精品解析：山西省运城市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末 高二数学试题 2026.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知展开式中的系数为，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 在单调递增 C. 的值域为 D. 有两个零点 10. 已知随机变量，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 事件“”与事件“”相互独立 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种. 14. 给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，. （1）根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程； （2）据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 17. 已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且. （1）求，并用表示； （2）证明是增函数； （3）对，，恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数（且，），且函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数图象与图象有3个交点，求实数a的取值范围. 19. 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分.负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是p（），各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，求甲队最终获胜的概率； （2）若两队共进行局比赛，.当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了k（，1，2，…，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜概率记为，已知.证明：单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末 高二数学试题 2026.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由解得. 因为，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 已知展开式中的系数为，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】对于，根据二项式展开式的通项公式得， 令的次数为，即，解得. 将代入得的系数， 由题意知，故实数的值为. 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义域、值域及对称性判断. 【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，. A选项正确. 5. 若，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定方法逐一判断各选项即得. 【详解】因，故A显然不合要求； 对于B，若取，显然满足，但得不出， 即不是的充分条件，不合题意； 对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意； 对于D，，故可得，即是的充分条件； 同时，因，若取满足，但得不出， 即不是的必要条件，故D正确. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 7. 已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得出是偶函数，通过且在的表达式确定在有且仅有个不同的零点即可求解. 【详解】已知函数，， 则，因此是偶函数，图象关于轴对称， 若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点， 所以，即， 当时，，则，， 所以， 由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得， 因此实数的取值范围是. 8. 已知函数定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，先分析函数和函数的基本性质，再结合函数的对称性、周期性求解可得. 【详解】已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线， 因为为奇函数，所以，则函数的图象关于点对称. 因为函数，且为偶函数，则， 所以函数的图象关于直线对称，即. 由，且，可得，， 则对任意成立，即，所以是奇函数. 由函数的图象关于点对称，且为奇函数， 可得， 用代替x，则，所以函数的一个周期为4. 因为是奇函数，其图象是一条连续不断的曲线，所以， 由，且， 令，可得， 令代入得，所以. 因为函数的周期为4，所以，，，. 由，可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 可以发现： ，， 依次类推：每4项为一个周期，每个周期的和为，40项中共有10个周期， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 在单调递增 C. 的值域为 D. 有两个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 10. 已知随机变量，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 事件“”与事件“”相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，结合方差的性质、条件概率及独立性的定义依次分析判断各选项即可. 【详解】已知随机变量，则正态分布的均值，正态曲线关于对称，方差，逐个分析选项： 选项A：根据方差性质，因此，故A正确； 选项B：由对称性得，可得， 又，由对称性得，B正确； 选项C：. 由对称性. 因此，C不正确. 选项D：记事件，即，事件， 则，概率， ， ，则，故相互独立，D正确. 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】由可得，又， 则. 13. 在平面直角坐标系中，一个质点从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动一个单位长度，4次移动后质点落在圆内，不同的移动方法共有______种. 【答案】132 【解析】 【分析】先确定4次移动后满足落在圆内的所有整数坐标点，再分别计算每个点对应的移动路径数，求和得到总方法. 【详解】因为质点每次移动一个单位，4次移动后横纵坐标均为整数，可得到横纵坐标同奇偶，原点， 满足，另外四个点分别为，，，，均满足， 情况1：到原点的路径数，分三类情况， ①仅上下移动：向上两步，向下两步，排列数为， ②仅左右移动：向左两步，向右两步，排列数， ③上下左右各1步：四个不同方向各走一步，全排列数为， 总路径数：， 情况2：到点的路径数，即向右比向左多一步，向上比向下多一步，总步数为4，分两类情况， ①抵消步为上下方向，向右一步，向上两步，向下一步，排列数为， ②抵消步为左右方向，向右两步，向左一步，向上一步，排列数为， 所以到的总路径数为，同理到，，三个点的路径数也均为24， 所以四个点总路径数为，所以所有符合条件的移动方法总数为：. 14. 给定正整数n，数集满足对于任意的，都存在使得.若，，且，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. 【详解】当 时，取 ，则，命题成立； 当 或 时，命题也显然成立； 由题意，对 ，应有 故或或， 解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据集合交集求解即可. （2）根据得到，再列式求解即可. 【小问1详解】 ， 不等式，可化为， 所以，即， 所以， 当时，， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴. 由（1），. 因为集合非空，∴，解得， ∴实数a的取值范围是. 16. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集到一只蝗虫的产卵数y（单位：个）和温度x（单位：℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，. （1）根据残差图，选择哪个模型的拟合效果更好？说明理由.根据所选的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程； （2）据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.若该地每年平均温度达到30℃以上的概率为，设该地今后5年需要人工防治的年数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）①拟合效果更好.理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好. （2）， 【解析】 【小问1详解】 ①拟合效果更好. 理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好. 令，则，， 所以， 因此z关于x的线性回归方程为， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为. 【小问2详解】 每年需要人工防治的概率为，且. 所以，. 17. 已知定义在上的函数满足以下条件：①；②当时；③，均有，且. （1）求，并用表示； （2）证明是增函数； （3）对，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2），且，则， 因为，所以，所以， 因为当时，，则，所以，所以 又因为时，，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，对③式，令，即可求出；对③式，令即可得到关于的表达式； （2）根据题意，利用函数单调性的定义，对于任意，当时，证明即可； （3）根据题意，得到恒成立，令，由单调递增即可求解. 【小问1详解】 对③式，令，，则，由于，解得， 对③式，令，则， 又因为，即，所以. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）知，是单调递增函数，所以最大值为， 所以对任意，恒成立，即， 令，由于在上单调递增，故需满足最小值， 设，其在上单调递增且，故由，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数（且，），且函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）设，证明：曲线为中心对称图形，并求的值； （3）若函数图象与图象有3个交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2），， 可知关于对称，即曲线为中心对称图形. . （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质取特殊值求参数，舍去不合题意的值并回代验证； （2）利用对称中心配凑证明中心对称，按首尾配对求和； （3）方程有三个交点等价于换元后关于的方程有两个合适区间的根，由根的分布确定参数范围. 【小问1详解】 ∵为奇函数，∴，恒成立. 取得，解得（舍去）或， 当时，是奇函数，∴. 【小问2详解】 ，， ∴关于对称，即曲线为中心对称图形. ∴. ， 所以. 【小问3详解】 已知函数图象与图象有3个交点， 即有三个实根，即有三个实根， 令，则原方程等价于关于的二次方程， 因为，可知方程有两个根， 又因为，可知方程的两根一正一负，不妨设. 令，，则​， 令，解得；令，解得； 可知在 单调递增，在单调递减，则， 当趋近于，趋近于0；当趋近于0，趋近于； 若或，方程有且仅有1个不同的解； 若​，方程有且仅有2个不同的解； 若​，方程无实数解； 因为有三个实根，且方程有且仅有1个不同的解， 可知有且仅有2个不同的解，则， 因为，分离参数得， 记，可知在 上单调递减， 要使得，只需，即， 且，可得， 所以的取值范围为 . 19. 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分.负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是p（），各局比赛之间的结果互不影响. （1）当时，若两队共进行3局比赛，求甲队最终获胜的概率； （2）若两队共进行局比赛，.当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了k（，1，2，…，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值； （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜概率记为，已知.证明：单调递减. 【答案】（1） （2）， （3）由全概率公式得 ∴， 当时，， ， ∵，∴ ∴单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率即可. （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求； （3）由全概率公式得，再根据作商、基本不等式得，即可得结论. 【小问1详解】 甲队最终获胜记为事件M，甲队得分为3分的概率为. 甲队得分为2分的概率为， . 【小问2详解】 由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢k局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故； 对于对应，即，又， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $