精品解析：陕西西安市西电中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

西电中学2025_2026学年第二学期期末考试题 高二数学 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式 【详解】因为，， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题，，则可得为，. 4. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（ ） A. 24 B. 36 C. 96 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】相邻元素用捆绑法解题即可. 【详解】三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其他三个节目进行排列， 共有种不同排法. 5. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，所以最小值为3，故A错误； 对于B，因为函数定义域为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为4，故B正确； 对于C，因为，， 当且仅当，即时等号成立，所以等号取不到，故C错误； 对于D，的定义域为，所以， 当时，，故D错误. 6. 当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 7. 若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线：，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 8. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，展开式的常数项为，A正确； 对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误； 对于C，所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确. 11. 如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正切值为3 D. 平面截正方体的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，检验是否为0即可判断选项；检验与是否存在数量关系即可判断选项；先求出与平面的法向量夹角余弦的绝对值，再利用同角三角函数关系即可判断选项；先取靠近点的四等分点，找到平面即为截面，即可判断选项. 【详解】选项A，以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，，， 所以，，则，所以，故A正确； 选项B，因为，，所以，所以不平行，故B错误； 选项C，因为正方体，所以平面， 因为平面，所以，因为，， ，平面，所以平面，即是平面的一个法向量， 又，，设直线与平面所成角为， 则． 所以，所以，所以C正确； 选项D，取靠近点的四等分点，易证,，，，四点共面， 所以平面即为平面截正方体的截面， 所以截面周长为， 因此选项D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得 13. 函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再赋值计算得出，最后得出函数值. 【详解】函数， 所以，令，则， 所以， 则． 14. 若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 四、解答题（共5小题，共77分.） 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 16. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，. 所以. 所以 . 17. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【小问1详解】 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； （3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （2）依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关； （3） 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件填写表格即可. （2）根据（1）问完成的列联表计算的值，然后依据临界值表判断即可. （3）先求出的取值，然后确定的分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 零假设喜欢《最强大脑》与性别无关. . 故有充分的证据认为不成立，即依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关. 【小问3详解】 由题意，可取. , , ， 的分布列如下： 0 1 2 . 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西电中学2025_2026学年第二学期期末考试题 高二数学 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（ ） A. 24 B. 36 C. 96 D. 144 5. 下列函数中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 6. 当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 8. 若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为1120 B. 第4项二项式系数最大 C. 所有项的二项式系数和为 D. 所有项的系数和为 11. 如图，已知棱长为2的正方体，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正切值为3 D. 平面截正方体的截面周长为 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 13. 函数，则______． 14. 若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 四、解答题（共5小题，共77分.） 15. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角； （2）若，求边长和的面积. 16. 在数列中，． （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 17. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； （3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $