精品解析：河南省开封市龙亭区开封高中初中部2025-2026学年第二学期期末八年级数学卷

开封高中初中部2025-2026学年第二学期期末考试 八年级 数学 试题卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 8. 如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 10. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A. 弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B. 弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C. 当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D. 当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 12. 已知一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是________． 13. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 15. 如图，在矩形中，，，是对角线所在直线上的一个动点，点是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为________． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用表示，共分为四组：．；．；．；．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在组中的数据：81，81，83，86，87，87，88，88，89，89． 年级 七年级 八年级 平均数 83.6 83.6 中位数 85 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，________； （2）该校七年级有学生450人，八年级有学生400人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出理由． 18. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 19. 科学探究发现，地表以下地层的温度随着深度的变化而变化，在一定范围内近似于一次函数关系．地质人员在某地探测发现，在该处地表以下深4千米处的温度为；深10千米处的温度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）已知某种耐热微生物最高耐热温度为，请你求出此处地表下该微生物最深可在多少千米处生存？ 20. 某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． （1）某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ （3）当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出此函数的图象，观察图象，当时，的取值范围是________； （3）若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 22. 某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． （1）求，的值； （2）在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ （3）点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们用数学的眼光来探究一下有关正方形纸片的折叠问题，看看折叠正方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． 综合与实践课上，王老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，猜想与的数量关系； （2）【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为5． ①如图3，若线段恰好经过点，，求的长， ②如图4，若，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中初中部2025-2026学年第二学期期末考试 八年级 数学 试题卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义直接验证即可． 【详解】解：作一条垂直于轴的垂线，与函数图象有一个交点的曲线就表示是的函数，如图所示： 只有D选项中的图象满足要求． 2. 现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（ ） A. 113 B. 112 C. 106 D. 109 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查上四分位数的概念，是数据排序后上半部分的中位数． 首先将数据排序，找到中位数，然后取上半部分数据计算中位数即可． 【详解】∵ 数据排序后为：96, 98, 100, 102, 104, 106, 112, 113， ∴ 上半部分数据为：104, 106, 112, 113， ∴ 上四分位数为， 故上四分位数为109． 故选：D． 3. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据“当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式”列方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 4. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式解析式特点即可解答． 【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为， ∵顶点为， ∴抛物线为， ∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同， ∴， 即抛物线解析式为， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键． 5. 二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， 当时，；当时，， 当时，，只有选项C符合， 故选：C． 6. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 7. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案． 【详解】四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键． 8. 如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：由题可得：可列方程为． 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 10. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（ ） A. 弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B. 弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C. 当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D. 当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，待定系数法等知识． 选项A、B、C可根据一次函数、二次函数图象直接判断，D选项，可先用待定系数法求出二次函数的解析式，即可判断． 【详解】解：由图2，可知运动速度随运动时间的增大而减小，故选项A正确； 由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程越来越小，故选项B错误；由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，运动时间是， 由图2，可知当时，，故选项C正确； 当弹珠停止滚动时，， 由图2，得此时运动时间是．设， 把和代入， 得， 解得， ． 把代入，得， 故选项D正确． 故选B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【解析】 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12. 已知一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】在一次函数（）中，当时，随的增大而减小，根据该性质列不等式求解即可． 【详解】解：一次函数中，随的增大而减小， ，解得． 13. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，菱形的面积公式，关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出的长，由菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后再由菱形的面积求出． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，． ，， ，， ． 菱形的面积， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是对角线所在直线上的一个动点，点是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形的性质和角，求出矩形的边，对角线的长和的度数，再利用平行四边形的性质，将问题先转化成到中点的距离为4，构建直角三角形，利用勾股定理求解出两种情况下的值，再求线段和差即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴，， 分两种情况， 第一种，如图，点M在上，与的交点为O，作于点E， 在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种，如图，点M在的延长线上，与的交点为O，作于点E， 同第一种情况可得，，， ∴， ∴， 综上，的值为． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的解法，用因式分解法降次求解即可； （2）本题主要考查一元二次方程的解法，用一元二次方程求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：，  ，   或 ， 解得 ． 【小问2详解】 ， ， 代入公式得： ， ∴ ． 17. 智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用表示，共分为四组：．；．；．；．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在组中的数据：81，81，83，86，87，87，88，88，89，89． 年级 七年级 八年级 平均数 83.6 83.6 中位数 85 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，________； （2）该校七年级有学生450人，八年级有学生400人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出理由． 【答案】（1）解：补图如下： ； 82 （2）535人 （3）解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好， 理由：因为该校七、八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先得到A组的人数并补全条形统计图，根据中位数的概念求； （2）利用样本估计总体进行求解即可； （3）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：七年级A组有（人）， 补图见答案， 30人成绩数据从小到大第15、16位的均值， ； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人， 故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 由扇形统计图可知八年级80分以上的占， 故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， ， 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有535人； 【小问3详解】 略 18. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 【答案】（1） 解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； （2） 解：如图所示，即为所求；由平行四边形的性质得到，由作图可得，则四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，则点O即为所求； （2）过点A作的垂线，垂足为E，以A为圆心，的长为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 科学探究发现，地表以下地层的温度随着深度的变化而变化，在一定范围内近似于一次函数关系．地质人员在某地探测发现，在该处地表以下深4千米处的温度为；深10千米处的温度为． （1）求与之间的函数关系式； （2）已知某种耐热微生物最高耐热温度为，请你求出此处地表下该微生物最深可在多少千米处生存？ 【答案】（1） （2）此处地表下该微生物最深可在2.8千米处生存 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中所求的函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式是（）． 根据题意得，， 解得， 与的函数关系式是； 【小问2详解】 解：令得，， 解得， 此处地表下微生物最深可在2.8千米处生存． 20. 某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． （1）某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ （3）当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 （3）当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； 【小问3详解】 解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出此函数的图象，观察图象，当时，的取值范围是________； （3）若点是轴上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）画出函数的图象如图所示， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数的解析式； （2）先画出图象，再根据函数的增减性解答即可； （3）设点，一次函数与轴交于点，再根据割补法在直角坐标系中列出求面积的方程，即可得出答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和， ，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知， 当时，，解得， 当时，， 一次函数，其中， 一次函数值随着的增大而增大， 当时，， 即当时，； 【小问3详解】 解：设点，一次函数与轴交于点， 当时，， ， 则， ， 即，解得或， 点的坐标为或． 22. 某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． （1）求，的值； （2）在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ （3）点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】（1）， （2）水流高度能达到的最大高度是米 （3）消防车从点沿方向应至少前进米 【解析】 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； 【小问3详解】 解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 23. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，下面就让我们用数学的眼光来探究一下有关正方形纸片的折叠问题，看看折叠正方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． 综合与实践课上，王老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点，猜想与的数量关系； （2）【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为5． ①如图3，若线段恰好经过点，，求的长， ②如图4，若，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知， ∴， ∴， 过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（）由题可知垂直平分，所以，又四边形是正方形，则，，然后证明，再通过全等三角形的性质即可求证； （）先证，过点作，易证，进而得解； （）正方形的边长为，，则，，过点作，垂足为，交线段于点，连接，，推出四边形是平行四边形,得到，根据勾股定理即可得到结论； 过作交于点，则，所以四边形是平行四边形，故有，证明，可得，过作，且，证，得到，所以，当三点共线时，的值最小，为的长，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，据此求解即可． 【小问1详解】 解： 理由：如图， 由题可知垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为，， ∴，， 过点作，垂足为，交线段于点，连接，， ∵四边形沿所在直线翻折得到四边形，线段经过点， ∴，关于直线对称，， ∴垂直平分， 由（）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过作，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 过作，交延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同（）中方法可证， ∴， ∴， 在中，， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $