7.3 定义、命题、定理 暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦定义、命题、定理核心概念，通过分层训练构建“概念辨析-结构分析-真假判断-逻辑推理”的完整方法体系，强化推理意识与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|5题（1-6题）|定义识别法、命题判断标准|从定义本质（17题）到命题特征，形成概念认知链| |命题结构|3题（1、11题）|“如果…那么…”改写技巧|题设与结论的分离与整合，建立命题结构模型| |真假判断|4题（3、4、12、13题）|反例构造法、性质验证法|结合几何性质（10题）与代数实例，深化真假命题判定逻辑| |逻辑推理|6题（7、8、14、15、18、19题）|分类讨论法、假设验证法|从简单推理到综合论证，培养逻辑思维与数学表达| |综合应用|1题（20题）|反证法、因式分解法|融合代数与几何，体现知识迁移与创新意识|

7.3 定义、命题、定理 暑期专项练习2025-2026学年人教版 七年级数学下册 一、单选题 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 3．已知命题：任何正数的平方都大于这个数本身，请举一个反例说明该命题是假命题．这个正数可以是（     ） A． B．2 C．3 D．4 4．下列命题中，是假命题的是（     ） A．内错角相等 B．若，，则 C．直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 5．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 6．下列语句中，是命题的是（     ） A．宇树机器人是当下国内外人们关注的热点之一 B．你喜欢旅游吗 C．吃饭的时候不要说话 D．过点A画一条与直线垂直的直线 7．某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话 给出以下四个结论： ①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③ 8．甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下： 甲：“乙、戊作案了”； 乙：“甲、丁作案了”； 丙：“乙、己作案了”； 丁：“甲、丙作案了”； 戊：“甲、己作案了”． 已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（   ） A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊 9．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 10．如图，直线，被直线所截，下列命题为真命题的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 11．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 12．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 13．要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 14．甲、乙、丙3人去看100米决赛，赛前甲说：小王第一，小张第三；乙说：小李第一，小赵第四；丙说：小赵第二，小王第三．比赛结果三人各猜对一半，小王的名次是______． 15．15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉的笼子有________个． 三、解答题 16．下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 17．说出它们的定义： (1)角； (2)角的平分线； (3)数轴； (4)一元一次方程． 18．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 19．如图，有三个论断：①；②；③． (1)如果以①和②作为条件，③作为结论，请你按照“如果那么”的形式写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 20．设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数． (1)求证：； (2)求的值； (3)求，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C A C D D D 1．D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 3．A 【分析】本题考查假命题的反例，解题思路是找出满足“正数的平方不大于这个数本身”的数，计算后比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 原命题为“任何正数的平方都大于这个数本身”，反例需要满足：为正数，且． ∴对选项A，当时，． ∵，即，不符合原命题结论． ∴是原命题的反例． 4．A 【详解】解：A选项，只有两直线平行时，被第三条直线所截形成的内错角才相等，该命题未说明两直线平行的前提，故该命题是假命题，符合题意； B选项，由平行公理的推论可得，若，，则，是真命题，不符合题意； C选项，直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是垂线的性质，是真命题，不符合题意； D选项，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理，是真命题，不符合题意. 5．C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 6．A 【分析】本题根据命题的定义判断即可，命题是指对一件事情作出判断的语句． 【详解】解：A、对宇树机器人的相关情况作出了明确判断，属于命题； B、是疑问句，未对事件作出判断，不属于命题； C、是祈使句，是行为要求，未对事件作出判断，不属于命题； D、是作图操作指令，未对事件作出判断，不属于命题． 7．C 【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为：，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，，，然后再根据选项分析即可． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为： ，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，， 对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟，，，李明）这样排列，那么（王凯，，张雪，）为一组，故①正确； 对于②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明，，，），（，赵伟，，），则（，王凯，，张雪），故张雪和王凯可能在同一组，故②错误； 对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（，王凯，，张雪），则（，赵伟，，），故李明和赵伟可能不在同一组，故③错误； 对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（，，，王凯），（，张雪，，赵伟），（，，李明，），符合题意李明和赵伟也不同一组； 或者可以排列（，，王凯，），（张雪，，赵伟，），（，李明，，），符合题意李明和赵伟也不同一组，故④正确， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案． 【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字． 两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次． 在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次， 因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案， 当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾； 当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾； 当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾； 当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意． 只能是甲与戊合伙作案． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 10．D 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，， A、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； B、当时，，此时不能得到，原命题是假命题，不符合题意； C、当时，，则，不能得到，原命题是假命题，不符合题意； D、当时，，则，原命题是真命题，符合题意． 11． 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12．对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 13．（答案不唯一） 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 14．第四 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三人各猜对一半的条件，通过逻辑推理逐一验证陈述的真假，最终确定小王的名次为第四． 【详解】解：甲说小王第一和小张第三，乙说小李第一和小赵第四，丙说小赵第二和小王第三． 假设甲说小王第一正确，则甲说小张第三错误；乙说小李第一错误，故乙说小赵第四正确；丙说小赵第二错误，故丙说小王第三正确，但小王第一与第三矛盾，假设不成立． 因此甲说小王第一错误，故甲说小张第三正确，即小张第三． 丙说小王第三错误（因小张第三），故丙说小赵第二正确，即小赵第二． 乙说小赵第四错误（因小赵第二），故乙说小李第一正确，即小李第一． 剩余小王第四，验证所有陈述均符合各猜对一半， 故答案为：第四． 15．2 【分析】本题考查了方程的应用，逻辑推理与论证，正确进行推理是解题的关键．依据题意，设类笼个：3只鹦鹉，类笼个：1只八哥只鹦鹉；类笼只八哥只鹦鹉；类笼只八哥，则，且，又21只鸟回答“没有”，从而,再由笼子总数得，代入“回答数”方程：，故，进而可以计算得解． 【详解】解：由题意，设A类笼x个：3只鹦鹉，B类笼y个：1只八哥只鹦鹉；C类笼z个：2只八哥只鹦鹉；D类笼w个：3只八哥， ，且． 又只鸟回答“没有”， 分析每类笼的回答：A类笼只鹦鹉：说真话无八哥，3只均答“没有”，则贡献； B类笼只八哥2只鹦鹉：八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献y； C类笼z个：八哥1只鹦鹉：2只八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献； D类笼只八哥：说假话有八哥，3只均答“没有”，则贡献， ． 由笼子总数得，代入“回答数”方程：， ， ④． 将方程④代入“鹦鹉总数”方程： ． 只有鹦鹉的笼子有2个． 故答案为： 16．(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 【分析】判断一件事情的句子叫做命题． 【详解】（1）解：“过点作一条射线”是描述操作的句子，不是命题； （2）解：“线段的长是吗？”是疑问句，不是命题； （3）解：“如果，那么”是命题． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角； （2）解：角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线； （3）解：数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （4）解：一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含有未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程． 18．(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 19．(1)如果，那么，此命题为真命题； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)见解析 (2)p=3 (3)a=5，b=2 【分析】（1）运用不等式的性质和因式分解，由可推出，然后用反证法证明不成立，从而解决问题； （2）设（其中，为正整数，则有，与条件结合，可得，若为正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p；若是正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p，只需通过分类讨论就可解决问题； （3）由（2）可知，只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立，此时，整理得，从而得到，由是大于的正整数，可得是小于的正整数，从而求出b，就可得到a． 【详解】（1）解：∵a，是两个不相等的正整数， ，都是正整数，． 是整数， ， ， ， 即． 假设， 则有． 与连续整数， 是偶数， 为质数， ， ， ，， ， 与条件“是整数”矛盾， ； （2）解：设其中，为正整数， 则有， ， ． 是质数， ． 且， 此时，整理得， 方程无解． 且， 此时，与条件“、为不相等的正整数”矛盾； ， 此时， ， ． 为整数， 也是整数， 正整数． ， 正整数， ， ， ，与为正整数矛盾； 且， 此时， 整理得， 解得，， 与为正整数矛盾； 且， 此时， ， ， ， ， 与“是大于的正整数”矛盾； ， 此时， 整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ， ． 综上所述：； （3）解：由（2）可知， 只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立， 此时，整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ． 【点睛】本题考查了质数和合数、质因数的分解、因式分解、分式的分解等知识，难度比较大，在解决问题的过程中用到了分类讨论、转化、反证法等重要的数学思想方法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $