精品解析：福建省福州杨桥中学2025-2026学年第二学期期末适应性练习八年级数学试卷

福州杨桥中学2025-2026学年第二学期期末适应性练习 八年级数学 （本卷共8页：满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置!答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这20名学生成绩（单位：分）的众数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（ ）． A. 3 B. 4 C. D. 5 10. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 12. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 _________． 13. 我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 14. 如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 15. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 16. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为______cm． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE． 求证：DE=AC． 19. 传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，D是y轴正半轴上一点，过点D作轴，分别交一次函数图象和反比例函数图象于点B，C． （1）求k，m的值； （2）已知，连接，求的面积． 21. 某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 23. 已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 24. 如图1，正方形的边长为2，点P，Q分别在边，上，于O． （1）求证：； （2）如图2，以为边作正方形，连接，若，求的长； （3）在（2）的条件下，将正方形绕点B旋转至图3的位置，连接，，求的值． 25. 阅读材料，回答问题． 欧拉（）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：，如下表． 名称 三棱锥 三棱柱 长方体 十二面体 图形 顶点数V 4 6 8 20 面数F 4 5 6 12 棱数E 6 9 12 30 2 2 2 2 进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象． （1）凸多面体的每个面分别记为边形，其中，2，…，F，每个顶点分别连接条棱，其中，2，…，V．下列说法正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③； ④． 定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和． 例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为，，，且都是，所以正三棱锥在点B的角亏为，故其总角亏为． （2）求三棱锥的总角亏； （3）请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州杨桥中学2025-2026学年第二学期期末适应性练习 八年级数学 （本卷共8页：满分150分；时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写到答题卡规定的位置!答在本试卷上一律无效 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母”，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 直线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0．由题意把代入直线即可求得结果． 【详解】解：在中，当时，则， 解得：， 则直线与x轴的交点坐标是． 故选：B． 3. 一个直角三角形的三条边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】题干未说明，，中哪条边是斜边，因此无法确定三边的平方关系 【详解】解：∵勾股定理指出，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方， 本题未说明，，哪条边是该直角三角形的斜边， ∴无法确定A、B、C中哪一个等式成立 4. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：， 则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键． 5. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学八年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从八年级学生的知识问答成绩中，随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这20名学生成绩（单位：分）的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据众数的定义可知：分出现次数最多，即众数是分． 6. 如图，在菱形中，若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分每一组对角，以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 7. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下，  ， 对称轴在轴左侧，即，  ，  ， ∵抛物线与轴交于正半轴，    ，，  点在第二象限． 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用含x的代数式表示出长，长与宽的积为面积，由此列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据面积为864平方步，可得． 故选：C． 【点睛】本题考查列一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 9. 如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（ ）． A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 10. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方差计算公式，可得离差平方和等于样本容量乘以方差，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：其离差平方和是：． 故答案为：16． 12. 反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先根据反比例函数所在的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 14. 如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 15. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 足球到达最高点所需的时间是． 故答案为：0.8． 16. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意可知：、、三点共线，， 3个矩形相同， ， ， ， 菱形中，， ， ， 每个矩形的周长为， ， ， 菱形的周长为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． 【小问2详解】 解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 18. 如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE． 求证：DE=AC． 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】试题分析： 证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证. 试题解析： ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°， ∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE， ∴DE=AC． 19. 传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 【答案】（1）128；；（2）>；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、四分位数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和四分位数的定义即可解答； （2）根据箱线图、方差的定义求解即可； （3）从上四分位数、中位数、下四分位数、方差以及箱线图等评价． 【详解】解：（1）A组下四分位数； B组中位数； 故答案为：128；； （2）观察箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，则， 故答案为：>； （3）①B组的上四分位数、中位数、下四分位数均高于A组，可以估计B组同学整体跳绳水平高于A组； ②基于箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，B组同学的跳绳次数更稳定． ③B组的方差比A组的方差小说明A组同学的跳绳次数波动更大，B组同学的跳绳次数更稳定． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，D是y轴正半轴上一点，过点D作轴，分别交一次函数图象和反比例函数图象于点B，C． （1）求k，m的值； （2）已知，连接，求的面积． 【答案】（1）k，m的值分别为7，2； （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式参数； （2）根据，求出点的横坐标，得出线段的长度，然后根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 把点代入，得，解得， ∴k，m的值分别为7，2； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴； 由（1）知一次函数的表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴的面积． 21. 某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【解析】 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． 【小问2详解】 解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】（1） 如下图：即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 23. 已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式． ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：． （2）当时，若该函数的图象经过点且满足，请比较n与p的大小． 【答案】（1）①；②证明过程详见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，整式的加减，分解因式等知识．掌握二次函数图象上的点满足其解析式是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式； ②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）先将m、n、p用a、b、c表示出来，然后根据得到，比较大小用作差法，所以得到，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题可知，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 24. 如图1，正方形的边长为2，点P，Q分别在边，上，于O． （1）求证：； （2）如图2，以为边作正方形，连接，若，求的长； （3）在（2）的条件下，将正方形绕点B旋转至图3的位置，连接，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质与垂直的性质证明，从而可得结论； （2） 过点作于．证明，而，，可得，，求解 ，进一步利用勾股定理可得答案； （3） 连接，，，，与交于，记的交点为，证明，可得 ，即，再进一步利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于． ∵ ，， ∴， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，，，与交于，记的交点为， ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ，即， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定；正方形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25. 阅读材料，回答问题． 欧拉（）是世界著名的数学家，他对多面体做过研究．已知由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面．欧拉证明了对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E之间满足欧拉公式：，如下表． 名称 三棱锥 三棱柱 长方体 十二面体 图形 顶点数V 4 6 8 20 面数F 4 5 6 12 棱数E 6 9 12 30 2 2 2 2 进一步，还可以研究与凸多面体相关的几何对象． （1）凸多面体的每个面分别记为边形，其中，2，…，F，每个顶点分别连接条棱，其中，2，…，V．下列说法正确的是_____；（写出所有正确结论的序号） ①； ②； ③； ④． 定义：凸多面体的面（即多边形）的内角叫做多面体的面角，凸多面体顶点的角亏等于与多面体在该点的面角之和的差，凸多面体的总角亏等于多面体各顶点的角亏之和． 例如，如图，正三棱锥有四个面，每个面都是等边三角形，在顶点B处有三个面角为，，，且都是，所以正三棱锥在点B的角亏为，故其总角亏为． （2）求三棱锥的总角亏； （3）请判断任意凸多面体的总角亏是否为定值，若是，请求出其定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）任意凸多面体的总角亏是定值，为 【解析】 【分析】（1）根据每条棱是两个相邻面的公共边，得出所有面的边数之和等于棱数的2倍，即可判断①②；根据每条棱连接两个顶点，得出所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即可判断③④； （2）根据题干所给定义并结合三棱锥的特点计算即可得出结果； （3）题意可得对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E，则所有顶点的之和为，求出总面角和，再结合题干所给定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵每条棱是两个相邻面的公共边， ∴所有面的边数之和等于棱数的2倍，即，故①正确，②错误； ∵每条棱连接两个顶点， ∴所有顶点连接的棱数之和等于棱数的2倍，即，故③正确，④错误； 故说法正确的是①③； 【小问2详解】 解：三棱锥有个顶点，每个顶点处有个面角， 三棱锥的4个面都是三角形，则所有面角之和为， 因为每个顶点的角亏为与多面体在该点的面角之和的差， 故总角亏为：； 【小问3详解】 解：任意凸多面体的总角亏是定值，为，理由如下： 由题意可得对于任意凸多面体，其顶点数V、面数F、棱数E， ∴所有顶点的之和为， 由每个面是边形，得出总面角和为： , 由（1）可得， ∴总面角和， 故总角亏为 ， 故任意凸多面体的总角亏是定值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $