重庆市沙坪坝区南开中学2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 以AI大模型、火星车材料等科技前沿为情境，覆盖七年级下册核心知识，通过基础-能力-创新三级设问，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称、整式运算、三角形|AI标识考轴对称，软木塞浮沉考必然事件，体现数学眼光| |填空题|10/30|科学记数法、概率、等腰三角形|晶体管长度（科学记数法）、纳米气凝胶导热率（函数），关联科技| |计算题|2/28|实数运算、整式化简|含负指数幂、平方差公式，夯实运算能力| |解答题|6/56|全等证明、统计、动点问题|八边形动点面积（动态几何）、乘法公式几何验证（数形结合），综合考查推理与模型意识|

重庆市沙坪坝区南开中学2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑。 1.国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.下列事件中，属于必然事件的是(    ) A. 买一张彩票中大奖 B. 云层又黑又低时会下雨 C. 软木塞浮在水面上 D. 有人把石头孵成了小鸡 5.世纪花园居民小区收取电费的标准是元千瓦时，当用电量为单位：千瓦时时，收取电费为单位：元在这个问题中，下列说法中正确的是(    ) A. 是自变量，元千瓦时是因变量 B. 元千瓦时是自变量，是因变量 C. 是自变量，是因变量 D. 是自变量，是因变量，元千瓦时是常量 6.如图，小明站在堤岸的点处，正对他的点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆旁，接着再往前走相同的距离，到达点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于点．那么，两点间的距离就是在点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明≌的依据的是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为(    ) A. B. C. D. 8.晓蕾家与学校相距米，她从家出发匀速行走，分钟后到达食品店，买零食用了分钟，接着她加快步伐匀速行走，用分钟便到了学校下列图象中表示晓蕾行走的路程米与时间分钟之间的关系的是(    ) A. B. C. D. 9.下列说法中，正确的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的三条高交于一点 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 10.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，，依此规律，第个图形圆的个数为(    ) A. B. C. D. 11.在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若且，则边的长度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将正确答案直接填写在答题卡相应的横线上。 12.已知，，其中为常数下列结论正确的个数为(    ) 若是完全平方式，则； 若是的一个解，则； 若，则； 当取最小值时，则的取值范围是． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13.随着世界科技的不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有米的晶体管，该数用科学记数法表示为      米 14.我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表： 温度 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______ 15.如图，是由个完全相同的小正方形地块组成的五彩花园，一只蜜蜂自由飞翔，则它落在花园中阴影部分的概率是      ． 16.代数式的最小值为        ． 17.等腰中，已知一角等于，求三角形的底角为      ． 18.两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的度数为      ． 19.如图，在中，点为中点，连接点为上一点，连接交于若，，则      ． 20.如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若：：，则的度数为      ． 21.一个各位上的数字均不为的四位正整数，若千位上的数字与十位上的数字之比，等于百位上的数字与个位上的数字之比，且比值为正整数，则称这个四位数为“相似数”，比值称为这个四位数的“相似比”例如，因为，比值为正整数，所以为“相似数”，“相似比”为已知，都是“相似数”，其中的个位数为，的个位数为，且的相似比为，若能被整除，求出所有满足条件的和一共有        组 22.如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；；其中正确的是      填序号． 三、计算题：（本大题共2个小题，共28分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 23.（20分）计算： ； ； ； ． 24.（8分）化简求值：，其中，． 四、解答题（本大题共6个小题，28-30题每题8分，31-32题每题10分，33题12分，共56分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25.如图，在中，． 尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，连接保留作图痕迹，不写作法，不用下结论 在的条件下，若平分，求证：． 证明：为的垂直平分线，， 又，， 又平分，______， 在与中： ≌______ ______． 又为的垂直平分线， ______． ． 26.我市义务教育学校全面施行优化课间时长，上午、下午各安排一次分钟的大课间体育活动某学校编制课间分快乐菜单可供班级选择：踢足球，踢毽子，跳绳，丢沙包，跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查每名学生只能从中选择一种最喜欢的，并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： 本次参与抽样调查的学生共有______人； 补全条形统计图； 在最喜欢“跳绳”的学生中，有五位同学“表现优秀”，现从最喜欢“跳绳”的学生中选出一名同学参加上级的跳绳比赛，被选取的一人恰好是“表现优秀”的概率是______． 该校共有名学生，请估计选择“踢毽子”的学生有多少人？ 27.已知：如图，，，，若，，． 证明：≌； 求与的周长的和． 28.如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动的面积为，运动时间为秒，与的图象如图所示，请回答以下问题： ______，______，______； 当点第一次在边上运动时，求与的关系式； 点在返回过程中，面积为时，直接写出时间的值． 29.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的统一性材料：如图，现有若干张种不同型号的卡片：边长为，正方形卡片，长为，宽为的长方形卡片； 材料：用材料中的卡片拼成图卡片间不重叠无缝隙，可以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”：． 验证如下： ，而， ． 写出图中所验证的等式：______； 请利用材料中的卡片，设计一个几何图形来计算，并写出计算过程； 用中的等式解决下面问题：如图，已知正方形的边长为，、分别为、上的点，已知，，长方形的面积为，分别以、为边作正方形，求阴影部分面积． 30.如图，已知，分别以，为边作，，使得，，，连接，取的中点，连接． 若，，，则的面积为______； 请写出与的关系，并说明理由； 如图，已知锐角，分别以，，为边向外作，，，它们均为等边三角形，连接，，点为内的一动点，连接，，，，，，当的值最小时，请直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，故本项不符合题意； B、不能合并，故本项不符合题意； C、，故本项不符合题意； D、，故本项符合题意； 故选：． 依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则以及乘法公式逐项进行判断． 本题考查同底数幂的乘法、积的乘方及平方差公式，解题的关键是记清每种运算的法则并会应用． 3.【答案】  【解析】解：根据三角形三边关系逐项分析判断如下： A、，，， ， ，，的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、，，， ， ，，的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、，，， ， ，，的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、，，， ， ，，的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形． 故选：． 若两条较短木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，则三根木棒可摆成三角形；否则不能摆成三角形，据此分析各项即得． 本题主要考查三角形的三边关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、买一张彩票中大奖是随机事件，故本选项不符合题意； B、云层又黑又低时会下雨是随机事件，故本选项不符合题意； C、软木塞浮在水面上是必然事件，故本选项符合题意； D、有人把石头孵成了小鸡是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：． 根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可． 此题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键． 5.【答案】  【解析】解：在这个问题中，是自变量，是因变量，元千瓦时是常数． 故选：． 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 本题考查了常量和变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，数值始终不变的量称为常量． 6.【答案】  【解析】解：在与中， ， ≌； 或， ． 在与中， ， ≌； 综上所述，作为证明≌的依据的是或． 故选：． 根据全等三角形的判定定理进行解答． 本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、． 7.【答案】  【解析】解：，是偶数， 将，代入， 原式， 故选：． 根据是偶数，将和的值代入相应的代数式求值即可． 本题考查代数式求值，理解题意，通过的值确定代数式是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：随着时间的变化，她离家的距离将接近米，排除； 由于她到食品店买零食用了分钟，在这段时间内，离家的路程将不会增加，排除； 接着她加快步伐，说明以后的函数图象将比以前匀速前进的时候的图象要陡，排除． 故选：． 根据题意，随着时间的变化，她离家的距离将接近米，由于她到食品店买零食用了分钟，在这段时间内，离家的路程将不会增加，接着她加快步伐，说明以后的函数图象将比以前匀速前进的时候的图象要陡，由此即可求出答案． 本题考查了函数的图象，解答时应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解． 9.【答案】  【解析】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B.三角形的三条高不一定交于一点，故本选项错误，不符合题意； C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意； D.角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故本选项正确，符合题意． 故选：． 根据三角形的角平分线和高，平行线的判定，对顶角的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的角平分线，中线和高，点到直线的距离，对顶角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由图可知，  第个图形中小圆的个数是：，  第个图形中小圆的个数是：，  第个图形中小圆的个数是：，  第个图形中小圆的个数是：，  ，  则第个图形中小圆的个数是：，  故选：． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小圆的个数，从而可以发现小圆个数的变化规律，从而可以求得第个图形圆的个数． 本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 11.【答案】  【解析】解：过点作于点， ， ， 由折叠得，，， 又，， ， ， ， ， 又， ， ， ，，≌， ， ， ， 故选：． 过点作，根据直角三角形两锐角互余可得出三角形是等腰三角形，进而得出，由，得出，再根据，利用全等三角形的性质可得，，从而可求． 本题考查折叠的性质，等腰三角形，全等三角形，掌握折叠轴对称的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：结论： 若是完全平方式，则 完全平方式的形式为，对于，一次项系数为，则，得，常数项应为，即，解得， 故正确； 结论： 先计算：若是的解， 把代入，得到，两边除以整理得，两边平方整理得， 故错误； 结论： 若，则 由，得或． 当时，， 当时，， 故错误； 结论： 先计算：则， 要使绝对值和最小，需最小，根据绝对值几何意义， 当时，取得最小值，此时原式最小值为， 故正确； 所以正确的有， 故选：． 结论：根据完全平方式的结构，一次项系数一半的平方等于常数项，由此得到，解得． 结论：先计算，代入得到关于的方程，变形后用完全平方公式推导，发现无法得到目标等式． 结论：由乘积为可知两个因子至少一个为，分别代入计算平方和，结果不等于． 结论：先化简，将原式转化为含的绝对值和，根据绝对值的几何意义，找到和取最小值时的范围． 本题考查完全平方式的性质、代数式求值、绝对值的性质及不等式求解，解决本题的关键是掌握相关知识，逐一分析每个结论的正确性． 13.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 14.【答案】  【解析】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案． 本题考查变量之间的关系，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 15.【答案】  【解析】解：花园被等分成份，其中阴影占份， 蜜蜂落在花园中阴影部分的概率是； 故答案为：． 首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蜜蜂落在阴影部分的概率． 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 16.【答案】  【解析】解：由题意，， ， ，最小值为． 故答案为：． 依据题意，由，结合，从而，进而可以得解． 本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 17.【答案】或  【解析】解：是底角，则底角为：； 是顶角，则底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析． 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 18.【答案】  【解析】解：，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 利用三角形内角和和平行线的性质计算即可． 本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 19.【答案】  【解析】解：如图，连接． 设， ， ，， 点为中点， ， ，即， ， ． 故答案为：． 连接，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用表示出来，求出，从而求出三角形的面积即可． 本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：：：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 根据：：，设，则，根据，和三角形内角和定理列式计算可得，然后证明≌，可得，再根据三角形的外角定义可得，进而可得的度数． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的外角定义得． 21.【答案】  【解析】解：的个位数为， 的百位数只能为， 的相似比为， 设， 的个位数为，且的相似比为， 可设， ， ， 能被整除， ，， ， 或， 满足条件的结果有、、、， 满足条件的、有： ，，或，，或，，或，． 综上所述，所有满足条件的和一共有组． 故答案为：． 根据题意将和用含有一个字母的式子表示出来，然后求出能被整除的和即可． 本题主要考查新定义的概念“相似数”，关键是要理解相似数的含义，并能根据定义写出和的式子． 22.【答案】  【解析】解：如图，设， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ≌， ，， 又， ， ，故符合题意； 连接， ， ，， ， ， 又， ， ，故符合题意； 过作交于，截取，而， ，为等边三角形， ，， ，， 又，两角相等，两边相等． ， ， ， ， ≌， ，， ， ，故符合题意； 作，连接， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故不符合题意； 故答案为：． 设，证明≌，可得符合题意； 连接，求解，证明，可得符合题意； 过作交于，截取，而，证明≌，可得符合题意； 作，连接，证明≌，可得，，再证明，可得不符合题意； 从而可得答案． 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23.【答案】        【解析】解：原式 ； ； ； ． 先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再相加减即可求解； 先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可求解； 根据平方差公式计算； 根据平方差公式计算． 本题考查了整式的混合运算和实数的运算，解题的关键是根据运算法则和公式法来计算． 24.【答案】；．  【解析】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 利用平方差及完全平方公式将括号内的式子展开并计算，接着算除法，最后将已知数值代入计算即可． 本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 25.【答案】作图见解答；   ，，，．  【解析】解：如图，为所作； 证明：为的垂直平分线， ， 又， ， 又平分， ， 在与中， ， ≌ ． 又为的垂直平分线， ． ． 故答案为：，，，． 利用基本作图作的垂直平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据角平分线的性质得到，接着证明≌，所以从而得到． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和含度角的直角三角形三边的关系． 26.【答案】      【解析】解：本次参与抽样调查的学生总数为人； 故答案为：； 组人数为人， 补全条形统计图为： 从最喜欢“跳绳”的学生中选出一名同学参加上级的跳绳比赛，被选取的一人恰好是“表现优秀”的概率； 故答案为：； 人， 估计选择“踢毽子”的学生有人． 用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； 先计算出组人数，然后补全条形统计图； 直接利用概率公式求解； 用乘以样本中组人数所占的百分比即可． 本题考查了列表法与树状图法：熟练掌握概率公式是解决问题的关键．也考查了用样本估计总体、扇形统计图和条形统计图． 27.【答案】， ， ， 在和中， ， ≌    【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ≌； 解：由得≌， ，， 则与的周长的和 ． 先结合角的和差关系得出，再证明≌，即可作答． 根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 28.【答案】    的值为或时，面积为  【解析】解：观察图象可知：面积的最大值为， 根据图可知，面积的最大值为：， ， ， 负值舍去； 延长交于点，延长交于点，如图所示： 八边形相邻的两边互相垂直， 四边形，，为长方形， ， 根据图可知，当点在上运动时，的面积为， ，即，解得：， ， ， 当运动到点印时调头，以原来的速度原路返回， 根据图可知：点从点运动时间为：， ； 故答案为：，，； 点第一次在边上运动时，如图所示： ， ； 根据图可知：当在上时，的面积为， 当在上时，的面积为， 面积为， 点在或上， 当点在上时，如图， ，即，解得， 当点在上时，如图， ，即， 解得， 综上，的值为或时，面积为． 根据图中的面积最大值为，根据图得出此时，求出结果即可；延长交于点，延长交于点，得，根据图，结合图求出，得出，根据图，得出点从点运动时间为：，再求出的值即可； 先表示出，然后再根据求出结果即可； 分点在上和点在上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可． 本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键． 29.【答案】      【解析】解：图整体上是边长为的正方形，所以面积为，图中间小正方形的边长为，所以面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； 如图，用个边长为的正方形卡片，个边长为的正方形卡片和个长，宽为的长方形卡片，拼成如图所示的长方形， 整体上这个长方形的面积为，拼成这个长方形的个部分的面积和为， 所以； 由题意得，正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积为， ， 设，，则，， ，而， ， ． 用代数式表示图中阴影部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系进行解答即可； 根据多项式乘多项式的几何意义，画出长为，宽为的长方形即可； 由题意得，设，，可得，，根据求出的值，再根据代入计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 30.【答案】；， 延长至，使，连接， 则有：，，， ≌， ， ， ， ， ，， ≌， ，且， ，    【解析】解：，， ，， ， 过作交的延长线于， ， ，， ，， ， 的面积， 故答案为：； ， 理由：延长至，使，连接， 则有：，，， ≌， ， ， ， ， ，， ≌， ，且， ， ； 如图， 设置最小时，在处，以为边作等边三角形，连接，，， 则， ，，， ≌， ， ， 根据两点之间线段最短，当且仅当在上时，最小，且， 即最小，且， 同理，当最小时，点在，上，从而点是，，的交点，且， ， 即当最小时，． 分别求出，，再把，，得到，过作交的延长线于，得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积； 延长至，使，连接，证明≌，得出，再证明，即可解答； 设置最小时，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 此题主要考查了三角形综合题，根据等边三角形的判定与性质和全等三角形判定解答是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $