2026年新高一初高衔接讲义4.2 指数函数人教A版必修一

4.2 指数函数 一、学习目标 1. 掌握指数函数定义与定点； 2. 分清a>1与0<a<1两种单调性； 3. 会利用单调性比较指数大小。 二、知识点精讲 1. 定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2. 核心性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3.指数函数的常用技巧 ①当底数大小不确定时，必须讨论“”和“”两种情况； ②指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 ③指数函数与的图象关于轴对称。 三、例题解析 例1.给出下列函数：；；；其中，指数函数的个数是  (    ) A. B. C. D. 解：中，的系数是，故不是指数函数；  中，的指数是，不是自变量，故不是指数函数；  中，的系数是，幂的指数是自变量，且只有一项，故是指数函数；  中，底数，故不是指数函数． 故选  例2.若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 解：由得， 当时，，  函数过定点  故选D． 例3.设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 解：， ， 故． 故选：． 例4.若函数，且是指数函数，则          ，          ． 【答案】  【解析】依题意解得 例5.已知是定义在上的奇函数，当时，． 求； 求的解析式； 若，，求区间． 解：是定义在上的奇函数，则， 当时，，则，解得， 所以， 则； 当时，，， 所以； 由于时，单调递增， 且，在上连续，且为奇函数， 可得时，单调递增， 所以在上递增， 由，可得或， 解得或， 即有， 所以．  【解析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 由题意可得，解方程可得，由代入法和奇函数的定义，计算可得所求和； 由奇函数的定义，计算时，的解析式，可得所求的解析式； 判断在上递增，由的解析式，结合指数不等式的解法，可得所求结果． 例6.已知函数是指数函数，且它的图象过点． 求函数的解析式； 求，，； 画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 解：设函数，且， 把点，代入可得，求得， ． 由以上可得，， ． 画出指数函数的图象， 函数在上单调递增； 由不等式， 可得，解得， 故不等式的解集为．  四、课堂练习 1.已知函数且，则(    ) A. B. C. D. 解：由题可知， 解得， 则． 故选：． 2.函数是指数函数，则实数的值是(    ) A. B. 或 C. D. 解：由题意得解得． 故选：． 3.函数的图象一定经过点  (    ) A. B. C. D. 解：令，得，又，所以的图象一定经过点 故选A． 4.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 解：因为，且定义域为， 所以， 即函数是奇函数． 又在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数． 故本题选A． 5.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 解：因为函数在上是增函数，且，故，即． 故选：． 6.已知函数，且的图象过点，． 求，的值； 求不等式的解集． 解：因为函数的图象过点，， 所以，解得 ； 由可得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 五、易错点总结 1. 忽略指数函数定义条件 只有形如y=ax（a>0且a≠1）的函数才是指数函数。容易出错：系数不为1、指数不是单独的x，都不属于标准指数函数，同时做题经常遗漏底数a＞0且a≠1的限制条件。 2. 混淆底数对应的单调性 底数a>1时，指数函数单调递增；底数0<a<1时，指数函数单调递减。解题比较大小、解不等式时，不分类讨论底数范围，极易搞反增减性和不等号方向。 3. 忘记指数函数恒正的值域性质 指数函数定义域为全体实数，值域始终大于0。做题时常出错：误以为函数值可以等于0或负数，换元解题时忽略指数式恒正的范围，导致取值范围出错。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数是指数函数，则(    ) A. B. C. D. 2.，则(    ) A. B. C. D. 3.若，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，且，，为常数的图象恒过点，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数且，则(    ) A. 函数为非奇非偶函数 B. 若，则 C. 若，则函数单调递增 D. 函数的图象过定点 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 6.函数的值域是          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知指数函数经过点． 求的解析式及的值； 若，求的取值范围． 8.已知函数为上的偶函数，且当时，． 在所给的网格坐标系中作出的图象 求的解析式 若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围． 1.解：函数是指数函数， ， 解得； ， ． 故选D． 2.解，． 故选B． 3.解：因为为减函数，故， 又在上为增函数， 故，即， 即． 故选C． 4.解：由题意得：恒成立， 则，解得：， 故， 故选：． 5.解：，且， ， 故是非奇非偶函数，故A正确； 当时，单调递减，，，故，故B错误； 若，故单调递增，故C正确； 根据指数函数的性质可知，函数的图象过定点，故D正确． 故选： 6.解：令 ， 所以， ， 即函数的值域为 7.解：因为经过点， 所以，所以， 所以 ， 所以； 因为，即， 又 在上为增函数， 所以， 的取值范围为：．  【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题 将点代入到，解得的值，即可求出解析式，由此可求出的值； 根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可． 8.解：的图象如图所示： 若，则， 因为为偶函数， 所以． 故 由图可知这三个整数解分别为，，， 因为，， 所以  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 一、学习目标 1. 掌握指数函数定义与定点； 2. 分清a>1与0<a<1两种单调性； 3. 会利用单调性比较指数大小。 二、知识点精讲 1. 定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2. 核心性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3.指数函数的常用技巧 ①当底数大小不确定时，必须讨论“”和“”两种情况； ②指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 ③指数函数与的图象关于轴对称。 三、例题解析 例1.给出下列函数：；；；其中，指数函数的个数是  (    ) A. B. C. D. 例2.若函数，且的图象恒过定点，则的坐标为(    ) A. B. C. D. 例3.设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 例4.若函数，且是指数函数，则          ，          ． 例5.已知是定义在上的奇函数，当时，． 求； 求的解析式； 若，，求区间． 例6.已知函数是指数函数，且它的图象过点． 求函数的解析式； 求，，； 画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 四、课堂练习 1.已知函数且，则(    ) A. B. C. D. 2.函数是指数函数，则实数的值是(    ) A. B. 或 C. D. 3.函数的图象一定经过点  (    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则(    ) A. 是奇函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是增函数 C. 是奇函数，且在上是减函数 D. 是偶函数，且在上是减函数 5.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，且的图象过点，． 求，的值； 求不等式的解集． 五、易错点总结 1. 忽略指数函数定义条件 只有形如y=ax（a>0且a≠1）的函数才是指数函数。容易出错：系数不为1、指数不是单独的x，都不属于标准指数函数，同时做题经常遗漏底数a＞0且a≠1的限制条件。 2. 混淆底数对应的单调性 底数a>1时，指数函数单调递增；底数0<a<1时，指数函数单调递减。解题比较大小、解不等式时，不分类讨论底数范围，极易搞反增减性和不等号方向。 3. 忘记指数函数恒正的值域性质 指数函数定义域为全体实数，值域始终大于0。做题时常出错：误以为函数值可以等于0或负数，换元解题时忽略指数式恒正的范围，导致取值范围出错。 六、课后作业 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数是指数函数，则(    ) A. B. C. D. 2.，则(    ) A. B. C. D. 3.若，，，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，且，，为常数的图象恒过点，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数且，则(    ) A. 函数为非奇非偶函数 B. 若，则 C. 若，则函数单调递增 D. 函数的图象过定点 三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 6.函数的值域是          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.已知指数函数经过点． 求的解析式及的值； 若，求的取值范围． 8.已知函数为上的偶函数，且当时，． 在所给的网格坐标系中作出的图象 求的解析式 若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $