03 课时分层训练(三) 定义、命题、定理-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习分层卷（人教版）

课时分层训练(三)　定义、命题、定理 知识点一　定义与命题 1．下列语句中，不是命题的是(　D　) A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．不是对顶角不相等 D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线 2．有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中，假命题为(　C　) A．①② B．② C．③ D．②③ 3．下列语句中，是真命题的是(　C　) A．如果|a|＝|b|，那么a＝b B．任何一个正数的平方都大于这个正数 C．内错角相等，两直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ． 5．命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是 两直线平行 ． 知识点二　定理与证明 6．下列选项中，可以用来证明命题“若|a－1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是(　D　) A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝－1 7．举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0． 解：答案不唯一．(1)两条平行直线形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等． (2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0． 8．补全下面的证明过程： 如图，∠1＋∠B＝∠C，求证：BD∥CE． 证明：如图，过点A作AP∥BD． ∴∠PAB＝∠B(两直线平行， 内错角相等 )． ∵∠1＋∠B＝∠C(已知)， ∴∠1＋∠PAB＝∠C( 等量代换 )， 即∠PAC＝∠C． ∴AP∥ CE ( 内错角相等，两直线平行 )． 又∵AP∥BD， ∴BD∥CE( 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 )． 9．有下列语句：①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余．其中，属于命题的有(　D　) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 10．判断下列语句是否为命题，如果是，请将其改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等； (2)不相等的角不是对顶角； (3)延长BA到点C； (4)相等的角是同位角． 解：(3)中的句子没有作出判断，因而不是命题．(1)(2)(4)中的句子均对某件事情进行了判断，因而是命题．改写如下： (1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； (2)如果两个角不相等，那么它们不是对顶角； (4)如果两个角相等，那么它们是同位角． 11．如图，有下列命题：“如果∠1＝∠2，那么AB∥CD”，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并证明． 解：不是真命题．添加条件为BE∥DF．证明： ∵BE∥DF， ∴∠MBE＝∠BDF． ∵∠1＝∠2， ∴∠MBA＝∠BDC． ∴AB∥CD．(添加的条件不唯一) 【创新运用】 12．(1)如图，GF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2，求证：DE∥BC． 请补全下面的证明过程． 证明：∵GF⊥AB，CD⊥AB(已知)， ∴∠BFG＝∠BDC＝90°(垂直的定义)． ∴FG∥CD( 同位角相等，两直线平行 )． ∴∠2＝∠ 3 (两直线平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＝∠ 3 (等量代换)． ∴DE∥BC( 内错角相等，两直线平行 )． (2)若把(1)中的题设“∠1＝∠2”与结论“DE∥BC”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，请仿照(1)写出证明过程；若是假命题，请举出反例． 解：(2)是真命题．证明如下： ∵GF⊥AB，CD⊥AB(已知)， ∴∠BFG＝∠BDC＝90°(垂直的定义)． ∴FG∥CD(同位角相等，两直线平行)． ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)． ∵DE∥BC(已知)， ∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)． ∴ ∠1＝∠2(等量代换)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $