精品解析：福建省福州市福州文博中学2024-2025学年下学期八年级期末考数学试卷

福建省福州市鼓楼区文博中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一.选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点中，在直线上的点是（　　） A. B. C. D. 2. 一组数据2，3，2，5，4的众数是（　　）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. x＝﹣2 6. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 下列判断错误是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 8. 某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 0.2(1＋)2＝1 B. 0.2＋0.2×2＝1 C. 0.2＋0.2×3＝1 D. 0.2×[1＋(1＋)＋(1＋)2]＝1 9. 如图，在菱形中，，．若E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线，则该抛物线的顶点坐标是______． 12. 有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是___． 13. 方程的解为______． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． 15. 如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 16. 文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续___秒． 三.解答题（9大题，共86分） 17. 用指定的方法解一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 18. 已知关于x一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 20. 一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点 (1)求这个二次函数的解析式. (2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值. 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 22. 教育局为了了解初二男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本区部分学校初二男生，并将测试成绩绘成了如下的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次抽测中，测试成绩的众数是______个，中位数是______个； （2）请计算这次抽测成绩的平均数； （3）该区初二年级共有男生2400人，如果引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有多少人？ 23. 苏科版数学课本九年级上册第1章“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 24. 人教版八下课本的题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点G，连接．） （1）请写出课本的题的证明过程； （2）如图2，若点E是边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变． ①连接，过点E作，垂足为P，当四边形是平行四边形时，求值； ②若，，设交于点G，交于点H，求的长． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市鼓楼区文博中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一.选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各点中，在直线上点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 依据题意，将下列各选项中的点的横坐标代入解析式，如果左右两边的值相同，即为在直线上的点，据此计算判断得解． 【详解】解：A．当时，，则点不在直线上，选项A不符合题意； B．当时，，则点在直线上，选项B符合题意； C．当时，，则点不在直线上，选项C不符合题意； D．当时，，则点不在直线上，选项D不符合题意． 故选：B． 2. 一组数据2，3，2，5，4的众数是（　　）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据． 直接根据众数的定义即可解答． 【详解】解：数据2，3，2，5，4出现次数最多的是2，则众数为2． 故选A． 3. 平行四边形中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质计算选择即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根是解题的关键．先求出的值，再比较出其与0的大小关系即可解答． 【详解】解：A．，有两个相等的实数根，不符合题意； B．∵， ∴或， ∴，， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； C．∵， ∴此方程无解，不符合题意； D．方程整理得， ， ∴此方程无解，不符合题意， 故选：B． 5. 抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　） A. x＝1 B. x＝﹣1 C. x＝2 D. x＝﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案． 【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线． 6. 已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性即可判断，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 7. 下列判断错误的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 8. 某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. 0.2(1＋)2＝1 B. 0.2＋0.2×2＝1 C. 0.2＋0.2×3＝1 D. 0.2×[1＋(1＋)＋(1＋)2]＝1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平均每月增长率为x表示出二月份的，再在二月份的基础上表示出三月份的，把这三个月的相加即可得到第一季度的，从而可以列出方程． 【详解】解：设平均每月增长率为x，由题意列方程应为0.2×[1+（1+x）+（1+x）2]=1， 故选D． 【点睛】此类增长率问题的一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用－． 9. 如图，在菱形中，，．若E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、交于O，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是平行四边形，求得，得到四边形是矩形，根据等边三角形性质易得，，于是得到结论． 【详解】连接、交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，则， ∵点E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∴图中阴影部分，即四边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象经过点，，则下列说法：当时，随的增大而减小；若点，在该函数的图象上，则；该函数图象的对称轴是直线；该函数的图象有最低点．正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点，的坐标代入二次函数，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：把点，的坐标代入二次函数， 可得：， 解方程组可得：， 二次函数的解析式为， 二次函数中， 抛物线开口向上， 二次函数的对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 故正确； 点，在该函数的图象上， 当时，可得：， 当时，可得：， ， 故错误； 二次函数的对称轴为， 故错误； 二次函数中， 抛物线开口向上， 函数图象有最低点， 故正确． 正确的有． 故选：A ． 二.填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知抛物线，则该抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线可知，对称轴为y轴，顶点坐标为． 本题考查了抛物线的顶点坐标．抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为． 故答案为：． 12. 有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是___． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 利用中位数的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴， 故答案为：6． 13. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ， 则或， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 14. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入一次函数，可求得的值为8，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：一次函数的图像经过点， ， ， 一次函数解析式为， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及求一元一次不等式解集的知识，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键． 15. 如图，长和宽分别是4和2的两个全等矩形纸片重叠在一起，则四边形周长是___． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，由题意得：矩形和矩形全等， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：10． 16. 文博校园科艺节上，同学们在操场进行无人机表演，甲、乙两架无人机离操场地面的高度y（单位：米）与表演时间x（单位：秒）的图象如图所示，表演开始时甲、乙离地的高度分别是5米、15米，在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续___秒． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机离操场地面的高度y与表演时间x的函数解析式，再分情况讨论，即当时，，当时，，解得x的值，作差即可． 【详解】解：设， 将，分别代入， 即， 解得：， 则， 设， 将，分别代入， 即， 解得， ， 当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：， (秒）， 答：在1分钟的表演过程中甲、乙两架无人机的高度差不超过6米的时间可持续24s． 故答案为：24． 三.解答题（9大题，共86分） 17. 用指定的方法解一元二次方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【小问1详解】 解：（配方法）， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解： ，，， ， ， ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程的根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得，即， 解得：． 19. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 20. 一个二次函数的图象经过(﹣1，﹣1)，(0，0)，(1，9)三点 (1)求这个二次函数的解析式. (2)若另外三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)也在该二次函数图象上，求n的值. 【答案】(1)y＝4x2+5x；(2)n=0. 【解析】 【分析】(1)先设出二次函数的解析式，然后将已知条件代入其中并解答即可； (2)由抛物线的对称轴对称x1+x2＝﹣，代入解析式即可求得n的值． 【详解】解：(1)设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c(a≠0)， ∵二次函数的图象经过点(0，0)，(﹣1，﹣1)，(1，9)三点， ∴，解得， 所以二次函数的解析式是：y＝4x2+5x； (2)∵二次函数为y＝4x2+5x， ∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣， ∵三点(x1，21)，(x2，21)，(x1+x2，n)在该二次函数图象上， ∴＝﹣， ∴x1+x2＝﹣， ∴n＝4×(﹣)2+5×(﹣)＝0． 【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质以及待定系数法是解题的关键． 21. 如图，在中，，，分别是，的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，点为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，且， 又∵点为的中点， 为的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 22. 教育局为了了解初二男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本区部分学校初二男生，并将测试成绩绘成了如下的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）在这次抽测中，测试成绩的众数是______个，中位数是______个； （2）请计算这次抽测成绩的平均数； （3）该区初二年级共有男生2400人，如果引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有多少人？ 【答案】（1）5；5 （2）这次抽测成绩的平均数为5.3个 （3）估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有1080人 【解析】 【分析】（1）从统计图可以得出测试成绩的众数和中位数； （2）利用加权平均数公式进行计算即可； （3）先计算出所抽取的男生的引体向上成绩能获得满分的所占比例，再乘2400即可； 【小问1详解】 从统计图可以得出测试成绩的众数和中位数都是5； 故答案为：5；5． 【小问2详解】 （个） 即这次抽测成绩的平均数为5.3个． 【小问3详解】 （人） 答：估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有1080人． 【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数． 23. 苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 【答案】（1）4米 （2）或 【解析】 【分析】（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意，解方程即可． （2）分两种情况解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设绿地的宽为x米，绿地的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 故绿地的宽为4米． 【小问2详解】 解：方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 24. 人教版八下课本的题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点G，连接．） （1）请写出课本的题的证明过程； （2）如图2，若点E是边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变． ①连接，过点E作，垂足为P，当四边形是平行四边形时，求的值； ②若，，设交于点G，交于点H，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质判定与性质得到，，利用正方形的性质和角平分线的定义得到，则；利用直角三角形的性质，正方形的性质和同角的余角相等的性质得到，最后利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）①在上取一点G，使，连接，设与交于点H，利用（1）的方法得到，，利用平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质得到，设，则，，则，利用等腰直角三角形的性质得到，代入化简运算即可得出结论； ②过点F作于点N，，交的延长线于点M，利用①的结论，勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理列出方程求得，利用正方形的判定与性质得到；利用相似三角形的判定与性质得到，则；利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质求得，则． 【小问1详解】 证明：取的中点G，连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点G是边的中点， ∴， ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 小问2详解】 解：①在上取一点G，使，连接，设与交于点H，如图， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； ②过点F作于点N，，交的延长线于点M，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 由（2）①知：， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 25. 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与直线交于点C．直线与y轴交于点D． （1）求点C，点D的坐标； （2）如图2，P为直线上的一个动点，当，求点P坐标； （3）如图3，P为线段上的一个动点，点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）联立两个解析式求出点坐标，令，求出的函数值，得到点坐标即可； （2）求出点坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，根据对称的性质，得到求出的坐标，进而求出的中点坐标，求出直线的解析式，联立直线和直线，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：联立，解得：， ∴， 令，则：， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设， ∵点C关于直线的对称点为， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴或， 当时，中点坐标为：， ∵， ∴轴， ∴，此时，解得：， ∴， 当时，的中点坐标为：，即为点， 设直线与轴交于点，则：， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立：，解得：， ∴． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $