精品解析：湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期期末测试高一数学试卷

高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数的概念求解． 【详解】， 得复数的虚部为， 得，故． 2. 已知向量，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】由题设，，， 所以. 因为，所以. 3. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图为平行四边形，如图所示，已知，则平面图形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出平行四边形的原图并确定边长，计算即可. 【详解】已知，，斜二测坐标系中， 直观图是平行四边形，因此：， 根据斜二测面积关系可得：. 4. 某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数的概念及与频率分布直方图的关系判断. 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值的影响，众数是最高矩形底边中点，也就是频率最高那一组的中点位置. 根据如图频率分布直方图左拖尾可知，平均数小于中位数，峰值靠右，所以众数最大，故. 5. 袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（ ） A. 可能取到数字3 B. 中位数可能是5 C. 极差可能是4 D. 众数可能是3 【答案】B 【解析】 【分析】对于AC选项，根据题意结合平均数，方差和极差的定义分析判断，由A选项的结论判断D选项，对于B选项，举例说明即可. 【详解】由题意可得，个数字的平均数为，因此总和为 ， 方差，整理得，即平方和最大为4（平方和为整数）， A：若取到个，则， 剩余个数的平方和最多只能为，即剩余个数都是， 总和为 ，不符合， 若取到3有个或以上，平方和至少为，不符合， 因此不可能取到，A错误， B：举例：取5个数为，总和为， 满足平均为5，平方和，满足方差小于1， 排序后中位数为第三个数，即，符合要求，因此B正确， C：若极差为，即最大数最小数，仅两种可能或， 若最小数是：，平方和超出要求， 若最小数是2：，平方和超出要求， 因此极差不可能为，C错误， D：由A的结论，不可能取到3，因此众数不可能是3，D错误. 6. ，是不共线的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量以，为基底的坐标，记作．若，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】，，， ． 7. 的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出以的三边所在直线为轴旋转得到的几何体体积，再比较大小即可. 【详解】在中，令，由余弦定理得， 显然的最大角为锐角，， 过作于，过作于，过作于， 由， 得， 则以直线为轴所得几何体的体积； 以直线为轴所得几何体的体积， 以直线为轴所得几何体的体积， 显然，所以三个几何体体积的最小值为. 8. 已知为单位向量，，，则有（ ） A. 的取值范围是 B. 存在向量，，使 C. 的最大值为10 D. 的最大值为6 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，，，则，，则，则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，即可依次判断选项． 【详解】如图所示： 不妨设，，， 则，， 因为， 则， 则点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 对于A项，得，则，故A项错误； 对于B项，直线与圆相切时，此时， 得， 故与的夹角小于，故B项错误； 对于C项，由得，， 得，得， 则， 由，得， 得，故C项错误； 对于D项，，由，得，故D项正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】对于A，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于B，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 对于C，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于D，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 10. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】设， 对于A， ， ， 所以，A正确； 对于B，，， 所以，B正确； 对于C，若，则，所以或， 所以或， 对于D，取，此时， 满足， 但，D错误. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则（ ） A. 时，截面为五边形 B. 时，截面面积为 C. 时，三棱锥的外接球球心 D. 时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，作出截面并求出截面面积判断AB；当时，作出截面，确定点的位置判断C；求出两部分体积判断D. 【详解】对于A，当时，延长交的延长线于点，过点作分别交 于点，连接，则五边形为截面，A正确； 对于B，由选项A知，由平面平面，得平面与 平面、平面的交线平行，则四边形是平行四边形， 由，得，由等角定理得， 则∽，，解得，即点是中点， 于是，，， 取中点，中点，连接，则 ，，， 截面面积 ，B错误； 对于C，当时，为中点，则，截面为等腰梯形， 分别取中点，得长方体， 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为中点，，C正确； 对于D，由分别为中点，得的延长线交于一点， 则几何体为三棱台，， 三棱台体积为， 正方体的体积，较大部分的体积为， 因此较小部分与较大部分的体积比为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标. 【详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 13. 已知随机事件、满足，，，则__________． 【答案】. 【解析】 【详解】事件可拆分为互斥事件与，即, 由互斥事件加法公式 ,所以 解得： 事件可拆分为互斥事件与，即 , 同理 所以，. 14. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1，若的长度的最小值为，则锐二面角的大小为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义可知两点到定直线距离固定时，两点连线长的最小值出现在两点在直线上的垂足重合的位置，利用余弦定理，结合最小距离即可求得二面角大小. 【详解】分别过点作 于点，过点 作直线 于点 ， 则，， 根据二面角平面角的定义，垂直于棱的两条垂线的夹角即为二面角的平面角, 设锐二面角 的大小为 ，则 与 的夹角为 或其补角. 线段 的长度可理解为两个分量的合成，即沿直线 方向的分量（即垂足 、 之间的距离） 与垂直于直线 方向的分量（由 、 及二面角决定）的合成. 当沿 方向的分量为 ，即两个垂足 、 重合时， 取得最小值， 长仅由两条垂线段和二面角决定, 当垂足重合时， ，因，，, 由余弦定理：，解得 因为二面角是锐角，所以为锐角，故 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” （1）求事件，的概率； （2）求事件，的概率． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】(1)求出事件，的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可； (2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出答案. 【小问1详解】 ，样本点总数 “两个点数之和等于6”，即 则，所以 所以 “至少有一颗骰子的点数为4” 则， 所以，所以； 【小问2详解】 ，所以 所以 所以. 16. 已知三棱锥，平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）已知，，，求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：如图，过点作，垂足为． 平面平面，平面平面，平面, 平面． 平面，． 平面，平面，． 又平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】(1)过点作，垂足为．由面面垂直的性质先证，再利用线面垂直的判定定理即得证； （2）过点作于，连接，证明与平面所成角为，借助于三角函数的定义即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于，连接. 平面，平面， 平面平面， 平面平面，平面，， 平面，连接， 则是与平面所成角， 由（1）得平面，平面,则，， 在中，, 在中，， . 17. 如图，平面，四边形为矩形，，，． （1）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由； （2）当取最小值时，求的值； （3）若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明： 【答案】（1）不存在，理由如下： 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面. 若平面平面，过作两平面交线的垂线，则平面. 又平面，所以过点存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾． 所以平面与平面不垂直， 即不存在使平面平面. （2） （3）取中点，连接，，，，则. 由，得，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 因为平面，则即为直线与平面所成角， 所以，平面. 又，所以直线与所成角即为直线与所成角，即. 在中，. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，. 所以. 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面， 所以即为二面角的平面角，所以. 又，，则， 则，则. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质证明即可. （2）以为对称轴，将旋转到平面内，结合两点间直线最短求解即可. （3）取中点，根据直线与平面的夹角，异面直线的夹角，二面角的定义得到，，，结合三角函数证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，，故，，，四点共面， 以为对称轴，将旋转到平面内，且，在直线异侧， 则，当且仅当，，三点共线时取等号， 已知四边形为矩形，，，则，， 此时， 即． 【小问3详解】 略 18. 已知，，分别为非钝角三个内角，，的对边，， （1）求角； （2）若为的中点，求中线的取值范围． （3）为延长线上一点，，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. （3）设，，在中和中，分别由正弦定理可得，进而得，可求面积的最小值． 【小问1详解】 由已知及正弦边角关系可得， ， 即，， 因为，所以，所以， 即，即，又， ，则． 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为非钝角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 所以，所以中线的取值范围是． 【小问3详解】 设，，则，. 在中，①， 在中，②， 得：， . ， ， ， 即面积的最小值为． 19. 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：． （3）已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求 【答案】（1）87.5 （2）， 又 ． 又 ． 又， 所以， 同理， 所以 所以 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第75百分位数即可； （2）利用样本平均数，方差公式化简即可证明. （3）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第75百分位数， 设样本数据的第75百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于87.5分． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知向量，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图为平行四边形，如图所示，已知，则平面图形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 4. 某AI数据中心对某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，若词元调用量的众数为，平均数为，中位数为，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（ ） A. 可能取到数字3 B. 中位数可能是5 C. 极差可能是4 D. 众数可能是3 6. ，是不共线的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量以，为基底的坐标，记作．若，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 的三边边长分别为4，5，6，分别以三边，，所在直线为轴，将三角形旋转一周，所得到的封闭图形围成三个几何体，这三个几何体体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为单位向量，，，则有（ ） A. 的取值范围是 B. 存在向量，，使 C. 的最大值为10 D. 的最大值为6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 若，则 11. 如图，在棱长为1的正方体中，，，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则（ ） A. 时，截面为五边形 B. 时，截面面积为 C. 时，三棱锥的外接球球心 D. 时，截面分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 13. 已知随机事件、满足，，，则__________． 14. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1，若的长度的最小值为，则锐二面角的大小为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” （1）求事件，的概率； （2）求事件，的概率． 16. 已知三棱锥，平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）已知，，，求与平面所成角的正切值． 17. 如图，平面，四边形为矩形，，，． （1）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由； （2）当取最小值时，求的值； （3）若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明： 18. 已知，，分别为非钝角三个内角，，的对边，， （1）求角； （2）若为的中点，求中线的取值范围． （3）为延长线上一点，，求面积的最小值． 19. 某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，方差为．证明：． （3）已知随机调查的100位同学的测试成绩落在内的平均成绩是77分，方差是4分，落在内的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为，方差为．求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $