精品解析：河南省商丘市永城市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度八年级下学期期末综合评估 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能表示y是x的函数的是（ ） A. x … 0 1 2 … y … 3 0 … B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校选拔14名学生参加运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 3 4 4 1 则这组数据的第三四分位数为（ ） A. 64 B. 70 C. 73 D. 76．5 5. 如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若将直线`向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（ ） A. 函数图象与y轴的交点坐标是 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 若点在该函数图象上，且，则 D. 自变量x每增加1，函数值就增加2 7. 如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 24 8. 已知一组数据：13，17，10，8，x，2，若中位数是10，则平均数和众数分别是（ ） A. 10，10 B. 10，11 C. 11，10 D. 11，11 9. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量的水的时候，壶中水的温度随时间变化的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是 B. 甲水壶在加热时水温刚好达到 C. 当时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 D. 当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 10. 如图1，在中，对角线，相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的周长为18 C. 的面积为16 D. 的面积为4时，x的值为4或14 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 13. 在某公司对一款新产品的功能测试过程中，10次测试的分数（满分10分）如下表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 分数/分 8 3 9 10 10 7 2 9 10 10 则这款新产品10次测试分数的离差平方和为_______． 14. 如图，矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．若，四边形的面积为6，则的长为_______． 15. 如图，在中，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作于点E，于点F，M为的中点，则_______，的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，，，． （1）数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． （2）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 18. 为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 材料一 空地的形状如图所示： 材料二 通过测量，已知，米，米，米，米． 材料三 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为40元． 问题解决： （1）问题1：求出这块空地的面积． （2）问题2：求买草皮需要多少费用？ 19. 如图，的对角线，相交于点O，平分，交于点E，F是的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的长． 20. 2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注．某中学为了考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分）．学校随机抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析．数据分成了四组（成绩用x表示，x取整数）：A组（），B组（），C组（），D组（）．获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，90，95，95，100，100，100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85，85，90，90，90，90． 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题． （1）在扇形统计图中，______；表格中，______，______． （2）根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由． （3）该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数． 21. 河南鹿邑素有“中国化妆刷之城”之称，是全球化妆刷产业核心基地．某化妆品店用1500元购进了甲种化妆刷40套和乙种化妆刷12套，已知购进2套甲种化妆刷和3套乙种化妆刷共需135元．销售时，每套甲种化妆刷可获利10元，每套乙种化妆刷可获利8元． （1）求甲、乙两种化妆刷的进价分别是多少元． （2）第二次进货时，该化妆品店计划购进甲、乙两种化妆刷共100套，且甲种化妆刷的进货数量不得超过乙种化妆刷进货数量的2倍．该化妆品店应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点D和点C，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点B和点A，直线交于点． （1）方程组的解为 ． （2）求一次函数和的解析式． （3）若P是x轴上一点，且，求点P的坐标． 23. 综合实践：从“特殊”到“一般”是常用的数学思想．在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程． （1）【特例认识】如图1，在正方形中，对角线，相交于点O． ∵四边形是正方形， ∴，． 在中，由勾股定理，可得， ∴， ∴ ． （2）【初步探究】如图2，四边形是菱形，试探究，与的数量关系． （3）【探究应用】 ①如图3，当四边形是平行四边形时，对角线，与边长，之间的数量关系为 ； ②如图4，在中，D是的中点，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 2025一2026学年度八年级下学期期末综合评估 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的) 1.下列二次根式是最简二次根式的是() 1 A.√0.3 B.13 C.5 D.27 【答案】C 【解析】 【详解】解：·最简二次根式需同时满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 3 A选项： V0.3= V10, 被开方数含分母，不是最简二次根式： 1 B选项： V3, 被开方数含分母，不是最简二次根式： C选项： 3 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式： D选项： √27=V9x3=35 被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式。 2.下列不能表示y是x的函数的是() A 0 1 -3 -6 … 0 B.y=-Vx(x>0) 第1页/共30页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个 值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可. 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数. 3.下列计算正确的是（) V12 A.3 B.√13+V3=4 c.2xV8=16 D.35-2V5=1 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A: .2_巴=4=2，A计第正 ·V3 选项B:⑤与5不是同类二次根式，不能合并，∴B计算错误 选项C:~V2×V8=V2x8=V6=4≠16，∴C计算错误 第2页/共30页 学科网命组卷网 选项D,~35-25=(仔-2)小W5=51,D计算错误 4,某校选拔14名学生参加运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次分） 60 68 70 73 80 人数 则这组数据的第三四分位数为( A.64 B.70 C.73 D.76.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据第三四分位数的定义求解即可 60,60,68,68,68,70,70,70,70,73,73,73,73,80 【详解】解：首先将14个数据从小到大排列，得： 总共有n=14个数据，第三四分位数为75%分位数， …14×75%=10.5, ∴.第三四分位数为第11个数据，即为73； 70,70,73,73,73,73,80 取排序后后面的7个数 ,这7个数中最中间的数为73， .第三四分位数为73： 综上所述，这组数据的第三四分位数为73， 5.如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有△PAB,则∠APB的度数是（) 120° B1350 c1400 D155o 【答案】B 【解析】 【分析】延长4P到格点C,连接BC,根据网格特点并结合勾股定理可求出AP=PC=V5 第3页/共30页 命学科网命组卷网 BC=5 BP=10 根据勾股定理的逆定理可得△P℃B为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：延长AP到格点C,连接BC, 由网格特点可得，AP=PC=V1P+22=√5 BC=VP+22=√5，BP=V1P+32=V0 :PC=BC PC2+BC2=PB2 .△PCB是等腰直角三角形， .∠CPB=∠CBP=45°， .∠APB=180°-∠CPB=135° y=-2x+5 y=kx+b y=kx+b 6.若将直线 向上平移2个单位长度后得到直线 ,则下列关于直线 的说 法错误的是() A函数图象与y轴的交点坐标是(0,7） B.函数图象经过第一、二、四象限 C若点4（年，乃），B(,乃)在该函数图象上，且<，则>乃 D.自变量x每增加1，函数值就增加2 【答案】D 【解析】 【分析】利用“上加下减”的平移规律得到平移后直线的解析式，再逐一判断各选项即可. y=-2x+5 【详解】解：根据一次函数平移规律“上加下减”，将直线 向上平移2个单位长度， 第4页/共30页 学科网命组卷网 y=-2x+5+2=-2x+7 得平移后直线解析式为 A.在y=-2x+7中，当x=0时，y=7,÷函数图象与y轴的交点坐标是(0，)，A说法正确，不符 合题意 B.:k=-2<0,b=7>0,∴函数图象经过第一、二、四象限，B说法正确，不符合题意. C.:k=-2<0,∴'随*的增大而减小，若<，则出>片，C说法正确，不符合题意。 D.k=-2,自变量x每增加1，函数值减少2，D说法错误，符合题意. 7.如图，在菱形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形EFGH.若菱 形4BCD的面积为18W5,则四边形EFGH的面积是《) A.12V5 B.9V3 c:6v5 D.24 【答案】B 【解析】 【分析】连接 C,BD交于0，EF与BD相交于点K,根据菱形的性质得到∠A0B=90° AC.BD=36V3 ,根据三角形中位线的性质证明四边形EFGH是矩形，根据矩形的面积计算方法求解即 可 【详解】解：连接 C,BD交于0，EF与BD相交于点K 第5页/共30页 6学科网命组卷网 :四边形1BCD是菱形，且面积为18√5， C.BD=183 .AC⊥BD,21 :∠A0B=90°，AC·BD=36V5 :E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点， 六EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD, EF-TAC HG-AC E-D .EF∥HG,EF=HG, 四边形EFGH是平行四边形， :EF∥AC, .∠EKB=∠AOB=90°， .EH∥BD, .∠HEK=∠EKB=90° .EFGH是矩形. wFECDACBD6 8.已知一组数据：13,17,10,8，x,2,若中位数是10，则平均数和众数分别是() 第6页/共30页 6学科网命组卷网 A.10,10 B.10,11 C.11,10 D.11,11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据中位数的定义确定未知数据的取值，再根据平均数和众数的定义计算结果即可. 【详解】解：，这组数据一共有6个数， ,这组数据的中位数是把这组数据按照从小到大的顺序排列后，第3个数和第4个数的平均数， 把已知数据按照从小到大的顺序排列为2,8,10,13,17， 若x<10,那么第3个数据小于10，第4个数据为10，此时一定不满足中位数为10， 若x>10,那么第3个数据为10，第4个数据大于10，此时一定不满足中位数为10， 若x=10,那么第3个数据为10，第4个数据为10，此时满足中位数为10， .这组数据为2,8,10,10,13,17， 2+8+10+10+13+17=10 .这组数据的平均数为 6 众数为10 9.甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量的水的时候，壶中水的温度(C)随时间（⊙）变化的函数关系 如图所示.下列说法错误的是(，) W℃ 80------ 甲 60 20 0 40 120 A.甲、乙两个水壶加热前水的温度都是20℃ B.甲水壶在加热60s时水温刚好达到80°C y=三x+20 C.当0≤x≤120时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 2 第7页/共30页 命学科网命组卷网 D.当甲壶中水温刚好达到70℃时，乙壶中的水温为50℃ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到x=O时，两个水壶的温度y的值，即可判断A选项.先求出甲水壶每秒升温的度 数，再求出加热60s时水温，即可判断B选项.根据待定系数法求出解析式，即可判断C选项.求出当甲 壶中水温刚好达到TOC时需要加热时间，再根据C选项的函数解析式求出乙壶中的水温，即可判断D选 项. 【详解】解：A、由图象可得，当=0时，年=20，=20， ∴甲、乙两个水壶加热前水的温度都是20℃，故A选项正确. B、由图象可得，甲水壶每秒升温(60-20)÷40=1（℃） 加热60s时水温 20+1×60=80(C),故B选项正确。 0≤x≤120 y=kx+b C、当 时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 由图象可得，该函数图象过点(0,20)），(120,80) 1 b=20 k=- 2 六120k+6=80,解得 b=201 1 ∴.当0≤x≤120时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 y=5x+20 2 故C选项正确， D、当甲壶中水温刚好达到70℃时，需要加热时间为(（70-20)÷1=50(S), 非=50代入两数”=方+20，得” -×50+20=45 第8页/共30页 6学科网命组卷网 ∴当甲壶中水温刚好达到70℃时，乙壶中的水温为45C.故D选项错误. 10.如图1，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发，沿A→B→C→D向点 D运动.设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误 的是( VA 9 13x 图1 图2 BC=5 B.口ABCD的周长为18 C.口ABCD的面积为16 D.AOp 的面积为4时，x的值为4或14 【答案】D 【解析】 【分折1由图可得，当点P5店B重合时，y=5a=5.a=4,即可根据5,0450判断C选 项.当点P与点C重合时，x=AB+BC=9,当点P与点D重合时，x=AB+BC+CD=13,即可求 出CD,进而求出AB,BC,从而判断A选项，B选项.当点P运动到点B,或点D时，△AOP的面积 为4，求出相应的x的值，判断D选项， 【详解】解：由图可得，当点P与点B重合时，y=S,40=S08=4 在ABCD中，AO=CO,BO=DO. S.408=S,BoC=S.coD=S..0D 第9页/共30页 6学科网命组卷网 SABCD=4S40B=4×4=16 ,故C选项正确. 由图可得，当点P与点C重合时，S40=0 ,此时x=AB+BC=9 当点P与点D重合时，y=Sop=S4OD=4 此时x=AB+BC+CD=13 .CD=13-9=4, ∴.在ABCD中，AB=CD=4, .AB BC =9 .BC=5,故A选项正确。 :C.4aCn=2(AB+BC)=2x9=18 故B选项正确 ,当点P运动到点B,或点D时，△AOP的面积为4， 此时x=AB=4或x=AB+BC+CD=13,故D选项错误. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） V2x-1 1.函数少=一中自变量x的取值范围是 1 X≥ 【答案】-2且x≠1 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可， 2x-1≥0 【详解】解：由题意得， x-1≠0， 1 -2且x≠1. 第10页/共30页 学科网命组卷网 12.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.请你添加一个适当的条件： 使四边形ABCD成为菱形. 【答案】AB=AD, 【解析】 【分析】由条件OA=OC,AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四 边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定， 【详解】添加AB=AD, .OA=OC.OB=OD. ∴.四边形ABCD为平行四边形， .AB=AD. ∴.四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 13.在某公司对一款新产品的功能测试过程中，10次测试的分数（满分10分）如下表所示： 第1 第2 第3 第4 第5 第6 第7 第8 第9 第10 次数 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 分数分 8 3 10 10 7 9 10 10 则这款新产品10次测试分数的离差平方和为 【答案】79.6 【解析】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的总和，先确定10个测试分数，计算得到平均数，再 计算所有离差的平方和即可. 【详解】解：由题意得，这款新产品10次测试分数的平均数为 第11页/共30页 6学科网丽组卷网 8+3+9+10+10+7+2+9+10+10=7.8 10 离差平方和为(8-7.8+(3-7.8+2×(9-7.8+4×(10-7.82+(7-7.8}2+(2-7.8=79.6 14.如图，矩形ABCD的各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.若AD=8,四边形EFGH的面积 为6，则AB的长为」 B 【答案】8-2W5#-23+8 【解析】 【分析】先得到四边形EFGH为正方形，再由四边形EFGH的面积得到EF的边长，再求解AE的边长， 由此求解AB的长即可. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ABC=90°， ,矩形ABCD的各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H. .∠BAE=∠ABE=45°， .∠AEB=90°，即△AEB为等腰直角三角形， .∠HEF=90°， 同理可得∠EFG=∠PFGH=∠GHE=90°， ∴.四边形EFGH为矩形， 第12页/供30页 6学科网6组卷网 .∠HBC=∠HCB=45°，∠BHC=90° :.△BHC为等腰直角三角形， BH HC= 2 BC 2 同理可得△AFD为等腰直角三角形， 2 AF=FD= AD 2 .BC=AD. .AF=BH, ,△AEB为等腰直角三角形， .AE=BE, .AF-AE=BH-BE,EF =EH, ∴四边形EFGH为正方形， ,四边形EFGH的面积为6， :EF2=6,即EF=V6(负值舍)， =2D=58=45 2 2 AE=AF-EF=42-6 ∴在等腰直角△4EB中，AB=V5AE=V2(42-V6)=8-2V5 15如图，在△ABC中，AB=6,4C=6,BC=6N5,P为边BC上一动点（点P不与点B,C重合）， 过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点，则PE+PF=一，AM的最小值 第13页/共30页 6学科网命组卷网 为 M B P 【答案】 ①.6 e90 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得到△4BC是直角三角形，求出Sc= 8.连接AP根据 SBm+ScP=S,c即可求出PE+PF.证明四边形AEPF是矩形，得到EF=AP,根据直角三角形 斜边上中线的性成稠到4M=号F 2AP,当A最小时，AM取得最小值.根据垂线段最短得到当 AP⊥BC AP ABC AP 时， 最小，根据 的面积求出此时的长，即可解答 【详解】解：：AB=6,AC=6,BC=6√2 :AB2+AC2=62+62=72=(6W2=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， 5a号4B-4C-x6x6=18 连接AP, A B 第14页/供30页 命学科网命组卷网 SABp+S,4ce=S,c,PE⊥AB.PF⊥AC, B-PE+AC-PF-S.c .2 1 ×6PE+5×6PF=18 即2 2 .PE+PF=6. :∠BAC=90°，点M是EF的中点， .AM-TEF, PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°， ∴四边形AEPF是矩形， .EF =AP, 当AP最小时，AM取得最小值. 当P⊥BC时，AP最小，此时ac)BCD x6N2AP=18 即2 AP=3 :1P的最小值为3V2 1 ∴.AM的最小值为2 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 第15页/共30页 可学科网列组卷网 16.计算： ()(23-1-(25-3223+32) 55 【答案】(1)19-4V3 (2)1 【解析】 【小问1详解】 解：(23-1-(25-32)(23+32） =(12-43+1-(12-18) =13-4v3-(-6) =19-43 【小问2详解】 √20+V5 解： 5 =25+5 5 3v5 =3-2 =1. 17.如图，OA=OB,BC=2,BC⊥OC, 第16页共30页 学科网丽组卷网 B 543210234A5→ (1)数轴上点A表示的数为 一；比较点A表示的数与4的大小： (②)在数轴上找出V17 对应的点.（保留作图痕迹） 【答案】(1)25.2V5>4 (2)解：如图，点F表示的数为7 即为所求 【解析】 【分析】)根据勾股定理求出OB=25,即可得到OA的长，从而得出点4表示的数。先比较V5与2 的大小，进而得出 V5 与4的大小关系： (2)在表示-4的点D处作垂线，在该垂线上取点E,使得DE=1,连接OE,以O为圆心，OE的长 为半径画弧，交数轴负半轴于点F,则点F为所求。 【小问1详解】 解：由图可得OC=4,BC⊥OC. :在Rt△B0C中，OB=VOC2+BC2=V4+22=25 :0A=0B=25 二点A表示的数是25 第17页/供30页 6学科网命组卷网 V5>2 :25>4 【小问2详解】 解：由作图可得OD=4,DE=1, :在RtAODE中，OE=VOD2+DE2=V42+下=V7 OF=OE=17 一点P表示的数是V7 即为所求。 18.为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 空地的形状如图所示： 材料一 D 通过测量，已知∠BAD=90°，AD=3米， 材料二 AB=4, BC=12CD=13 米， 米， 米 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为 材料三 40元 问题解决： (1)问题1：求出这块空地的面积. (2)问题2：求买草皮需要多少费用？ 【答案】(1)这块空地的面积为36平方米 第18页/共30页 6学科网6组卷网 (2)买草皮的总费用为1440元 【解析】 【分析】(I)连接BD,根据勾股定理求出BD,再运用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形， 根据三角形的面积公式求出△ABD和△BCD的面积，它们之和即为空地的面积； (2)将草皮的单价乘以空地的面积，即可解答. 【小问1详解】 解：如图，连接BD. :在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=3米，AB=4米 :BD=VAD2+AB=V32+4=5(米). ,在△BCD中，BD=5米，BC=12米，CD=13米， ∴.BD2+BC2=52+122=169=132=CD2 ∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°， Sn-38D-8c-x5x12=30 平方米)· 2 (平方米)， .S四边形ABcD=S。ABD+SBcD=6+30=36 (平方米)· 答：这块空地的面积为36平方米. 第19页/共30页 6学科网 命组卷网 【小问2详解】 解：36×40=1440（元） 答：买草皮的总费用为1440元. 19.如图，ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC,交AB于点E,F是DE的中点， 连接OF. C (1)求证：△ADE是等腰三角形， (2)若DC-BC=4cm,求OF的长. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB, .∠CDE=∠AED :DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠CDE, .∠ADE=∠AED, .AD=AE, ∴.△ADE是等腰三角形. (2)2cm 【解析】 【分析】(1)由口ABCD得到CD∥AB,由平行线的性质和角平分线的定义得到 第20页/共30页 6学科网列组卷网 ∠ADE=∠CDE=∠AED ,根据“等角对等边”即可证明： (2)由平行四边形的性质得到CD=AB,BC=AD,O为BD的中点，根据CD-BC=4Cm, AD=AE,得出BE=AB-AE=4cm,再由三角形的中位线定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB,BC=AD,O为BD的中点. .CD-BC=4cm,AD=AE, .AB-AE=4cm,即BE=4cm F是DE的中点， .0F=2BE=2x4=2(cm) 2 20.2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注.某中学为了考查学生 对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分），学校随机 抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析.数据分成了四组（成绩用x表示，x 取整数)：A组(60<x≤70)，B组(70<x≤80)，C组(80<x≤90)，D组(90<x≤100). 获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65,70,75,75,75,80,80,80,85,85,85,85,90,90,90， 95,95,100,100,100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85,85,90,90,90,90. 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示. 第21页/共30页 6学科网组卷网 20% B a010% C 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示. 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 m n 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题 (1)在扇形统计图中，α=°；表格中，m= ,n= (2)根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由. (3)该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计 该校七、八年级的学生中获奖的学生人数. 【答案】(1)144：85：85 (2)八年级知识竞答成绩更稳定、更好，理由如下： 八年级的竞答成绩方差小，平均数、中位数和众数都比七年级的高： (3)估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数为500人 【解析】 【分析】(1)求出D组占比，进而可知的值，根据中位数、众数的定义可知m、n的值； (2)根据表格判断即可； (3)用七、八年级的学生人数乘以各自获奖的学生的比例，相加即可 【小问1详解】 6=30% 解：八年级共20人，C组有6人，C组占比为20 因此D组占比=1-20%-10%-30%=40%， 第22页/共30页 学科网组卷网 ∴圆心角a=360°×40%=144°： 七年级20个成绩从小到大排列，中位数为第10、11个成绩的平均数，第10、11个成绩均为85， 因此中位数m=85: 七年级成绩中85出现次数最多，因此众数n=85； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 8 800× 5+750 =500 解： 2 20 (人) 21.河南鹿邑素有“中国化妆刷之城”之称，是全球化妆刷产业核心基地.某化妆品店用1500元购进了甲 种化妆刷40套和乙种化妆刷12套，已知购进2套甲种化妆刷和3套乙种化妆刷共需135元.销售时，每 套甲种化妆刷可获利10元，每套乙种化妆刷可获利8元 (1)求甲、乙两种化妆刷的进价分别是多少元。 (2)第二次进货时，该化妆品店计划购进甲、乙两种化妆刷共100套，且甲种化妆刷的进货数量不得超过 乙种化妆刷进货数量的2倍.该化妆品店应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种化妆刷的进价为30元/套，乙种化妆刷的进价为25元/套 (2)当甲种化妆刷购进66套，乙种化妆刷购进34套时，才能获得最大利润，最大利润是932元 【解析】 【分析】(1)设出未知数，根据题意建立等式列二元一次方程组求解即可. (2)根据题意表示出利润，再结合甲乙两种化妆刷的数量，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设甲种化妆刷的进价为x元/套，乙种化妆刷的进价为y元/套 40x+12y=1500 x=30 由题意，可得2x+3y=135, 解得y=25, 答：甲种化妆刷的进价为30元套，乙种化妆刷的进价为25元/套. 【小问2详解】 第23页/共30页 6学科网列组卷网 解：设甲种化妆刷购进a套，则乙种化妆啊进100-a)套，利润为w元。 由题意，可得w=10a+8(100-a)=2a+800 .2>0 ∴.w随a的增大而增大， ,甲种化妆刷的进货数量不得超过乙种化妆刷进货数量的2倍， 200 a≤ :a≤2(100-a),解得as3, ∴.当a=66时，w取得最大值，此时w=2×66+800=932,100-a=34, 答：当甲种化妆刷购进66套，乙种化妆刷购进34套时，才能获得最大利润，最大利润是932元. 2如图，在平面直角坐标系中，一次函数乃=mr+8 的图象(m≠0)分别与x轴和y轴交于点D和点 C,一次函数片=r-7 的图象(n≠0)分别与x轴和y轴交于点B和点4，直线ABCD交于点 E(-5,-2) B A y=mx+8 (1)方程组⅓2=x-7的解为 (2)求一次函数乃和片的解析式。 （3)若P是x轴上一点，且S.cm=25,m,求点P的坐标. 第24页/共30页 6学科网命组卷网 x=-5 【答案】(1)y=-2 2)乃=2r+8和为=--7 【解析】 【分析】(1)利用图象法即可解方程组： (2)利用待定系数法，将点E(5,-2)分别代入一次函数八和一次函数片的表达式中求解，即可得到答 案 (③)分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求得5，a0e=3., ,设点P的坐标为 a,0 ,根据 S,cD=2SDE,列式计算即可求解. 【小问1详解】 =mx+8 x=-5 解：由题意得方程组 y2=x-7的解为y=-2: 【小问2详解】 解：把点E(-5,-2）分别代入片=mx+8和片=m-7 得-5m+8=-2,-5n-7=-2, 解得m=2,n=-1, “一次函数的解析式分别是片=2x+8和=-X-7 【小问3详解】 解：令=0 0,即2x+8=0,解得x=-4 第25页/供30页 6学科网命组卷网 -4,0) .点D的坐标为 令5÷0 即X-7=0,解得x=-7 六点B的坐标为（7,0) BD=3, ,点E的纵坐标为一2， S△BDE=)x3×2=3 在=2x+8 ，当X=0时，y=2×0+8=8 :点C的坐标为(0,8)，即0C=8, 设点P的坐标为 a,0) S.CP=2S.DE +4w8=6 5 11 a=- a=- 解得 2或 2, :P的t标0 23.综合实践：从“特殊”到“一般”是常用的数学思想.在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行 四边形的对角线和边长存在某些数量关系.下面是小明对此问题的探究过程 D O 图1 图2 图3 图4 第26页/共30页 6学科网 命组卷网 (1)【特例认识】如图1，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O. ,四边形ABCD是正方形， :.AB=BC.∠ABC=90° 在Ra1BC中，由勾股定理，可得4C=AB+BC, :AC2=21B .AC= AB」 (2)【初步探究】如图2，四边形ABCD是菱形，试探究AC,BD与AB的数量关系. (3)【探究应用】 ①如图3，当四边形ABCD是平行四边形时，对角线AC,BD与边长AB,AD之间的数量关系为_ ； ②如图4，在aABC中，D是HB的中点，AD=2,AC=5CD=V06 2，直接写出BC的长. 【答案】(a)V2 (2)AC+BD=44B (3)①AC2+BD2=2AB2+2AD2:②6 【解析】 【分析】(1)两边同时开方求解即可. (2)先根据菱形的性质得到边的关系，再由勾股定理代入求解得到边的关系即可. (3)①添加辅助线，证明△DAE与△CBF全等，由此可得AE=BF，DE=CF,再结合勾股定理求解 即可； ②添加辅助线，根据(1)中的结论代入数值求解即可. 第27页/供30页 6学科网可组卷网 【小问1详解】 解：1C2=2AB AC=AB 【小问2详解】 解：，四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,AO=CO,BO=DO .AB2=A02+B02 又，AC=2AO,BD=2BO. 4-4C+BD: 4 4 化简整理，得1C+BD2=44B2 【小问3详解】 解01C+BD2=2AB2+2AD 如图1，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F, D 图1 .∠DEA=∠DEB=∠CFB=90° ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD//BC. 第28页/共30页 6学科网命组卷网 .∠DAE=∠CBF, 在△DAE与△CBF中， ∠DEA=∠CFB=90° ∠DAE=∠CBF AD=BC :△DAE≌aCBF(AAS) .AE=BF,DE=CF, 在RtADBE中，DB=DE2+BE2=DE2+(AB-AE). 在RiACAF中，AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF. AC2+BD2=DE2+(AB-AE)+CF2+(AB+BF)2 =2DE2+AB2-2AB·AE+AE2+AB2+2AB·AE+AE2 =2(DE2+AE2)+2AB2 =2AD2+2AB2, :4C2+BD2=2AB2+2AD2 ②如图2，作平行四边形ACBE,连接DE, D是AB的中点， ∴C、D、E三点共线， A B 图2 由(1)中的结论，可得1B+CE2-2AC2+2BC2 第29页/共30页 6学科网 命组卷网 即4+2x106 2 =2×52+2BC2,解得 (负值舍去). BC=6 第30页/共30页