精品解析：河南省商丘市永城市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度八年级下学期期末综合评估 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能表示y是x的函数的是（ ） A. x … 0 1 2 … y … 3 0 … B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校选拔14名学生参加运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 3 4 4 1 则这组数据的第三四分位数为（ ） A. 64 B. 70 C. 73 D. 76．5 5. 如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若将直线`向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（ ） A. 函数图象与y轴的交点坐标是 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 若点在该函数图象上，且，则 D. 自变量x每增加1，函数值就增加2 7. 如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 24 8. 已知一组数据：13，17，10，8，x，2，若中位数是10，则平均数和众数分别是（ ） A. 10，10 B. 10，11 C. 11，10 D. 11，11 9. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量的水的时候，壶中水的温度随时间变化的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是 B. 甲水壶在加热时水温刚好达到 C. 当时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 D. 当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 10. 如图1，在中，对角线，相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的周长为18 C. 的面积为16 D. 的面积为4时，x的值为4或14 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 13. 在某公司对一款新产品的功能测试过程中，10次测试的分数（满分10分）如下表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 分数/分 8 3 9 10 10 7 2 9 10 10 则这款新产品10次测试分数的离差平方和为_______． 14. 如图，矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．若，四边形的面积为6，则的长为_______． 15. 如图，在中，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作于点E，于点F，M为的中点，则_______，的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，，，． （1）数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． （2）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 18. 为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 材料一 空地的形状如图所示： 材料二 通过测量，已知，米，米，米，米． 材料三 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为40元． 问题解决： （1）问题1：求出这块空地的面积． （2）问题2：求买草皮需要多少费用？ 19. 如图，的对角线，相交于点O，平分，交于点E，F是的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的长． 20. 2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注．某中学为了考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分）．学校随机抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析．数据分成了四组（成绩用x表示，x取整数）：A组（），B组（），C组（），D组（）．获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，90，95，95，100，100，100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85，85，90，90，90，90． 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题． （1）在扇形统计图中，______；表格中，______，______． （2）根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由． （3）该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数． 21. 河南鹿邑素有“中国化妆刷之城”之称，是全球化妆刷产业核心基地．某化妆品店用1500元购进了甲种化妆刷40套和乙种化妆刷12套，已知购进2套甲种化妆刷和3套乙种化妆刷共需135元．销售时，每套甲种化妆刷可获利10元，每套乙种化妆刷可获利8元． （1）求甲、乙两种化妆刷的进价分别是多少元． （2）第二次进货时，该化妆品店计划购进甲、乙两种化妆刷共100套，且甲种化妆刷的进货数量不得超过乙种化妆刷进货数量的2倍．该化妆品店应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点D和点C，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点B和点A，直线交于点． （1）方程组的解为 ． （2）求一次函数和的解析式． （3）若P是x轴上一点，且，求点P的坐标． 23. 综合实践：从“特殊”到“一般”是常用的数学思想．在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程． （1）【特例认识】如图1，在正方形中，对角线，相交于点O． ∵四边形是正方形， ∴，． 在中，由勾股定理，可得， ∴， ∴ ． （2）【初步探究】如图2，四边形是菱形，试探究，与的数量关系． （3）【探究应用】 ①如图3，当四边形是平行四边形时，对角线，与边长，之间的数量关系为 ； ②如图4，在中，D是的中点，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期期末综合评估 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵最简二次根式需同时满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项：，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； D选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 下列不能表示y是x的函数的是（ ） A. x … 0 1 2 … y … 3 0 … B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，A计算正确． 选项B：与不是同类二次根式，不能合并，B计算错误． 选项C：，C计算错误． 选项D：，D计算错误． 4. 某校选拔14名学生参加运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数 2 3 4 4 1 则这组数据的第三四分位数为（ ） A. 64 B. 70 C. 73 D. 76．5 【答案】C 【解析】 【分析】根据第三四分位数的定义求解即可． 【详解】解：首先将14个数据从小到大排列，得： 总共有个数据，第三四分位数为分位数， ∵， ∴第三四分位数为第11个数据，即为73； 取排序后后面的7个数，这7个数中最中间的数为73， ∴第三四分位数为73； 综上所述，这组数据的第三四分位数为73． 5. 如图，在正方形网格中，每一小格的边长为1，网格内有，则∠APB的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到格点，连接，根据网格特点并结合勾股定理可求出，，，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长到格点，连接， 由网格特点可得，， ，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 6. 若将直线`向上平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法错误的是（ ） A. 函数图象与y轴的交点坐标是 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 若点在该函数图象上，且，则 D. 自变量x每增加1，函数值就增加2 【答案】D 【解析】 【分析】利用“上加下减”的平移规律得到平移后直线的解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据一次函数平移规律“上加下减”，将直线向上平移2个单位长度， 得平移后直线解析式为， A． 在中，当时，，∴函数图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． B． ∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，B说法正确，不符合题意． C． ∵，∴随的增大而减小，∴若，则，C说法正确，不符合题意． D． ∵，∴自变量每增加，函数值减少，D说法错误，符合题意． 7. 如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，与相交于点K，根据菱形的性质得到，，根据三角形中位线的性质证明四边形是矩形，根据矩形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：连接交于，与相交于点K， ∵四边形是菱形，且面积为， ∴，， ∴，． ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是矩形． ∴． 8. 已知一组数据：13，17，10，8，x，2，若中位数是10，则平均数和众数分别是（ ） A. 10，10 B. 10，11 C. 11，10 D. 11，11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据中位数的定义确定未知数据的取值，再根据平均数和众数的定义计算结果即可． 【详解】解：∵这组数据一共有6个数， ∴这组数据的中位数是把这组数据按照从小到大的顺序排列后，第3个数和第4个数的平均数， 把已知数据按照从小到大的顺序排列为2，8，10，13，17， 若，那么第3个数据小于10，第4个数据为10，此时一定不满足中位数为10， 若，那么第3个数据为10，第4个数据大于10，此时一定不满足中位数为10， 若，那么第3个数据为10，第4个数据为10，此时满足中位数为10， ∴这组数据为2，8，10，10，13，17， ∴这组数据的平均数为，众数为10． 9. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量的水的时候，壶中水的温度随时间变化的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两个水壶加热前水的温度都是 B. 甲水壶在加热时水温刚好达到 C. 当时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为 D. 当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到时，两个水壶的温度y的值，即可判断A选项．先求出甲水壶每秒升温的度数，再求出加热时水温，即可判断B选项．根据待定系数法求出解析式，即可判断C选项．求出当甲壶中水温刚好达到时需要加热时间，再根据C选项的函数解析式求出乙壶中的水温，即可判断D选项． 【详解】解：A、由图象可得，当时，，， ∴甲、乙两个水壶加热前水的温度都是，故A选项正确． B、由图象可得，甲水壶每秒升温， 加热时水温为，故B选项正确． C、当时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为， 由图象可得，该函数图象过点，， ∴，解得， ∴当时，乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为．故C选项正确． D、当甲壶中水温刚好达到时，需要加热时间为， 把代入函数，得， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为．故D选项错误． 10. 如图1，在中，对角线，相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 的周长为18 C. 的面积为16 D. 的面积为4时，x的值为4或14 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，当点P与点B重合时，，即可根据判断C选项．当点P与点C重合时，，当点P与点D重合时，，即可求出，进而求出，，从而判断A选项，B选项．当点P运动到点B，或点D时，的面积为4，求出相应的x的值，判断D选项． 【详解】解：由图可得，当点P与点B重合时，， ∵在中，，， ∴， ∴，故C选项正确． 由图可得，当点P与点C重合时，，此时， 当点P与点D重合时，，此时， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，故A选项正确． ∴，故B选项正确． ∵当点P运动到点B，或点D时，的面积为4， 此时或，故D选项错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AB=AD. 【解析】 【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】添加AB=AD， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 13. 在某公司对一款新产品的功能测试过程中，10次测试的分数（满分10分）如下表所示： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 分数/分 8 3 9 10 10 7 2 9 10 10 则这款新产品10次测试分数的离差平方和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】离差平方和是所有数据与平均数的差的平方的总和，先确定10个测试分数，计算得到平均数，再计算所有离差的平方和即可． 【详解】解：由题意得，这款新产品10次测试分数的平均数为 ∴离差平方和为． 14. 如图，矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．若，四边形的面积为6，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先得到四边形为正方形，再由四边形的面积得到的边长，再求解的边长，由此求解的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∵四边形的面积为6， ∴，即（负值舍）， ∴， ∴， ∴在等腰直角中， ． 15. 如图，在中，，P为边上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作于点E，于点F，M为的中点，则_______，的最小值为_______． 【答案】 ①. 6 ②. ## 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，求出．连接，根据即可求出．证明四边形是矩形，得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，当最小时，取得最小值．根据垂线段最短得到当时，最小，根据的面积求出此时的长，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 连接， ∵，，， ∴， 即， ∴． ∵，点M是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． ∵当时，最小，此时， 即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，，，． （1）数轴上点A表示的数为___________；比较点A表示的数与4的大小：_________． （2）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）解：如图，点F表示的数为，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，即可得到的长，从而得出点A表示的数．先比较与2的大小，进而得出与4的大小关系； （2）在表示的点D处作垂线，在该垂线上取点E，使得，连接，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴负半轴于点F，则点F为所求． 【小问1详解】 解：由图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数是． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由作图可得，， ∴在中，， ∴， ∴点F表示的数是，即为所求． 18. 为建设美丽小区，小区物业决定对一块空地进行绿化，所需费用需要确定，有如下素材： 费用计算 材料一 空地的形状如图所示： 材料二 通过测量，已知，米，米，米，米． 材料三 该空地需要铺满草皮，每平方米草皮的价格为40元． 问题解决： （1）问题1：求出这块空地的面积． （2）问题2：求买草皮需要多少费用？ 【答案】（1）这块空地的面积为36平方米 （2）买草皮的总费用为1440元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再运用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，根据三角形的面积公式求出和的面积，它们之和即为空地的面积； （2）将草皮的单价乘以空地的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵在中，，米，米． ∴（米）． ∵在中，米，米，米， ， ∴是直角三角形，且， （平方米）， （平方米）， （平方米）． 答：这块空地的面积为36平方米． 【小问2详解】 解：（元） 答：买草皮的总费用为1440元． 19. 如图，的对角线，相交于点O，平分，交于点E，F是的中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由得到，由平行线的性质和角平分线的定义得到，根据“等角对等边”即可证明； （2）由平行四边形的性质得到，，O为的中点，根据，，得出，再由三角形的中位线定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，O为的中点． ∵，， ∴，即． ∵F是的中点， ∴． 20. 2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注．某中学为了考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分）．学校随机抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析．数据分成了四组（成绩用x表示，x取整数）：A组（），B组（），C组（），D组（）．获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，90，95，95，100，100，100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85，85，90，90，90，90． 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题． （1）在扇形统计图中，______；表格中，______，______． （2）根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由． （3）该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数． 【答案】（1）144；85；85 （2）八年级知识竞答成绩更稳定、更好，理由如下： 八年级的竞答成绩方差小，平均数、中位数和众数都比七年级的高； （3）估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数为500人 【解析】 【分析】（1）求出D组占比，进而可知的值，根据中位数、众数的定义可知、的值； （2）根据表格判断即可； （3）用七、八年级的学生人数乘以各自获奖的学生的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：八年级共20人，C组有6人，C组占比为， 因此D组占比， ∴圆心角； 七年级20个成绩从小到大排列，中位数为第10、11个成绩的平均数，第10、11个成绩均为85， 因此中位数； 七年级成绩中85出现次数最多，因此众数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）． 21. 河南鹿邑素有“中国化妆刷之城”之称，是全球化妆刷产业核心基地．某化妆品店用1500元购进了甲种化妆刷40套和乙种化妆刷12套，已知购进2套甲种化妆刷和3套乙种化妆刷共需135元．销售时，每套甲种化妆刷可获利10元，每套乙种化妆刷可获利8元． （1）求甲、乙两种化妆刷的进价分别是多少元． （2）第二次进货时，该化妆品店计划购进甲、乙两种化妆刷共100套，且甲种化妆刷的进货数量不得超过乙种化妆刷进货数量的2倍．该化妆品店应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种化妆刷的进价为30元/套，乙种化妆刷的进价为25元/套 （2）当甲种化妆刷购进66套，乙种化妆刷购进34套时，才能获得最大利润，最大利润是932元 【解析】 【分析】（1）设出未知数，根据题意建立等式列二元一次方程组求解即可． （2）根据题意表示出利润，再结合甲乙两种化妆刷的数量，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种化妆刷的进价为x元/套，乙种化妆刷的进价为y元/套. 由题意，可得， 解得， 答：甲种化妆刷的进价为30元/套，乙种化妆刷的进价为25元/套． 【小问2详解】 解：设甲种化妆刷购进a套，则乙种化妆刷购进套，利润为元， 由题意，可得， ∵， ∴随a的增大而增大， ∵甲种化妆刷的进货数量不得超过乙种化妆刷进货数量的2倍， ∴，解得， ∴当时，取得最大值，此时，， 答：当甲种化妆刷购进66套，乙种化妆刷购进34套时，才能获得最大利润，最大利润是932元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点D和点C，一次函数 的图象（）分别与x轴和y轴交于点B和点A，直线交于点． （1）方程组的解为 ． （2）求一次函数和的解析式． （3）若P是x轴上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）和 （3）点 P 的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用图象法即可解方程组； （2）利用待定系数法，将点分别代入一次函数和一次函数的表达式中求解，即可得到答案； （3）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求得，设点P的坐标为，根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得方程组的解为； 【小问2详解】 解：把点分别代入和， 得，， 解得，， ∴一次函数的解析式分别是和； 【小问3详解】 解：令，即，解得， ∴点D的坐标为， 令，即，解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点E的纵坐标为， ∴， 在中，当时，， ∴点C 的坐标为，即， 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得 或 ， ∴点P 的坐标为或． 23. 综合实践：从“特殊”到“一般”是常用的数学思想．在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程． （1）【特例认识】如图1，在正方形中，对角线，相交于点O． ∵四边形是正方形， ∴，． 在中，由勾股定理，可得， ∴， ∴ ． （2）【初步探究】如图2，四边形是菱形，试探究，与的数量关系． （3）【探究应用】 ①如图3，当四边形是平行四边形时，对角线，与边长，之间的数量关系为 ； ②如图4，在中，D是的中点，，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）①；②6 【解析】 【分析】（1）两边同时开方求解即可． （2）先根据菱形的性质得到边的关系，再由勾股定理代入求解得到边的关系即可． （3）①过点D作于点E，过点C 作交的延长线于点F，证明与全等，由此可得，，再结合勾股定理求解即可； ②作平行四边形，连接，根据（1）中的结论代入数值求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 化简整理，得． 【小问3详解】 解：①， 如图1，过点D作于点E，过点C 作交的延长线于点F， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∴ ∴ ； ②如图2，作平行四边形，连接， ∵D是的中点， ∴C、D、E三点共线， 由（1）中的结论，可得 ， 即， 解得（负值舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $