定理得， 所以，整理得， 所以. 故选：A. 9．ABD 【分析】由点与圆的位置关系以及两点间的距离求解即可. 【详解】对于A， ，所以在圆外，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C，当时，，，，C错误； 对于D，设，则，故 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等，D正确． 10．AD 【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项. 【详解】A.时，，时，单调递减，时，单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 如图，画出函数的图象， B.当，，得或 所以当，， 当，单调递增，由增加到1， ，由1减小到，存在点时，，故B错误； C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误； D.当时，，，此时， ，所以，故D正确. 11．ACD 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得，所以，且， 所以圆锥的体积为，A正确； 对于B，公共点的轨迹是以为直径的圆，因为，所以轨迹的周长为，B错误； 对于C，连，则，且， 所以异面直线与所成角即为与所成角， 由，， 可得平面，得， 所以为等腰直角三角形，， 所以异面直线与所成角为，C正确； 对于D，设球半径为，则为的中心， 则，得， 由平面得 ， 又，得到平面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以平面截球的截面面积为，D正确．    12．32 【分析】根据给定信息求出幂指数，再利用二项式系数的性质求得答案. 【详解】由的展开式共有6项，得， 所以展开式中所有二项式系数之和为. 故答案为：32 13． （答案不唯一） 4 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一）； 14． 【分析】作出辅助线，得到外切球的半径关系，求出的关系式，求出最小值. 【详解】如图，过棱作正方体的截面， 由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上. 设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于， 作于P，由∽，得， 解得，同理可得，对于任意，， 又由于＝1，所以，其表面积， 所以，注意到当时， ，此时， 且，故M的最小值为. 15．(1) (2)16 【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论. （2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求. 【详解】（1）当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）由题意， 所以. 所以. 16．(1)答案见解析 (2)认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. (3) . 【详解】【小题1】根据题中数据可得列联表如下： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 【小题2】零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. 【小题3】从调查的女生中，按分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人赠送书签， 这人中，甲组的人数为人，乙组的人数为人， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 所以. 17．(1) 连接、，如下图所示： 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，，又因为， 所以，则，所以， 因为四边形为平行四边形，则， 由余弦定理计算得， ，所以， ，所以，故，因为，， 所以，所以，翻折前，翻折后则有， 因为，、平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接、，推导出，进而得出，利用余弦定理求出、的长，结合勾股定理得出，证明出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，令，得， 设平面的法向量为，，， 则， 令，则， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 18．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【详解】（1）由题意可得，则， 又因，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）联立，消去整理可得，    因为直线与双曲线有两个交点， 所以解得且， 设，，则，， 所以 ， 解得，不满足且，不符合题意， 所以不存在满足. 19．(1) (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $