暑假作业13 重难专题07：同构与异构（含指对同构）（巩固培优,4知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦导数中同构与异构方法体系，从概念界定、构造技巧到综合应用形成完整逻辑链，通过9类题型实现解题方法迁移，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同构基础|含顺反/同位同构等4类方法，5种常见构造|提炼加减/局部/差一同构技巧，建立和积差商联系|从概念到方程/不等式应用，形成"构造函数→利用单调性"解题链| |指对同构|含3种基本模式，5个常见变形|通过指对数恒等式实现跨阶转化，积/商/和差型取对数同构|基于同构拓展，解决指数对数混合问题，强化数学语言表达| |同构+放缩|结合切线放缩不等式|放缩后构造同构式简化证明，提升复杂问题转化能力|同构方法与放缩技巧融合，体现知识应用的灵活性| |异构|基于泰勒公式的母函数构造|拆分原式为复合函数和，验证取等条件|从同构单一母函数到异构多母函数，拓展解题视角|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业13 重难专题07：导数中的黑科技——同构与异构（含指对同构） 【知识点1 同构】 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法： (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； 3 差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之 4．常见构造： （1）和与积联系：，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造．等等． （2）差与商联系：如，构造； ，构造； ，构造． ，构造， ，构造 ，构造， 【知识点2 指对同构】 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．五个常见变形 拓展： 3.相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 (1)积型: 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 (2)商型: (3)和差型: 如 【知识点3 同构+放缩】 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 【知识点4 异构】 异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围。 母函数的构造可以基于泰勒公式： 展开到一次项的母函数有： ，， ，，， 展开到二次项的母函数有： 此时 【题型1 同构求值】 1．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 2．（24-25高二下山东聊城月考）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）若，且，则______． 【题型2 同构比较大小】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【题型3 同构解不等式】 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型4 双变量同构】 1．（25-26高三上河南月考）若对任意的，x1，x2∈(0，e2]，且，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．－e2 B．－e C．－2 D．－1 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 4．（25-26高二下江苏盐城期末）已知函数,且函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求实数的值； (2)对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【题型5 同构+放缩】 1.（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当时，，求 的取值范围. 【题型6 指对同构】 1．（25-26高一上·广东河源·期末）若是方程的解，是方程的解，则（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东·期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 5．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【题型7 同构证明类型】 1．（23-24高二下四川乐山期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若，求证：． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型8 同构零点（实根）类型】 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下河南商丘期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【题型9 异构】 1．已知正实数，满足，则等于（ ） A．2 B． C． D． 2．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．.已知函数，，若，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4． 1．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知是方程的一个根，则的值是______． 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 10．已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 11．已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围. 1．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）e是自然对数的底数，m∈R，n>0，已知mem+ln n>nln n+m，则下列结论一定正确的是(　　) A.若m>0，则m-n>0 B.若m>0，n>1，则em-n>0 C.若m<0，则m+ln n<0 D.若m<0，则em+n>2 3.（25-26高二下辽宁大连期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 4．（25-26高二下·山东青岛·期末）若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 5．已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求. （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业13 重难专题07：导数中的黑科技——同构与异构（含指对同构） 【知识点1 同构】 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法： (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； 3 差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之 4．常见构造： （1）和与积联系：，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造．等等． （2）差与商联系：如，构造； ，构造； ，构造． ，构造， ，构造 ，构造， 【知识点2 指对同构】 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．五个常见变形 拓展： 3.相对跨阶想同构同左同右取对数 三种基本模式 (1)积型: 说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知 (2)商型: (3)和差型: 如 【知识点3 同构+放缩】 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 【知识点4 异构】 异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围。 母函数的构造可以基于泰勒公式： 展开到一次项的母函数有： ，， ，，， 展开到二次项的母函数有： 此时 【题型1 同构求值】 1．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 【答案】A 【分析】通过变量替换将第二个方程变形为与第一个方程相同的形式，利用函数单调性得到，从而求解出的值. 【详解】由题意可得，满足方程， 满足方程， 令，则， 将代入可得： ，进一步化简可得：， 观察与，发现两个方程形式相同， 设，对函数求导可得：， 在时，，所以在时单调递增，即方程有唯一解， 所以，，即，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下山东聊城月考）已知实数分别满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果. 【详解】由可得，，则， 即，又， 所以，且，. 令，则，当时，恒成立， 所以，在上单调递增. 又，，，所以. 所以，. 故选：A. 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知实数x，y满足，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【详解】由， 变形为. 令，，.则等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且， 所以， 所以，解得，所以. 4．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）若，且，则______． 【答案】/ 【分析】构造函数，分别求导求出最值，则当两式相等时，结果只能是最值时取等，从而求解. 【详解】设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以； 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以； 所以若，必有， 所以， 故答案为：. 【题型2 同构比较大小】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解 【详解】设 ，对求导得：， 因为 ，得 ，因此 是定义在R上的单调递减函数， 又 ，得 ，代入即得 . 2．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小. 【详解】设函数，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 而，，， 又因为，且在上单调递减，所以， 即. 【题型3 同构解不等式】 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，， 因为，可知函数为的偶函数， 又因为， 当时，， 若，则，即； 若，则，，可得， 可知在内单调递减，则在内单调递增. 对于不等式， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，可得， 即，可得，解得，且； 综上所述：不等式解集为. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可. 【详解】由题意，设，则， 当时，有，所以当时，， 所以函数在上为增函数， 因为函数是偶函数，所以是偶函数， 由，得，又，所以， 所以，所以，又函数在上为增函数， 所以，解得或，所以成立的的取值范围是. 【题型4 双变量同构】 1．（25-26高三上河南月考）若对任意的，x1，x2∈(0，e2]，且，不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．－e2 B．－e C．－2 D．－1 【答案】D 【分析】由已知条件将不等式转化为恒成立，构造函数，可得在上为增函数，再由可求出的范围，从而可求出的最大值 【详解】因为，且，所以， 所以不等式恒成立，等价于恒成立， 所以，即恒成立， 令，则， 所以在上为增函数， 所以在上恒成立，即， 所以在上恒成立， 所以， 所以的最大值为， 故选：D 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 4．（25-26高二下江苏盐城期末）已知函数,且函数的图象在处的切线与直线平行． (1)求实数的值； (2)对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，求出的值，再代入检验即可；(2)依题意可得恒成立，所以在上单调递减，令，，则在上恒成立，再参变分离可得在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得解； 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为函数的图象在处的切线与直线平行，即，解得或； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线平行，符合题意； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线重合，不符合题意； 所以. (2)对于任意，，当时，不等式恒成立， 即恒成立， 所以在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则在上单调递递增， 所以， 所以在上单调递递增，所以， 所以，即实数的取值范围为； 【题型5 同构+放缩】 1.（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得，则 . 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则，故. 故选：AB 2．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为，所以 得，即 构造函数 ， 恒成立，所以单调递增， 因为 , 因此原等式可写为 由单调递增可知 ，故 即， 即 因为，，所以 , 所以 当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为. 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)当时，，求 的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先求函数在切点处的导数值（切线斜率），再结合切点坐标用点斜式求出切线方程. （2）先通过移项构造新函数，将题目给出的不等式条件转化为新函数的单调性问题，再通过导数研究函数的最值，进而求解参数范围. 【详解】（1）当时，， 则，，， 所以，即， 化简得，， 故曲线 在点 处的切线方程. （2）设，， ， 因当时，， 则，即， 所以在上单调递增， 即，在上恒成立， 即，令，，则， 当时，，，所以，即， 所以在上单调递减，当时，， 所以在上成立，则，故的取值范围为. 【题型6 指对同构】 1．（25-26高一上·广东河源·期末）若是方程的解，是方程的解，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方程解的意义建立等式，再借助同构思想构造函数，利用导数确定单调性即可得解. 【详解】依题意，，且，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，因此，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 3．（25-26高二下·广东·期末）已知当时，函数恒成立，求实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，求函数最值即可. 【详解】当时，函数，因此不符合题意； 当，根据函数，即， 令函数，导函数， 令，，令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值，即， 所以，即，因此函数在上单调递增. 因为，即， 所以在上恒成立， 所以，令函数， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即， 所以． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先将方程转化为，再由的单调性及零点可得，进而转化为函数与的交点问题，用导数判断函数的单调性及极值，再用数形结合判断可得. 【详解】由，得，即. 由函数在上单调递增，且，得，即. 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故. 且当时，，当时，，当时，，如图： 若方程有且仅有两个交点，则，即. 因此，实数的取值范围为. 5．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；(2)；(3)见详解 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【题型7 同构证明类型】 1．（23-24高二下四川乐山期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，若，求证：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见详解 【分析】（1）当时，，对求导，得到，令，得到，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，再结合条件，得到，再构造函数，求出函数的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果. 【详解】（1）当时，，所以， 令，得到，当时，，时，， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，， 由，得到， 令，则， 令，则，由，得到， 当时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，又，所以，当且仅法时取等号， 所以在区间上单调递增，得到， 又， 所以， 令，所以，令，得到， 当时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，故. 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数，其中， 为自然对数的底数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若对任意 ，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；（2）见详解 (3) 【详解】（1）当时，， 则， 则，， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）由于，故， 令，由于在上单调递增，则， 则可化为函数， 则，由于，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故的极小值也即最小值为， 故，即. （3）由（2）知，对任意 ，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立，分情况讨论： 当时，恒成立，在R上单调递增， 当时，存在t使，不满足条件； 当时，对恒成立，满足条件； 当时，由（2）知的最小值为，令，得， 即， 综上，a的取值范围为. 【题型8 同构零点（实根）类型】 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知方程根据指数幂与对数转换为同结构的式子，，从而构造函数，利用单调性化简方程为，结合对数与指数函数关系，取对数运算转换为有两个根，根据函数的单调性确定函数取值情况，从而可得实数的取值范围. 【详解】对得， 而函数在上为增函数， 所以，对两边同时取自然对数， 得，即， 所以与图象恰好有两个交点， 又，则在单调递增；在单调递减， 而，当时，，当时，， 故， 故实数的取值范围为. 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可得出，可得出，构造新函数，，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，，结合零点的存在定理，得到A、B不正确. 【详解】设，其中， 对任意的恒成立， 则函数在上为单调递增函数， 因为是方程的实根， 由可得， 由可得，故，从而得出， 构造新函数，，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得，， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，，可得，在上为单调递增函数， 因为，，即， 所以， 又由，且，所以，所以A、B都不正确. 故选：C. 3．（23-24高二下河南商丘期末）已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，判断函数单调性，即得答案； （2）将函数恰有2个零点，转化为方程恰有2个正实数解．继而利用函数单调性转化为方程恰有2个正实数解．继而设，则恰有2个零点，利用导数结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 若，则，当或时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减． （2）由题知，， 恰有2个零点，方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解． 设，即方程恰有2个正实数解， 显然在上单调递增， ，即方程恰有2个正实数解． 设，则恰有2个零点， ， 若，则， 在区间上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 要使函数恰有2个零点， 则， ，即． 当时， ， 存在，使得， ， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，故， 即，当且仅当时取等号； 由于，故， 设， 则当时，， 在区间上单调递增， ， 存在，使得， 当时，恰有2个零点， 实数的取值范围为． 【题型9 异构】 1．已知正实数，满足，则等于（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】 令 当时，，当时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， 令 ， 当 时，， 当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， 2．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式整理为，构造函数，求导函数判断原函数单调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值. 【详解】由，得，构造函数， 则 ，， 当时，，当时， ，所以在上单调递增， 得，，在上恒成立， 设，， 当时，，单调增， 当时，，单调减， ，所以 故选: A. 3．.已知函数，，若，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值. 【详解】由题意得，，，即， 令函数，则， 所以，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 又当时，，时，， 作函数的图象如图所示. 由图可知，当时，有唯一解，故，且， ∴.设，，则， 令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即的最大值为. 故选：D. 【关键点睛】本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解. 4． 【证明】要证 ，即证 ， 又 ． 令 ， ∴ ． ∴ 当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立。 当且仅当 时取等号． 令， ∴， ∴ 在 上单调递增， 即， 所以 1．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 2．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则.利用导数分析其单调性，将不等式转化为，再根据的单调性，结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】令函数，则. ，所以是减函数. 因为 ， 所以. 因为，所以. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造函数，求导可得在上单调递增。利用，通过比较在不同自变量处的函数值，即可判断各选项不等式的正误. 【详解】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 4．（2026·重庆·一模）关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 5．（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 6．（2026·广东佛山·模拟预测）若恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）比较大小，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用导数分析其单调性，利用在上的单调性比较与的大小；构造，用导数分析其单调性，证得，赋值推得，再由，推出，即可比较与的大小，得到最终结果. 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增. 又，即对恒成立. 令得，,又，∴ ，， 又 综上可得，. 8．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知是方程的一个根，则的值是______． 【答案】4 【分析】对给定方程进行等价变形，通过构造单调函数，利用函数单调性得到变量间的等量关系，进而求解目标式的值. 【详解】依题意，，将 变形， 得 , 两边同时加上，得. 设， 则, 故在定义域上单调递增. ∴ 由，可得, 化简得，即, 故. 设方程的根为，则, ∴ . 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】令，利用导数求出的取值范围，原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论后分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可得解. 【详解】因为 ， 所以恒成立， 设 ，则 为增函数， 由 可得， 所以时， ，时， ， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，且时， ， 所以，令 ，则， 即恒成立， 当时， ，对任意 成立， 当 时，令， 则，当时， ，函数在上单调递减，， 当时，由原不等式可得恒成立，所以； 当时，令 ，解得 ， 所以时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故， 当 时，由原不等式可得恒成立，所以， 综上，不等式恒成立需满足，即. 10．已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 【答案】（1）只有一个零点 （2）见详解 【详解】（1）函数定义域为，则，故在，递增，当时，，没有零点；当时，单调递增，，，由函数零点存在定理得在区间内有唯一零点，综上可得，函数只有一个零点. （2）法一：要证，即证，令，定义域为，则，由（1）知，在区间内有唯一零点，设其为，则①，因，且在区间上单调递增，∴当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；∴，由式①可得，，∴，又时，恒成立，∴，得证. 法二：问题转化为证明，令，易知，(当且仅当时“”成立)又，则，故(当且仅当时“”成立). 11．已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】(1)当a=e时，f(x)=ex-ln x+1， ∴f'(x)=ex-，∴k=f'(1)=e-1. ∵f(1)=e+1，∴切点坐标为(1，1+e)， ∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)x+2， ∴切线与两坐标轴交点坐标分别为(0，2)，， ∴所求三角形面积为×2×=. (2)方法一　由f(x)≥1得aex-1-ln x+ln a≥1， 即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x， 而ln x+x=eln x+ln x， ∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x. 令h(x)=ex+x，则h'(x)=ex+1>0， ∴h(x)在R上单调递增. 由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x， 可得h(ln a+x-1)≥h(ln x)， ∴ln a+x-1≥ln x， ∴ln a≥(ln x-x+1)max. 令F(x)=ln x-x+1， 则F'(x)=-1=， ∴当x∈(0，1)时，F'(x)>0，F(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0，F(x)单调递减. ∴F(x)max=F(1)=0，则ln a≥0，即a≥1. ∴实数a的取值范围为[1，+∞). 方法二　∵f(x)=aex-1-ln x+ln a，x>0， ∴f'(x)=aex-1-，且a>0. 设g(x)=f'(x)，则g'(x)=aex-1+>0， ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增， 即f'(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a=1时，f'(1)=0，当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，∴f(x)min=f(1)=1， ∴f(x)≥1恒成立. 当a>1时，<1，∴<1， ∴f'f'(1)=a(a-1)<0， ∴存在唯一x0>0，使得f'(x0)=a-=0，且当x∈(0，x0)时，f'(x)<0， 当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0， ∴a=，∴ln a+x0-1=-ln x0， 因此f(x)min=f(x0)=a-ln x0+ln a =+ln a+x0-1+ln a≥2ln a-1+2=2ln a+1>1， ∴f(x)≥1恒成立； 当0<a<1时，f(1)=a+ln a<a<1， ∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞). 1．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数与的图象关于直线对称，故， ，设， 则方程，即均在函数图象上， 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 综上，，即方程在区间上有两解， 即，在区间上有两解， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 其中，即， 画出函数在上的图象如下： 要想在区间上有两解，需要， 解得. 故选：B. 2．（多选）e是自然对数的底数，m∈R，n>0，已知mem+ln n>nln n+m，则下列结论一定正确的是(　　) A.若m>0，则m-n>0 B.若m>0，n>1，则em-n>0 C.若m<0，则m+ln n<0 D.若m<0，则em+n>2 【答案】BC 【详解】构造函数f(x)=xex-x， 则f'(x)=(x+1)ex-1， 当x<0时，0<ex<1⇒f'(x)<x+1-1=x<0； 当x≥0时，ex≥1⇒f'(x)≥x+1-1=x≥0， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 又mem+ln n>nln n+m⇒mem-m>eln nln n-ln n⇒f(m)>f(ln n). A选项，取m=n=e，则ln n=ln e=1<m， 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则f(m)>f(ln n)满足题意，但此时m-n=0，故A错误； B选项，若m>0，n>1，则ln n>0，又f(m)>f(ln n)， 且f(x)在(0，+∞)上单调递增，则m>ln n⇒em>n，故B正确； C选项，若m<0，当0<n≤1时，m+ln n≤m<0，满足题意； 当n>1时，构造函数g(x)=f(x)-f(-x)=x(ex+e-x-2)，显然当x<0时， g(x)<0，又m<0，则g(m)=f(m)-f(-m)<0⇒f(m)<f(-m). 又f(m)>f(ln n)，则f(ln n)<f(-m).因为-m，ln n>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则ln n<-m⇒ln n+m<0. 综上，若m<0，则m+ln n<0，故C正确； D选项，取m=-2，n=，则ln n=-1>m，又f(x)在(-∞，0)上单调递减， 则f(m)>f(ln n)满足题意，但此时em+n=+<2，故D错误. 3.（25-26高二下辽宁大连期末）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都有且只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解. 【详解】， 因为图象的对称中心点为，所以，所以， 由，所以， 原不等式为， 因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以其最小值为，故. 故答案为：. 4．（25-26高二下·山东青岛·期末）若对任意，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】因为 所以等价于， 两边同加得 则原不等式等价于 记，则等价于， 因为恒成立，在上单调递增， 所以等价于， 记，，则恒成立等价于， 又， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. 5．已知函数和有相同的最大值，并且. （1）求. （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】（1） （2）见详解 【详解】（1），.若，则时，时，∴在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.∴时取得最大值，最大值为，.若，则时，时，∴在定义域内先减后增，无最大值.若，则，最大值为，但不满足.若，令，得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.∴时取得最大值，最大值为.综上，，解得. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点.它们的大致图像如图所示，设曲线与在上交于点， 当直线经过点时，直线与曲线还有另一个交点，设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，则，则，故①，同理得②，由①②知，与是直线与曲线交点的横坐标，故是存在的.∵且，∴，又，∴，，从而有，故结论成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $