湖北武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷

高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ） A． B． C． D． 7．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 8．正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．复数（为虚数单位）的共轭复数 B．复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C．一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，的平均数和方差分别为和 10．如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．过，，三点的截面周长为 11．在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（ ） A． B．的面积的最大值为 C．若为锐角三角形，的取值范围为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________． 13．在中，，，，的角平分线交于，则____________． 14．已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为和．若二面角的大小为，则球的半径为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2． （1）求圆锥的侧面积； （2）过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 16．如图，在平面四边形中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求的面积． 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，点、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．武汉市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障．武汉市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 19．已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1、 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D A C B D 2、 多选题 9 10 11 AD BCD ACD 3、 填空题 12. 16 13. 4 14. 4、 解答题 15. （1）圆锥的侧面积为；.....................5分 （2）因为圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的高 显然，且E为中点，所以， 剩下几何体的体积. 13分 16.（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得.....................................6分 （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 则余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积................15分 17.（1）取的中点为点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面；..................................................5分 （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角，...10分 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为...........................15分    18. （1）由图得，解得；...3分 （2）根据题意知，......6分 80%分位数一定位于内，由 ，可求得样本数据的80%分位数为79..............................9分 （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，，，，且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为..................17分 19.（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面......................................................3分 （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的3倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的三等分点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为...................................9分 （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $