2.2.1 有理数的乘法 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.2.1 有理数的乘法 一、学习目标 1、经历有理数乘法法则的推导过程，理解 “负负得正” 的原理，熟记有理数乘法法则。 2、牢记运算步骤：先定符号，再算绝对值，可以熟练计算两个有理数相乘（整数、分数、小数）。 3、理解倒数的定义，掌握各类数求倒数的方法，分清倒数与相反数的区别。 4、学会判断多个有理数相乘的积的符号，掌握特殊数（1、-1、0）相乘的运算规律。 5、初步认识乘法的三条运算律，能简单运用运算律简化乘法计算，规避符号类计算错误。 二、学习重难点 重点：有理数乘法法则；倒数的概念；多个因数相乘的符号判定方法。 难点：负数乘负数的理解；小数、带分数的乘法计算；区分运算符号和性质符号。 三、课前预习（旧知回顾） 1、有理数分为正数、负数、0；相反数：的相反数是。 2、小学乘法：正数 × 正数，；任何数乘 0 都等于 0。 3、有理数减法口诀：减去一个数，等于加上它的相反数。 四、新知探究 核心知识点详解 知识点 1：两数相乘的有理数乘法法则（本节核心） 法则原文：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 固定解题步骤（硬性要求）： 第一步：观察两个因数符号，确定积的正负； 第二步：去掉符号，把两个数的绝对值做普通乘法运算。 分四类举例： 1、同号相乘（正 × 正、负 × 负，结果为正数） ； 2、异号相乘（一正一负，结果为负数） ； 3、任意数乘 0：， 特殊运算规律（必考小结论）： ① 一个数乘以 1，结果等于它本身： ② 一个数乘以 - 1，结果等于这个数的相反数： 知识点 2：倒数的概念（高频考点） 1、定义：乘积为 1 的两个数，互为倒数。 字母表达：若，则的倒数是，满足 。 2、倒数的性质： ① 0 没有倒数（0 不能做分母，无法找到一个数和 0 相乘得 1）； ② 正数的倒数依旧是正数，负数的倒数依旧是负数； ③ 倒数等于自身的数只有两个： 和 。 3、不同类型数字求倒数的方法： ①整数：直接写成分数形式，的倒数是，的倒数是； ②最简分数：分子分母颠倒，的倒数是； ③带分数：先化成假分数，再颠倒分子分母； ④小数：先转化为分数，再求倒数，例如，倒数为。 知识点 3：多个有理数连续相乘的符号规则 1、前提：所有因数都不为 0 看式子里面负因数的个数： 负因数个数是偶数 → 积为正数； 负因数个数是奇数 → 积为负数。 2、简便判定技巧：算式中只要出现任意一个因数为 0，最后的乘积直接等于 0，不需要再计算其他数字。 举例： ，负因数共 3 个（奇数），结果为负，原式； 。 知识点 4：有理数乘法的三大运算律（简便计算专用） 设为任意有理数，乘法在有理数范围内全部适用这三条规律： 1、乘法交换律：，可以随意调换乘数的位置； 2、乘法结合律：，可以把容易约分的数字结合在一起先算； 3、乘法分配律：，括号外的数必须和括号里的每一项都相乘，不能漏项（最容易出错）。 易错拓展：，当括号前面是负数时，乘进去之后每一项都要变号。 五、典例精讲（标准解题格式） 例 1 基础两数相乘计算 (1) 解：异号得负，原式 (2) 解：同号得正，原式 例 2 多个数相乘 计算： 解：负因数 2 个？一共 2 个负号（错误纠正：本题 2 个负因数为偶数，更正：原式负因数 2 个，符号为正，） 例 3 运用分配律简算 解：原式 六、课堂随堂练习题（分层设置） A 组 基础计算题 1. 2. 3. 4.的倒数是多少？ B 组 多个因数相乘 1. 2. C 组 简便运算 用运算律计算： 参考答案 A 组：-21、63、0、-2； B 组：30、-24； C 组：原式 七、易错点总结（避坑专栏） 1、运算顺序颠倒：先算绝对值，后判断符号，极易符号写错；正确做法永远是符号优先。 2、混淆倒数和相反数：比如把的倒数错写成 5，牢记倒数要保证乘积等于 1。 3、乘法分配律漏乘：只乘括号第一项，漏掉后面的数字。 4、多个负数相乘时数错负号的个数，导致整体符号判断错误。 5、误认为 0 存在倒数，概念错误。 八、课堂小结（背诵版） 1、乘法法则口诀：同号得正，异号得负，绝对值相乘，遇 0 积为 0。 2、倒数特性：乘积为 1，正负不变，唯独 0 没有倒数。 3、连乘判符号：数负号个数，偶正奇负，见 0 直接得 0。 4、简便计算优先使用交换律、结合律，分配律切记逐项相乘。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．﹣2的倒数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．若ab＞0，a+b＜0，则（　　） A．a、b都为负数 B．a、b都为正数 C．a、b中一正一负 D．以上都不对 3．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，满足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正确的是（　　） A．a+c＜0 B．ac＞0 C．bc＜0 D．ab＜0 4．下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变； ②异号两数相乘，积取负号； ③互为相反数的两数相乘，积一定为负； ④两个有理数的积绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．以下叙述中，正确的是（　　） A．﹣a一定是负数 B．若|a|＝0.5，则a＝0.5 C．a与﹣a互为相反数 D．﹣a的倒数是 6．如图，下列结论正确的个数是（　　） ①m+n＞0；②m﹣n＞0；③mn＜0；④|m﹣n|＝m﹣n． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣5 8．若a+b＜0，ab＜0，则（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值 9．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 10．已知|a|＝1，b是﹣2的倒数，则a+b的值为（　　） A．或 B． C． D．或 二．填空题（共5小题） 11．的倒数是 　 　 ． 12．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　 　 ． 13．绝对值与倒数均等于它本身的数是 　 　 ． 14．若m＜n＜0，则（m+n）（m﹣n）　 　 0．（填“＜”、“＞”或“＝”） 15．计算：　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．用简便方法计算： （1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31； （2）99（﹣36）． 17．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd的值． 18．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题． （1）请在数轴上标出点B和点C； （2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积； （3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数 　 　 所表示的点重合． 19．（1）已知|a|＝5，|b|＝3． ①若ab＜0，求a+b的值； ②若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值； （2）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，求a+b的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵﹣2×（）＝1， ∴﹣2的倒数是． 故选：D． 2．【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同时为正数或同时为负数， 又∵a+b＜0，∴a、b同时为负数 故选：A． 3．【解答】解：∵AB＝BC， ∴b﹣a＝c﹣b， ∴a+c＝2b， ∵a+b﹣c＝0，即c＝a+b， ∴a+（a+b）＝2b， ∴b＝2a， ∴c＝a+b＝3a， ∵a＜b＜c， ∴a＞0，b＞0，c＞0， ∴a+c＞0，则A选项错误； ac＞0，则B选项正确； bc＞0，则C错误； ab＞0，则D错误． 故选：B． 4．【解答】解：①两负数相乘，符号变为正号；此选项错误； ②异号两数相乘，积取负号；此选项正确； ③互为相反数的两数相乘，积不一定为负可能为0，故此选项错误； ④两个有理数的积绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积，此选项正确． 故正确的有2个． 故选：B． 5．【解答】解：A、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，故选项A不符合题意， B、|a|＝0.5，则a＝0.5或﹣0.5，故选项B不符合题意， C、a与﹣a互为相反数，选项C符合题意， D、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，零没有倒数，选项D不符合题意． 故选：C． 6．【解答】解：由数轴得，m＜0＜n，且|m|＜|n|， ∴①m+n＞0，正确； ②m﹣n＞0，错误； ③mn＜0，正确； ④|m﹣n|＝m﹣n，错误； 故正确的有2个， 故选：B． 7．【解答】解：根据题意得：ab＝1， 则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3． 故选：C． 8．【解答】解：∵ab＜0， ∴a、b异号， 又∵a+b＜0， ∴负数的绝对值大于正数的绝对值． 故选：D． 9．【解答】解：∵如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， ∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A， 故选：C． 10．【解答】解：∵|a|＝1，b是﹣2的倒数， ∴a＝±1，b， ∴a+b ＝1 ， a+b ＝﹣1 ． ∴a+b的值为或． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：4，4的倒数是． 故答案为：． 12．【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝6， ∴x＝±8，y＝±6． ∵xy＞0， ∴x、y同号． ∴当x＝8时，y＝6，x﹣y＝8﹣6＝2．当x＝﹣8时，y＝﹣6，x﹣y＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣2． 故答案为：±2． 13．【解答】解：绝对值与倒数均等于它本身的数是1． 故答案为：1． 14．【解答】解：∵m＜n＜0， ∴m+n＜0，m﹣n＜0， ∴（m+n）（m﹣n）＞0． 故答案是＞． 15．【解答】解：原式（） ＝10． 故答案为：10． 三．解答题（共4小题） 16．【解答】解：（1）原式＝31（﹣9﹣8+16） ＝31（﹣1） ＝﹣31； （2）原式＝（100）×（﹣36） ＝100×（﹣36）（﹣36） ＝﹣3600 ＝﹣3599． 17．【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4； （2）由（1）得： 原式＝±4+1＝5或﹣3． 18．【解答】解：（1）如图所示： （2）﹣5×2＝﹣10． （3）A、B中点所表示的数为﹣3，点C与数﹣8所表示的点重合． 故答案为：﹣8． 19．【解答】解：（1）①∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∵ab＜0， ∴a＝5，b＝﹣3或a＝﹣5，b＝3； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝5﹣3＝2， 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣5+3＝﹣2； ∴a+b的值为±2； ②∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∴a＝5，b＝±3， ∴当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2， 当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， ∴a﹣b的值为2或8； （2）由题意|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3 学科网（北京）股份有限公司 $