2.2.2 有理数的除法 暑期预习导学案（附同步作业） 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.2.2 有理数的除法 一、学习目标 1、理解除法和乘法的互逆关系，牢记两条有理数除法法则，体会 转化（化归）的数学思想。 2、熟练运用法则计算两数相除，掌握分数的符号化简方法，理清分数线与除号的关系。 3、能够把所有乘除混合运算统一转化为乘法运算，结合乘法运算律简便计算。 4、掌握有理数四则混合运算的运算顺序，分清同级运算规则，规避取倒数、符号判断的常见错误。 5、牢记核心规定：0 不能作为除数，明确 0 做除数无意义。 二、学习重难点 重点：有理数的两条除法法则；除法转化成乘法的运算方法；分数的符号化简；乘除混合运算。 难点：容易把被除数颠倒取倒数；连除运算错误添加括号；分数三处符号的灵活变换；混合运算的顺序把控。 三、课前旧知回顾 1、倒数概念：乘积为 1 的两个数互为倒数，0 没有倒数；正数倒数为正，负数倒数为负。 2、有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个非零数相乘，负因数个数偶正奇负。 3、乘法三条运算律：交换律、结合律、分配律，适用于所有有理数乘法计算。 四、新知详细知识点梳理 知识点 1：有理数的两条除法法则（必考核心） 法则一（通用转化法，推荐优先使用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 字母公式： 适用场景：分数除法、小数除法、连续的乘除混合运算，全部转换成乘法计算，不容易出错。 法则二（直接定符号法） 两数相除，同号得正，异号得负，并且把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0 的数，结果都等于 0。 硬性规定： 0 永远不能当作除数，这类式子不存在，无任何意义。 标准运算步骤： 方法一：变除为乘（第一步改乘号，第二步除数换成倒数，第三步定符号算绝对值） 方法二：先判断商的正负，再将两个数的绝对值做除法。 举例分类： 1、同号相除： 2、异号相除： 3、0 做被除数： 知识点 2：分数的符号化简规则（本节易混考点） 分数线本身等价于除号，一个分数一共有三处符号：分子符号、分母符号、分数前面的符号。 规律：三处符号中，任意同时改变两处，分数的大小不变。 常用结论： ，， 例：， 知识点 3：有理数乘除混合运算的完整解法 1、运算顺序：只有乘除属于同级运算，必须从左往右依次计算，不可以随便加括号改变运算顺序。 2、统一变形技巧：把式子里面所有的除号全部改成乘号，所有除数全部换成它的倒数，整个算式变成纯乘法算式。 3、转化完成后：数清楚负因数的个数判定符号，再约分计算绝对值，还可以使用乘法交换律、结合律简化运算。 易错红线：连除不可以随意结合，错误写法： 知识点 4：有理数加减乘除四则混合运算顺序 1、有括号，优先计算括号里面（先小括号）； 2、无括号时，先算乘除，后算加减； 3、同级运算，严格从左向右依次运算。 五、典例精讲（标准答题格式） 例 1 直接利用除法法则计算 (1) 解：异号得负，原式 (2) 解：转化为乘法，原式 例 2 乘除混合运算 计算： 解：全部改为乘法 原式 负因数一共 2 个，结果为正，约分后结果 例 3 分数化简与四则混合计算 化简： 计算： 解：原式； 原式 六、分层课堂练习题 A 组（基础过关） 1. 2. 3. 4. 化简分数 B 组（乘除混合运算） 1. C 组（四则混合运算） 计算： 参考答案 A 组：9、-8、0、-7； B 组：； C 组： 七、易错警示专栏（避坑总结） 1、最常见错误：做除法取倒数时，把被除数颠倒，正确操作永远只改动除数； 错误：，正确：。 2、连除运算私自添加括号，改变原本的运算顺序，导致计算错误。 3、分数化简时分不清三处负号，符号判断出错。 4、混淆概念：误认为 0 可以除以 0，牢记 0 不能作除数。 5. 乘除混合还没全部转化成乘法就提前约分，出现约分错误。 八、课堂背诵小结 1、除法两条法则：同号得正异号负，绝对值相除；除变乘，除数取倒数。 2、分数符号三处变两处，数值大小保持不变。 3、乘除混合三步走：全部转乘法、数负号定正负、约分求结果。 4、混合运算口诀：括号最先算，先乘除后加减，同级从左往右算。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．计算（﹣1）÷（﹣5）的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C． D．﹣25 2．对于有理数x，y，若0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 3．如果a+b＜0，0，那么下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 4．下列说法： ①若|a|＝a，则a＝0； ②若a，b互为相反数，且ab≠0，则1； ③若a2＝b2，则a＝b； ④若a＜0，b＜0，则|ab﹣a|＝ab﹣a． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．把（）÷（）转化为乘法是（　　） A．（） B．（） C．（）×（） D．（）×（） 6．要使为整数，a只需为（　　） A．奇数 B．偶数 C．5的倍数 D．个位是5的数 7．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C． D．ab＜0 8．下列说法正确的有（　　）个． ①相反数是它本身的数是0； ②零除以任何一个数都为零； ③绝对值是它本身的数是正数； ④倒数等于本身的数有±1； ⑤几个有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负． A．2 B．3 C．4 D．5 9．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④1．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 10．某同学在计算﹣8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣12，则﹣8÷a的正确结果是（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 二．填空题（共5小题） 11．若2，6，则　 　 ． 12．已知|x|＝5，y2＝1，且0，则x﹣y＝　 　 ． 13．若a≠b，且a、b互为相反数，则　 　 ． 14．已知有理数a，b满足ab＜0，|a|＞|b|，2（a+b）＝|b﹣a|，则的值为 　 　 ． 15．定义运算a⊗b，则（﹣2）⊗（﹣3）＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．计算：（）×（）÷（﹣3）． 17．阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 18．已知x，y，z都为不为0的有理数，求的最大值和最小值． 19．已知a2＝4，|b|＝3． （1）已知0，求a+b的值； （2）|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：（﹣1）÷（﹣5）， ＝（﹣1）×（）， ． 故选：C． 2．【解答】解：∵0， ∴x，y异号． ∴xy＜0， ∴1， 当x＞0时，y＜0，则1，1， ∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1． 当x＜0时，y＞0，则1，1． ∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 故选：B． 3．【解答】解：∵0， ∴a和b同号． 又∵a+b＜0， ∴a＜0，且b＜0． 故选：B． 4．【解答】解：①若|a|＝a，则a＝0或a为正数，错误； ②若a，b互为相反数，且ab≠0，则1，正确； ③若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，错误； ④若a＜0，b＜0，所以ab﹣a＞0， 则|ab﹣a|＝ab﹣a，正确； 故选：B． 5．【解答】解：把（）÷（）转化为乘法是（）×（）， 故选：D． 6．【解答】解：∵为整数， ∴（a﹣5）2为4的倍数， ∴a﹣5是偶数， 则a可取任意奇数． 故选：A． 7．【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0，，ab＜0， ∴A、B、D的计算正确，故不符合题意， 选项C计算错误，故符合题意， 故选：C． 8．【解答】解：①相反数是它本身的数是0，该说法正确； ②零除以任何一个数不为0的数都为零，故该说法错误； ③绝对值是它本身的数除了正数还有0，故该说法错误； ④倒数等于本身的数有±1，故该说法正确； ⑤几个非0有理数相乘时负因数的个数为奇数个时积为负，故该说法错误． 则正确的只有2个． 故选：A． 9．【解答】解：根据图示，可得﹣3＜a＜0，b＞3， ∴（1）b﹣a＞0，故正确； （2）|a|＜|b|，故正确； （3）a+b＞0，故正确； （4）0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 10．【解答】解：∵计算﹣8÷a时，误将“÷”看成“+”而算得结果是﹣12， ∴﹣8+a＝﹣12， ∴a＝﹣4， ∴﹣8÷a＝﹣8÷（﹣4）＝2， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：∵2，6， ∴a＝2b，c， ∴12， 故答案为12． 12．【解答】解：∵|x|＝5，y2＝1， ∴x＝±5，y＝±1， ∵0， ∴x＝5时，y＝1， x＝﹣5时，y＝﹣1， 则x﹣y＝±4． 故答案为：±4． 13．【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴a＝﹣b． ∴． 故答案为：﹣1． 14．【解答】解：∵有理数a，b满足ab＜0， ∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0， ①当a＞0，b＜0时， ∵|a|＞|b|， ∴b﹣a＜0， ∵2（a+b）＝|b﹣a|， ∴2a+2b＝a﹣b， a＝﹣3b； ； ②当a＜0，b＞0时， ∵|a|＞|b|， ∴b﹣a＞0， ∵2（a+b）＝|b﹣a|， ∴2a+2b＝b﹣a， 3a＝﹣b， 此时不符合|a|＞|b|，舍去， 故答案为：． 15．【解答】解：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1＞0， 则原式＝（﹣2）×（﹣3）＝6． 故答案为：6． 三．解答题（共4小题） 16．【解答】解：原式 ． 17．【解答】解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（） ＝[（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式． 18．【解答】解：①当x，y，z中有三正， ＝1+1+1+1 ＝4； ②当x，y，z中有二负一正， ＝﹣1﹣1+1+1 ＝0； ③当x，y，z中有一负二正， ＝﹣1+1+1﹣1 ＝0； ④当x，y，z中有三负， ＝﹣1﹣1﹣1﹣1 ＝﹣4． 故的最大值是4，最小值是﹣4． 19．【解答】解：（1）∵a2＝4，|b|＝3， ∴a＝±2，b±3， ∵0， ∴①a＝2，b＝﹣3， ∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1； ②a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝（﹣2）+3＝1； 综上所述：a+b＝±1； （2）∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b＜0， ∴①a＝2，b＝﹣3， ∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5， ②a＝﹣2，b＝﹣3， ∴a﹣b＝（﹣2）﹣（﹣3）＝1， 综上所述：a﹣b＝1或5 学科网（北京）股份有限公司 $