暑假作业15 重难专题09：破解导数问题的四大秒杀技——泰勒展开式、洛必达法则、二阶导、必要性探路（含端点效应）（巩固培优,4知识4题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以泰勒展开式、洛必达法则等四大技法为核心，构建导数问题系统性解题框架，融合概念推导与题型应用，培养数学思维与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |泰勒展开式|4题|公式记忆（“指对函数一二三”等口诀）与近似计算|从定义到常见函数展开式推导，建立复杂函数近似表达逻辑| |洛必达法则|5题|未定式极限“三条件”判定与逐阶求导步骤|衔接导数应用，明确法则适用范围与易错点| |二阶导|4题|函数凹凸性分析与极值第二判定定理|构建“原函数-一阶导-二阶导”单调性递推关系| |必要性探路|5题|参数范围缩小（端点/特殊值）与充分性验证|端点效应特殊化应用，降低恒成立问题思维成本|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业15 重难专题09：破解导数问题的四大秒杀技——泰勒展开式、洛必达法则、二阶导、必要性探路（含端点效应） 【知识点1 泰勒展开式】 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 【知识点2 洛必达法则】 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 【注意事项】 (1)将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则. 【知识点3 二阶导】 1．二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 2．二阶导数与一阶导数及原函数的关系 (1)一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减. (2)二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减. 3、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 【知识点4 端点效应与必要性探路】 1.必要性探路思路 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 2.必要性探路的基本步骤 ⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. ⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本. 3.端点效应 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 【题型1 泰勒展开式的应用】 1．（25-26高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ） A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 2.· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 3.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 4．证明不等式：． 【题型2 洛必达法则的应用】 1．（24-25高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2027高三·全国·专题练习）已知函数．当时，则的取值范围为 ． 3．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 4．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 5．已知函数．当时，求的取值范围． 【题型3 二阶导的应用】 1．（24-25高二下·广东清远·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为____________． 3．已知函数的最小值是，则___________. 4．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【题型4 必要性探路的应用】 1．当恒成立，则k的最大整数值为 . 2．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 3．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 4.（2024全国甲卷）已知函数. 1. 当时，求的极值； 1. 当时，，求实数的取值范围. 5．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 1．已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2.（2021·全国乙，12）设，，，则　　 A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增,则和的可能取值为（   ） A． B． C． D． 4．定义．那么在上的取值范围是 ． 5．（2027高三·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的详解式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 6．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 7．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 1．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 2．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 3．（25-26高三上·甘肃武威·阶段检测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业15 重难专题09：破解导数问题的四大秒杀技——泰勒展开式、洛必达法则、二阶导、必要性探路（含端点效应） 【知识点1 泰勒展开式】 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 【知识点2 洛必达法则】 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1) f(x)＝0及g(x)＝0； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件 (1)f(x)＝∞及g(x)＝∞； (2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0； (3)＝A，那么＝＝A. 【注意事项】 (1)将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则. 【知识点3 二阶导】 1．二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 2．二阶导数与一阶导数及原函数的关系 (1)一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减. (2)二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减. 3、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 【知识点4 端点效应与必要性探路】 1.必要性探路思路 必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本． 2.必要性探路的基本步骤 ⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）. ⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调. ①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案; ②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值. 【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本. 3.端点效应 端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 【题型1 泰勒展开式的应用】 1．（25-26高二下·重庆·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，则的近似值（结果精确到0.001）最接近为（    ） A．0.323 B．0.325 C．0.327 D．0.329 【答案】C 【详解】由题意知， 两边求导可得，即， 则， 故选：C 2.· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 【答案】C 【详解】直接利用泰勒展开式比较大小. 设 ， . 则； ， 所以c<a<b,故选C. 3.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解法1（构造函数）：因为,因为当,所以,即,所以；设，，所以在单调递增，即x>0时， 则,所以，所以,所以.故选A. 解法2（泰勒公式、估算法）:由泰勒公式可得 , 4．证明不等式：． 【分析】不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 ．这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系． 【详解】证明： 因为，， ，， ，， ，， 将原函数近似函数展开(泰勒展开)至含三阶导的项，则 0，()， ∴0，有. 【点睛】方法点睛：在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系．如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），很难比较大小关系，但用泰勒公式却能轻易解答． 【题型2 洛必达法则的应用】 1．（24-25高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 故选：B. 2．（2027高三·全国·专题练习）已知函数．当时，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 3．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 4．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 5．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 【题型3 二阶导的应用】 1．（24-25高二下·广东清远·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性与对称性解函数不等式即可. 【详解】由函数，所以，则为偶函数， 当时，又因为,且恒成立， 则，所以在时单增, 综上可得等价于,即或,解得 故选:C 2．函数的单调递增区间为____________． 【答案】/ 【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故的单调递增区间为（或）． 故答案为： 3．已知函数的最小值是，则___________. 【答案】 【分析】先设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数. 【详解】由题意可得. 设，则，所以是偶函数. 当时，. 设，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以， 由. 故答案为： 4．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 【题型4 必要性探路的应用】 1．当恒成立，则k的最大整数值为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用求导求出的取值范围便可求得k的最大整数值. 【详解】解: 令 可知，令，则 当时， 即在上单调递增 ,使得 在上单调递减，在上单调递增 故在有，且 ，且取最大整数 故的最大整数值为. 2．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 【答案】存在，2. 【分析】由对一切恒成立，则当可得，可知仅可取1，2，证明当时，将不等式转化为对一切恒成立，设，求导并利用导数研究函数的单调和最值，从而得出，即可得出当时，不等式恒成立，从而可知的最大值为2. 【详解】解：易知对一切恒成立， 当可得，而为正整数，则仅可取1，2， 当时，，即， 下面证明当时不等式对一切恒成立， 设，则， 对于函数，则，当时，， 所以在单调递增，故，则， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 当时，不等式恒成立，所以最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，从而求出参数值，解题的关键在于将代入不等式后可知仅可取1，2，进而将不等式恒成立问题转化为不等式证明问题，再通过构造新函数和利用导数研究函数的单调性和最值，从而解决不等式恒成立问题，考查学生转化和化归思想. 3．已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 4.（2024全国甲卷）已知函数. 1. 当时，求的极值； 1. 当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ，由此可得在上单调递增， 又因为，所以在上单调递减，上单调递增， 即得的极小值为，无极大值. （2）,因为， ，可得， ，令，得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. ， 令，， ， 所以在上单调递增，， 即得在上单调递增，， 综上所述 实数的取值范围为. 5．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先求定义域，求导后分类讨论，得到函数的单调性；（2）构造，观察到，先用必要性探究得到，即，再充分性证明. 【详解】（1）函数，定义域为 则； ①时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； 又时，，（）； ②当时，，时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③当时，，时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； ④当时，， 当和时，， 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑤当时，，当和时，， 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑥当，即时，，所以在定义域上单调递增； 综上：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递减， 在区间和上单调递增； ④当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑤当时，在定义域上单调递增； （2）令， 原问题等价于在区间上恒成立， 可见， 要想在区间上恒成立，首先必须要， 而， ，解得：； 另一方面当时，， 由于，可见， 所以在区间上单调递增，故， 所以在区间上单调递减， ∴成立，故原不等式成立． 当时，，根据函数的连续性，可知存在，使得，不合题意，舍去； 综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为． 【点睛】比较复杂一些的求参数的取值范围题目，通常情况下要构造函数，进行求解，而必要性探究和充分性证明的方法是非常重要的方法，要对函数的特殊值足够敏感. 1．已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1（超越不等式法）： （超越不等式：，当且仅当时取“=”）. （超越不等式：，当且仅当时取“=”）. 所以 解法2（泰勒公式法）：由泰勒公式得<a; =a,故 2.（2021·全国乙，12）设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题方法很多，这里只给出泰勒公式法. 排除A与D,显然只需考虑a与c的大小; ,由泰勒公式⑥，得故选B. 3．若函数在上单调递增,则和的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次求导得到在上单调递增,要想在上单调递增,只需,再通过构造新函数求单调性结合不等式放缩逐项检验. 【详解】,且,且,, 令,则恒成立,故在上单调递增, 要想在上单调递增,只需,即只需. 对A，由， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 所以，与矛盾，则A错误； 对B，令,，则在上恒成立，故在上单调递增, 故，即，则 , 与矛盾，则B错误. 对C，因为，所以 ，符合，故C正确； 对D，令, 当, 单调递减，故，即 因为, ，即,与矛盾，故D错误． 故选：C． 4．定义．那么在上的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得， 构造函数， 则恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即，所以， 所以在单调递减， 因为，时，， 所以. 5．（2027高三·全国·专题练习）设函数， (1)若，（为常数），求的详解式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 6．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见详解 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 7．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）由，可得，函数与有公共点，即有解，设，求导数，求出函数的值域即可. （2）不等式恒成立,即恒成立,当时，成立，解得，故再验证时，不等式成立即可得出答案. 【详解】解：（1）令，即，则， 函数与有公共点，即有解. 令，则. 令， 当时，，所以，当时，，所以 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以且当时， 所以. （2）不等式恒成立,即恒成立. 则时，成立，解得， 由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意. 当时，令，且在上单调递增. 又，可知存在唯一的正数，使得， 即， 则在上单调递减，在上单调递增.所以， 即当时，不等式成立. 故整数的最小值为 【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据时，不等式成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证满足条件，从而得出答案. 属于中档题. 1．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可； （2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围． 【详解】解：（1）证明：时，，， 设，则，令，解得：， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意，，， 令，，令，解得：， 故在区间递增，在递减， 故，故， 令，，， 令，解得：， 故在区间递减，在区间递增， 故，故，递增， 故，故，，， 对于任意，恒成立， ，故， 当时， ， 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是. 2．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见详解；（2）2． 【分析】（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论. （2）先判断整数可知，接着证明 在区间上恒成立即可可出结论. 【详解】解： （1）证明：设，，则． 因为，且 则在，单调递减，， 所以存在唯一零点，使得 则在时单调递增，在上单调递减 又， 所以在上恒成立上，所以在单调递增 则，即， 所以． （2）因为对任意的， 即恒成立 令，则 由（1）知，所以 由于为整数，则 因此 下面证明，在区间上恒成立即可. 由（1）知，则 故 设，，则， 所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立. 综上所述, 的最大值为2． 3．（25-26高三上·甘肃武威·阶段检测）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，这个公式来自于微积分中的泰勒定理，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式.若函数在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数，则对任意，有，其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项，叫作在处的阶泰勒多项式.已知函数. (1)求在处的3阶泰勒多项式. (2)证明：当时，. (3)当时，是否存在实数，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)存在，的最小值为 【分析】（1）利用泰勒多项式计算即可求得在处的3阶泰勒多项式. （2）当，结合（1）可知成立，当时，可得，可得结论成立； （3）当时，，当时，分离变量得，令，通过求导研究其单调性，从而求得的最大值即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 则. （2）当时，； 当时，由泰勒定理可知存在，使得. 因为，且，所以，则. 综上，当时，. （3）当时，不等式，即不等式，. 当时，不等式等价于不等式. 设函数， 则. 设函数， 则，，，. 显然在上单调递增，且， 则在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，即的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $