2026年初高中数学衔接讲义-函数的零点与方程的解

初高中数学衔接-函数的零点与方程的解 解析版 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 一．函数零点所在区间的判定 例1.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】∵ ∴ ，，， ，，∴ 根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：. 选C. 例2.函数f(x)=2-x1的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 【详解】f(1)=11=<0，f(2)=1=1.25>0， 所以函数f(x)=2-x1的零点所在的区间是(1，2). 选B 例3.函数f(x)=ln x的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1，2) C.(2，e) D.(2，3) 【详解】f(1)=1<0，f(2)=ln 2>0，所以f(1)f(2)<0， 根据函数零点存在定理可得函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间为(1，2).选B 例4.设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【详解】在定义域上递增，又，， 所以在内存在零点，结合题设知：.选C 例5.方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，易知在定义域内是增函数， 又，， 所以的零点在上，即方程的根属于．选B． 二.函数零点个数的判定 例6.函数的零点个数为___． 【详解】当x≤0时，， ∵，故此时零点为； 当x＞0时，在上单调递增， 当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点； 综上，函数y在R上共有2个零点. 故答案为：2. 例7.函数f(x)=的零点个数为___． 【详解】　当x≤0时，x21=0，解得x=1； 当x>0时，f(x)=x2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=12+ln 1=1<0， f(2)=22+ln 2=ln 2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.故答案为：2. 例8.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 024的所有零点之和为　　　　　　.  【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示， 根据图象可知y=f(x)-2 024共有2个零点，且2个零点关于直线x=1对称， 所以零点之和为2 例9.已知函数，则方程的解的个数是______ 【详解】令，得， 则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数． 作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， 故方程的解的个数为2个．故答案为：2. 例10.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[1，1]时，f(x)=1x2，已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为____ 【详解】因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数， 因为当x∈[1，1]时，f(x)=1x2，则y=f(x)，y=g(x)=的图象如图， 当x≤0时，g(x)∈(0，1]且单调递增，当0<x<1时，g(x)∈(0，+∞)且单调递减， 当x>1时，g(x)∈(0，+∞)且单调递增， 又f(6)=f(0)=1>g(6)，f(1)=g(1)=0，f(6)=f(0)=1>g(6)，f(0)=g(0)=1， 函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[6，6]内的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)的图象在[6，6]内的交点个数，由图知，函数h(x)在区间[6，6]内的零点共有13个, 故答案为：13 例11(多选题).已知函数f(x)=令h(x)=f(x)k，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞) B.当h(x)有3个零点时，k∈(4，3] C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为-1 D.当k∈(∞，4)时，h(x)有1个零点 答案　BD 【详解】　函数f(x)= 结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1，0)和(0，+∞)，A选项错误； h(x)的零点即函数y=f(x)的图象和直线y=k交点的横坐标，由图象可知， 当h(x)有3个零点时，k∈(4，3]，B选项正确； 解方程可知，当k=2时，h(x)有两个零点，1和1，所有零点之和为，C选项错误； 当k∈(∞，4)时，函数y=f(x)的图象和直线y=k有1个交点，即h(x)有1个零点， D选项正确. 学科网（北京）股份有限公司 $ 初高中数学衔接-函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 一．函数零点所在区间的判定 例1.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 例2.函数f(x)=2-x1的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 例3.函数f(x)=ln x的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1，2) C.(2，e) D.(2，3) 例4.设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 例5.方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 二.函数零点个数的判定 例6.函数的零点个数为___． 例7.函数f(x)=的零点个数为___． 例8.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 024的所有零点之和为　　　　　　.  例9.已知函数，则方程的解的个数是______ 例10.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[1，1]时，f(x)=1x2，已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为____ 例11(多选题).已知函数f(x)=令h(x)=f(x)k，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞) B.当h(x)有3个零点时，k∈(4，3] C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为-1 D.当k∈(∞，4)时，h(x)有1个零点 学科网（北京）股份有限公司 $