精品解析：山西省运城市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题

运城市2024-2025学年第二学期期末调研测试 高二数学试题 2025.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求得即可得解. 【详解】，. 故选：C. 2. 随机变量.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解. 【详解】因为，且， 则， 所以. 故选：D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再结合，时函数值的情况判断即可. 【详解】由，定义域为， 而，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误； 当时，，，则，故BC错误， 当时，，，则，D符合题意. 故选：D. 4. 设函数，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入求值即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 5. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 展开式的通项公式，， 所以的展开式中含的项为. 故选：C. 6. 已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得函数在上单调递增，函数关于直线对称，进而作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】因为对任意，，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 又偶函数，则函数关于直线对称， 则函数在上单调递减，结合， 画出函数的大致图象： 由图象可知，时，；时，；时，， 所以的解集是. 故选：A. 7. 命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性及基本不等式求出命题p，q，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】命题p：幂函数在上单调递减， 则，即； 命题q：当时，恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，则. 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8. 【答案】B 【解析】 【分析】设，作出，的图象，利用数形结合可得的解的个数，再结合函数图象即可求解. 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，举反例即可；对于BD，由作差法即可判断. 【详解】对于A，，此时无意义， 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BD. 10. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如下表： x 20 23 25 27 30 y 7.39 11.02 20.09 2009 99.48 z 2 24 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. 模型中 C. 计算得，则在温度时，产卵量y的残差为44.89 D. 当时，蝗虫的产卵量y大约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求得，，再结合相关概念逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，由表格数据知：，， 因为数对满足，得，故A正确； 对于B，，即，∴，∴，故B错误； 对于C，在温度时，，残差为，故C正确； 对于D，当时，蝗虫的产卵量y大约为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是以4周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题目条件可得，C正确；根据的周期性可得D错误；根据可得A错误；结合的对称性及奇偶性可得B正确. 【详解】对于C，由得， 因为为奇函数，所以，故， ①＋②，得， 所以的图象关于点对称，且，故C正确； 对于D， 因为是偶函数，所以， 所以，故， 所以的周期为4， 在中，令，得， 所以， 结合的周期性得，，， 所以，故D错误； 对于A，①－②，得， 所以 ， 所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误； 对于B，由得， 因为是奇函数，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故B正确. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 13. 若函数是偶函数，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数是偶函数，可得， 即， 可得，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，，，若存在实数，对任意的实数，使得成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求得在时的值域为，所以原问题转换为对任意的实数，恒成立，分离参数即可求解. 【详解】设在时的值域为，，在时的值域为， 由题意总是满足， 显然在上单调递增，， 所以，又， 所以对任意的实数，恒成立， 而显然当时，有， 故只需考虑当时，恒成立， 显然当时，满足， 所以当时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以时，恒成立， 所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以时，， 时，，等号成立当且仅当，而， 所以时，， 故所求为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 【答案】（1） （2）①，不等式成立；② 【解析】 【分析】（1）将问题转换为，即可. （2）①由命题的否定的定义即可得解；②将问题转换为，即可. 【小问1详解】 若p为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于函数在区间上单调递增， 所以时，，则. 【小问2详解】 ①q的否定为：，不等式成立 ②若q为假命题，则“，不等式成立”为真命题， 那么对于，即可. 由于，， ∴，解得 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活.在教育领域，AI的赋能潜力巨大.目前，比较常用的PPT生成工具有：夸克，豆包，kimi，迅捷PPT.某校为丰富老师的教学，组织成立四个项目小组分别研究这四大工具的使用优点和缺点，学校计划采取自愿报名的形式录取各项目组成员，由于报名人数超过项目组计划数，将从报名的老师中采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个组的计划人数和报名人数. 项目组 夸克 豆包 kimi 迅捷PPT 计划人数 50 60 80 160 报名人数 a 120 160 200 张老师报名参加这四个组，记为他最终被录取的项目组个数，已知张老师至少获得一个项目组录用的概率为，获得4个项目组录用的概率为. （1）求； （2）求a的值及张老师最终被录取的项目组个数的数学期望. 【答案】（1） （2），2.3 【解析】 【分析】（1）思路一：首先求得，然后由即可求解；思路二：直接由即可求解； （2）思路一：求得，的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率即可得分布列、期望；思路二：由二项分布的期望性质以及期望的可加性即可求解. 【小问1详解】 解法1：由于事件“张老师至少获得一个项目组录用”与事件“”是对立的， 所以张老师没有获得项目组录用的概率是 ； 解法2：依题意知，； ∴； 【小问2详解】 解法1：设张老师被夸克，豆包，kimi，迅捷PPT各项目组录用依次记作事件A，B，C，D.由题意可知，； 又，解得， 的所有可能取值为0，1，2，3，4； 则 ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 P . 解法2：设张老师被夸克，豆包，kimi，迅捷PPT各项目组录用依次记作事件A，B，C，D.由题意可知， ； 又，解得， 设张老师报名夸克，豆包，kimi这3个项目组，最终被录取的项目组个数X，由于其被录取的概率均为，所以X服从二项分布，故； 张老师被迅捷PPT项目组录取的概率为，最终被迅捷PPT项目组录取的数为Y，则Y也服从二项分布，， 从而， 故. 17. 定义在R上的奇函数有最小正周期为4，且满足，当时，. （1）求在上的解析式； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质得时，，，再结合函数周期性即可求解； （2）画出函数和直线在上的图象，要保证两函数图象有交点即可求得对应的的值. 【小问1详解】 当时，，则， 因为为奇函数，则； 因为为R上的奇函数，则， 由己知得， 则， 又因为函数有最小正周期4 所以； 【小问2详解】 设，，且， 则， 因，则，， 则，即，则在上单调递增， 则； 利用奇函数性质可得，在上也单调递增，且， 画出图象如图所示， 由图象可知， 或或时，与的图象有交点， 即方程在上有解，故. 18. 2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立进健康生活方式，实现长期体重管理.结合健康中国建设工作实际和健康中国行动推进情况，决定将健康体重管理行动、健康乡村建设行动和中医药健康促进行动纳入健康中国行动，助力公众摆脱肥胖困扰，迈向健康生活.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，取随机变量，求的值； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，，.求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据分层随机抽样可知年龄在，内的人数分别为1，2，分析可得的所有可能情况为，；，；，，进而求解即可； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【小问1详解】 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能情况为，；，；，， ；；； 所以. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件D，则，，， ，，， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 19. 经研究，函数为奇函数充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）求函数的对称中心及的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）对称中心为， 【解析】 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【小问1详解】 令，易知其定义域为R，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 令，则， 易知的定义域为R，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数图象的对称中心为. 【小问3详解】 设的对称中心为， 由已知得满足， 即 ，则， 整理得：， 所以：，解得：，， 即的对称中心为， 所以， 得：， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 运城市2024-2025学年第二学期期末调研测试 高二数学试题 2025.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 随机变量.若，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 4. 设函数，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. 0 D. 2 6. 已知函数定义域是R，且是偶函数，对任意，，且，都有成立，且，则的解集是（ ） A. B. C D. 7. 命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如下表： x 20 23 25 27 30 y 7.39 11.02 20.09 20.09 99.48 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. B. 模型中 C. 计算得，则在温度时，产卵量y的残差为44.89 D. 当时，蝗虫的产卵量y大约为 11. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是以4周期的周期函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 13. 若函数是偶函数，则______. 14. 已知函数，，，若存在实数，对任意实数，使得成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）①写出命题q的否定； ②若命题q为假命题，求实数x的取值范围. 16. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活.在教育领域，AI的赋能潜力巨大.目前，比较常用的PPT生成工具有：夸克，豆包，kimi，迅捷PPT.某校为丰富老师的教学，组织成立四个项目小组分别研究这四大工具的使用优点和缺点，学校计划采取自愿报名的形式录取各项目组成员，由于报名人数超过项目组计划数，将从报名的老师中采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个组的计划人数和报名人数. 项目组 夸克 豆包 kimi 迅捷PPT 计划人数 50 60 80 160 报名人数 a 120 160 200 张老师报名参加这四个组，记为他最终被录取的项目组个数，已知张老师至少获得一个项目组录用的概率为，获得4个项目组录用的概率为. （1）求； （2）求a的值及张老师最终被录取的项目组个数的数学期望. 17. 定义在R上的奇函数有最小正周期为4，且满足，当时，. （1）求在上的解析式； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围. 18. 2025年被称为中国“体重管理年”，国家卫生健康委员会联合多部门发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，旨在通过政策引导、科学宣教和社区支持，帮助民众树立进健康生活方式，实现长期体重管理.结合健康中国建设工作实际和健康中国行动推进情况，决定将健康体重管理行动、健康乡村建设行动和中医药健康促进行动纳入健康中国行动，助力公众摆脱肥胖困扰，迈向健康生活.为了解居民体育锻炼情况，某区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为X，Y，取随机变量，求的值； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，，.求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. （1）已知函数，且，求的值； （2）证明：函数图象的对称中心为； （3）求函数对称中心及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $