精品解析：浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷

锦绣育才教育集团2025学年第二学期期末检测 八年级数学试卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 随着现代金融业的发展，各大银行的标志设计不仅蕴含着丰富的商业理念，还常常巧妙地融入了数学几何之美．下列四个是我国常见银行的标志图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次射击选拔赛中，选手小明前5次射击的平均成绩是9环，方差是．按照比赛规则需要加赛一轮，结果这一枪也打出了9环．对比前5次的成绩，小明这6次射击成绩的统计量发生了变化，下列描述正确的是（ ） A. 平均数增加，方差减小 B. 平均数不变，方差增大 C. 平均数不变，方差减小 D. 平均数减小，方差增大 5. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 用反证法证明命题“在中，若，则，中至少有一个角不大于”时，第一步应假设（ ） A. ，都大于 B. ，都不大于 C. ，中有一个大于 D. ，都小于 7. 如图，在中，，，为的中位线，过点作交于点，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 8. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片，其中，，他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点．则线段的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，点在对角线上，，动点以每秒一个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有如下四个结论：①菱形的边长为3；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. _______ 12. 小明沿着正六边形花坛逆时针行走一圈，他在每个拐角转过的角度之和是_______ 13. 某校举行演讲比赛，对参赛选手的最终成绩按“演讲内容”“语言表达”“现场效果”三项进行加权评分，三项的权重分别为．小明的三项得分（满分10分）依次为8分、9分、7分，小明的最终成绩为_______ 14. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 15. 已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 16. 如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为___． 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 18. 计算 19. 如图，过点的两条线段，（点，，不在同一条直线上） （1）如图①，连接，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，交于两点，过这两点画直线，该直线与交于点，与交于点，作射线，在的延长线上截，得到点，连结，,的延长线交于．判断四边形的形状，并说明理由． （2）你能用不同于（1）的方法，在图②中作一个平行四边形吗？（尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹） 20. 2026年高考结束后，某调研小组随机采访八个学校的部分考生，对本次高考数学试题难度进行打分（分值：分，分数越高代表试题难度越大），各学校平均打分数据如下：8，6，8，8，9，9，9，7．结合以上数据解答下列问题： （1）求这组数据的众数和下四分位数． （2）计算本次统计结果的离差平方和．去年这八所学校统计数据的平均分及离差平方和分别为8和20，分析学生对这两年高考数学试题难度的感受． 21. 育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． （1）如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 22. 已知四边形是菱形，，若，、分别是、上的两动点． （1）若，求的度数． （2）若、分别是、的中点，连接，求的面积． 23. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 24. 如图1，在矩形中，，，点在边上，将沿翻折得，射线与射线交于点． （1）求证 （2）求面积的最小值． （3）如图2，其他条件不变，将“矩形”改为“平行四边形中”，当点在上运动时，求线段长度的最小值，并求出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦绣育才教育集团2025学年第二学期期末检测 八年级数学试卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 随着现代金融业的发展，各大银行的标志设计不仅蕴含着丰富的商业理念，还常常巧妙地融入了数学几何之美．下列四个是我国常见银行的标志图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 3. 下列二次根式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，原式计算错误，不符合题意； B选项：，原式计算错误，不符合题意； C选项：，原式计算错误，不符合题意； D选项：，原式计算正确，符合题意． 4. 在一次射击选拔赛中，选手小明前5次射击的平均成绩是9环，方差是．按照比赛规则需要加赛一轮，结果这一枪也打出了9环．对比前5次的成绩，小明这6次射击成绩的统计量发生了变化，下列描述正确的是（ ） A. 平均数增加，方差减小 B. 平均数不变，方差增大 C. 平均数不变，方差减小 D. 平均数减小，方差增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义，分别计算出6次射击的平均数和方差，再与原统计量比较即可得出结论． 【详解】解：∵前次射击的平均成绩为环， ∴前次射击的总环数为， ∵第次成绩为环， ∴次射击的平均成绩为环，故平均数不变， 次成绩的方差为， ， 方差减小， 综上，平均数不变，方差减小． 5. 已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 6. 用反证法证明命题“在中，若，则，中至少有一个角不大于”时，第一步应假设（ ） A. ，都大于 B. ，都不大于 C. ，中有一个大于 D. ，都小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法第一步需假设原命题结论不成立，只需找出原结论的否定即可． 【详解】解：反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立， 原命题结论为“，中至少有一个角不大于”， 该结论的否定为“，都大于”， ∴第一步应假设，都大于． 7. 如图，在中，，，为的中位线，过点作交于点，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，由线段中点的定义得到，可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 8. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 9. 数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片，其中，，他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点．则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即线段的长为． 10. 如图1，在菱形中，，点在对角线上，，动点以每秒一个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有如下四个结论：①菱形的边长为3；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形推出为等边三角形，结合与时，用勾股定理算出菱形边长为3，验证①；再根据的取值判断点所在线段，时在上，结合、得等边，求出，验证②；时在上，作垂线构造直角三角形，结合最值确定的取值范围，验证③；设，分别列出、段对应的，作差比较，得，判定④错误． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， ∵在菱形中，，点在对角线上， ∴，， ∴是等边三角形， 如图所示，过点E作于点， ，， ∴，， ， ，故①正确； 当时，点P的运动路程为， ∵， ∴此时点P在上，且，， ， 是等边三角形， ， ，故②正确； 当时，如图所示，过点作于点， 当时，点在点的位置，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，点在点的位置，且点与点重合， ∴， 当点在点处，取到最小值，最小值为的值， ∴， ∴当时，，故③正确； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， 如图，当点P在上时（不包括点C），过点E作于点H， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时（不包括点C），过点E作于点G， ∴，， ∴， ∴ ， ；故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. _______ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 小明沿着正六边形花坛逆时针行走一圈，他在每个拐角转过的角度之和是_______ 【答案】##360度 【解析】 【分析】小明在每个拐角转过的角度之和是该正六边形的外角和，据此可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴小明沿着正六边形花坛逆时针行走一圈，他在每个拐角转过的角度之和是． 13. 某校举行演讲比赛，对参赛选手的最终成绩按“演讲内容”“语言表达”“现场效果”三项进行加权评分，三项的权重分别为．小明的三项得分（满分10分）依次为8分、9分、7分，小明的最终成绩为_______ 【答案】分 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：（分）， ∴小明的最终成绩为分． 14. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到的值，再根据求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴． 15. 已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 16. 如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，最大值为的长；由正方形的性质求出的长，继而可得，，，，再证明，可得，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图所示，以为对称轴作N的对称点，连接， 根据对称性质可知，， ∴，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，最大值为的长， ∵四边形是正方形，边长为8， ∴，，， ∵O为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得，． 18. 计算 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 如图，过点的两条线段，（点，，不在同一条直线上） （1）如图①，连接，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，交于两点，过这两点画直线，该直线与交于点，与交于点，作射线，在的延长线上截，得到点，连结，,的延长线交于．判断四边形的形状，并说明理由． （2）你能用不同于（1）的方法，在图②中作一个平行四边形吗？（尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1）四边形是平行四边形， 由作图过程可知为线段的垂直平分线， ∴点是的中点，即 ； 又∵  ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，四边形即为所作的平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由作图痕迹可知为线段的垂直平分线，得； 结合条件，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可判定四边形为平行四边形； （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，分别以为圆心、的长为半径画弧，再以为圆心、的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 分别以为圆心、的长为半径画弧，再以为圆心、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，四边形即为所求． 20. 2026年高考结束后，某调研小组随机采访八个学校的部分考生，对本次高考数学试题难度进行打分（分值：分，分数越高代表试题难度越大），各学校平均打分数据如下：8，6，8，8，9，9，9，7．结合以上数据解答下列问题： （1）求这组数据的众数和下四分位数． （2）计算本次统计结果的离差平方和．去年这八所学校统计数据的平均分及离差平方和分别为8和20，分析学生对这两年高考数学试题难度的感受． 【答案】（1）众数是和．下四分位数是． （2）本次统计结果的离差平方和是；两年学生平均感受的试题难度一致，今年学生对试题难度的感受差异更小． 【解析】 【分析】（1）根据众数和下四分位数的定义求解即可； （2）求出今年的平均分和离差平方和即可得到结论； 【小问1详解】 解：∵这组打分数据中，打分为6分有1个，7分有1个，8分和9分各有3个， ∴这组数据的众数为8分和9分； 把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，9，9，9， 方法1：， ∴这组数据的下四分位数为排序后的第2个数和第3个数的平均数，即为； 方法2：排序后的前4个数为6，7，8，8，这四个数的中位数为， ∴原数据的下四分位数为； 综上所述，原数据的下四分位数为； 【小问2详解】 解：今年这八所学校统计数据的平均分为分， 今年这八所学校统计数据的离差平方和为， ∴两年学生平均感受的试题难度一致，且今年学生对试题难度的感受差异更小． 21. 育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． （1）如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【答案】（1）的长为 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； 【小问2详解】 解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 22. 已知四边形是菱形，，若，、分别是、上的两动点． （1）若，求的度数． （2）若、分别是、的中点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证得，则对应角，即可得到的度数． （2）由菱形的对角线互相垂直平分和三角形中位线定理，可证得是等边三角形，利用含有角的直角三角形和勾股定理，可以解得的边长和高，即可求解的面积． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接，，，点，分别为与，的交点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，，，， 同理可解得，，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中，，，， ． 23. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】（1）是“邻交函数” （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； 【小问2详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 24. 如图1，在矩形中，，，点在边上，将沿翻折得，射线与射线交于点． （1）求证 （2）求面积的最小值． （3）如图2，其他条件不变，将“矩形”改为“平行四边形中”，当点在上运动时，求线段长度的最小值，并求出此时的长度． 【答案】（1）∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， 由翻折性质得：， ∴ ， ∴ ； （2）设，， 由翻折得：，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 化简得 ， ∴ 的面积 ， ∵对于代数式 ∴当 ，即 时，面积有最小值，最小值为 2； （3）由和翻折性质可得， 设，， 由翻折得：，，， ∴， 过作交延长线于，如图所示， ∴ ∴在中： ，， ∴， 在中，由勾股定理： ， ∴， 整理得 ， 即， 对式子进行配方得， 当，即 ，取得最小值； ∴ 长度的最小值为 ，此时的长度为 ．​ 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到平行线，从而得到 ，由翻折性质得：，依据等角对等边即可求证； （2）设，，用勾股定理建立关于的函数；的面积可表示为关于的表达式，对式子进行配方求最小值； （3）平行四边形中，同理可得；设，，过作的垂线，结合，求出相关线段长度，得到关于的式子，通过配方求的最小值，再求对应的长度． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $