探究与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 导学案-2026-2027学年人教版数学七年级上册

探究与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 一、学习目标 1、明白数系扩充的过程：自然数→正数→有理数（引入负数），理解数学运算具有运算一致性原则。 2、理解：为了保证小学的乘法分配律、运算规律在负数范围内依然成立，必须推导出 “负负得正”。 3、能够利用乘法分配律严谨推导有理数四种相乘的情况，弄懂乘法法则的由来，不再死记硬背。 4、可以逆向运用分配律验证乘法算式，并且结合原理解决辨析类题目，理清逻辑易错点。 5、感悟数学严谨性，掌握 “数系扩充后，原有运算性质保持不变” 这一重要数学思想。 二、学习重难点 重点：数系扩充的基本原则；利用乘法分配律推导有理数乘法的全部法则；理解负负得正的合理性。 难点：理解运算一致性的含义；对负数参与分配律展开的符号处理；用逻辑说理的方式证明乘法结果。 三、课前旧知回顾 1、小学阶段：只研究正数和 0 的乘法，乘法满足分配律：，交换律、结合律全部成立。 2、有理数范围新增了负数，我们希望：扩充负数之后，原来的乘法运算律不能失效，这是数系扩充的基本原则。 3、相反数：；任何数乘 0，结果都等于 0。 四、核心知识点详细梳理 知识点 1：数系扩充的核心原则（本节中心思想） 把数从正数扩充到有理数（加入负数）时，约定一条铁则： 原来在正数范围内成立的运算定律（交换律、结合律、分配律），在新的有理数范围内，必须依旧成立。 所有有理数的乘法法则，并不是人为随便规定的，而是为了保住运算律，推导出来的必然结果。 知识点 2：利用乘法分配律，分步推导四种有理数乘法 推导 1：正数 × 负数（例：） 利用分配律构造等式： 拆开括号： 也就是 ，可以得出： 结论：正数乘负数，结果为负，绝对值相乘。 推导 2：负数 × 正数（例：） 同理构造：，结合分配律可证： 结论：负数乘正数，异号得负，绝对值相乘。 推导 3：最关键：负数 × 负数（负负得正，课本推导原型） 求证： 的结果 构造等式： 根据分配律展开： 我们已经算出 ，代入式子： 移项计算可得： 总结：负数乘负数，同号得正，再把绝对值相乘，这就是 “负负得正” 的来历。 推导 4：任意数与 0 相乘 无论正数、负数，和 0 相乘结果都是 0，和小学运算保持一致。 知识点 3：完整归纳有理数乘法法则（推导后的最终结论） 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2、任何有理数同 0 相乘，积都为 0。 知识点 4：重要推论（规律总结） 1、规律：把乘法算式中任意一个因数换成它的相反数，乘积也变成原来结果的相反数。 举例：，则，。 2、数学本质：有理数乘法法则，是运算相容性的必然产物，不存在矛盾。 知识点 5：常见误区辨析 误区 1：“负负得正只是硬性规定” 纠正：并不是强行规定，是为了保证分配律有效，严格计算推导出来的结果。 误区 2：分配律在有负数的时候不能用 纠正：有理数范围内乘法分配律完全适用，恰恰是依靠分配律，我们才定义了负数的乘法。 五、典例精讲（说理题型，本课专用题型） 例 1 利用分配律，说明的理由 解：构造算式： 去括号： 已知，代入得： 所以 例 2 根据规律直接填空 已知，那么： ；； 例 3 辨析题：有人说 “负数乘负数根本说不通，不该等于正数”，请你用今天学的数系扩充原理解释。 答：我们把负数纳入数系时，要保证乘法分配律仍然成立。按照分配律推导，负数乘负数的结果必然为正，这是为了保证整个运算体系自洽，所以负负得正是合理的。 六、分层课堂练习题（分为说理题、计算题、辨析题） A 组（基础计算，运用推导规律） 1、根据，直接写出结果： 2、计算： ， B 组（说理推导题，本课核心题型） 1、仿照例题，用乘法分配律证明： 2、填空： C 组（判断说理题） 1、判断对错：引入负数之后，原来的乘法分配律就不再成立了。（），说明理由。 2、思考：如果强行规定 “负负得负”，会出现什么问题？（提示：分配律会失效） 参考答案 A 组：-15、-15、15；24、-14 B 组 1：构造，展开推导即可得出结果； C 组 1：错误，有理数扩充时要求保留所有乘法运算律，分配律依旧成立。 七、易错点汇总 1、做分配律展开时，负数乘括号里的每一项，符号容易出错； 2、不理解原理，单纯背口诀，遇到说理题目无法作答； 3、构造等式的时候，不会利用 “一个数加它的相反数等于 0” 来搭建算式。 八、课堂背诵小结 1、数系扩充原则：原有运算律必须保持不变； 2、依靠乘法分配律，能够完整推导出所有有理数乘法； 3、异号相乘得负数，同号相乘（负负）得正数，不是人为规定，是逻辑推导的结果； 一个因数取相反数，乘积也取相反数，这是乘法的通用规律。 学科网（北京）股份有限公司 $