10.1.1 平方根 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方根与算术平方根，通过正方形面积问题导入平方根概念，结合复习旧知引入算术平方根，构建从具体实例到抽象定义的学习支架，帮助学生逐步理解概念形成脉络。 其亮点在于以问题链驱动抽象能力培养，如“已知面积求边长”引导发现数量关系，通过合作探究（如开平方与平方的逆运算）发展推理意识，符号表示（√a）与计算器应用强化符号意识和应用意识。实例丰富，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

10.1.1 平方根 第1课时 平方根 1.理解平方根的概念，会求某些数的平方根.（重点） 2.会用根号表示数的平方根.（难点） 学 习 目 标 新 课 引 入 问题1 本章导图中提出的问题,就是已知正方形的面积为25 cm2, 求这个正方形的边长. 这个正方形的边长是5 cm. 问题2 若正方形的面积如下，请填表： 正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36 正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 💡思考 你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？ 上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数. 如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根. 举例 5的平方等于25，所以5叫做25的平方根. 25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？ 概念 新 知 小 结 因为5和-5的平方都等于25，我们就说5和-5是25的平方根. 也可以说:25的平方根是5和-5. 求法 根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根. 新 知 小 结 例1 求100的平方根. 解：因为102＝100， (-10)2 ＝100， 除了10和-10以外， 任何数的平方都不等于100， 所以100的平方根是10和-10. 也可以说，100的平方根是±10. 典 例 精 析 1. 144的平方根是什么？ 3. -4有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 2. 0的平方根是什么？ ±12 合 作 探 究 通过这几道题的解答，你发现了什么? 问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 平方根的性质： 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 2.0的平方根是0. 3.负数没有平方根. 因为任何实数的平方 都为非负数，所以负数 没有平方根. 新 知 小 结 2．4的平方根是(　　) A．16 B．2 C．±2 D．± 1．如果x2＝a，那么下列说法错误的是(　　) A．若x确定，则a的值是唯一的 B．若a确定，则x的值是唯一的 C．a是x的平方 D．x是a的平方根 B C 随 堂 练 习 4．下列说法正确的是(　　) A．－9的平方根是－3 B．－1的平方根是±1 C．－8是64的平方根 D．(－1)2没有平方根 C 3．“±”的意义是(　　) A．a的平方根 B．±a的平方根 C.的平方根 D．以上都不对 A 随 堂 练 习 解：(1)因为(±15)2＝225，所以225的平方根为±15. 5．求下列各数的平方根． (1)225； (2)｜-2｜； (3)(-)2； (4)0.003 6. (2)因为｜-2｜＝，(±)2＝，所以｜-2｜的平方根为±. (4)因为(±0.06)2＝0.003 6，所以0.003 6的平方根为±0.06. (3)因为(±)2＝(-)2，所以(-)2的平方根为±. 随 堂 练 习 6．已知一个正数的平方根是2m＋1和5－3m，求m的值和这个正数． 解：因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以(2m＋1)＋(5－3m)＝0， 解得m＝6. 此时2m＋1＝2×6＋1＝13，5－3m＝5－3×6＝－13. 因为(±13)2＝169， 所以这个正数是169. 随 堂 练 习 定义 平方根 如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫做a的平方根. 1.正数有两个平方根，它们互为相反数. 2.0的平方根是0. 3.负数没有平方根. 性质 课 堂 总 结 第2课时 算术平方根 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.（重点） 2.会求非负数的算术平方根，会进行开平方运算.（重点、难点） 3.会用计算器求非负数的算术平方根．（重点） 学 习 目 标 复 习 导 入 一般地,如果一个数的平方等于这个数就叫做的平方根. 1.平方根的定义: 一个正数的正的平方根,用符号表示. (1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数; (2)0有一个平方根,它是0本身; (3)负数没有平方根. 2.平方根的表示: 3.平方根的性质: 合 作 探 究 求出下列各数的平方根： （1）64； (3)0.000 4； （5）11. ； (4) 2 ； 解： 通过以上问题的回 答,求一个数的平方根, 你的体会是什么? （1）±8； （2）±； （3）±0.02； （4）±25； （5）±. 合 作 探 究 特殊：0的算术平方根是0. 记作＝0. 💡记法： a(a≥0)的算术平方根记为，读作“根号a”，另一个平方根是它的相反数，即－，因此正数a的平方根可以记作±，其中a叫做被开方数. 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，也就是a的正的平方根. 新 知 小 结 问题：（1）正数有几个算术平方根？ （2）0有几个算术平方根？ （3）负数呢？ 算术平方根的性质： 1.一个正数的算术平方根只有一个，且是正数. 2.0的算术平方根是0. 3.负数没有算术平方根. 算术平方根的非负性： ≥0，且被开方数a≥0. 思 考 针 对 练 习 求下列各数的算术平方根： （1）1.44；（2）；（3）(－7)2；（4）1. 解：（1）＝1.2； （2）＝25，＝5； （3）(－7)2＝49， ＝7； （4）＝. +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 这是什么运算？ 平方运算 x2 x 算一算，下面两种运算有什么关系？ 合 作 探 究 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方互为逆运算 平方与开平方有 什么关系？ 合 作 探 究 例2 将下列各数开平方： （1）49；（2）. 解：（1）因为72=49，所以＝7， （2）因为()2＝，所以＝， 因此49的平方根为± ＝±7. 因此的平方根为±＝±. 典 例 精 析 计算器计算算术平方根的方法： 在计算器上依次键入： . 被开 方数 EXE 将2 022开平方运算的结果是多少？如何计算呢？ 对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）. 合 作 探 究 例3 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）． 说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可. 解：（1）本小题的按键顺序是 ，显示结果为23, 所以529的算术平方根为＝23. 5 2 9 （2）本小题的按键顺序是 ，显示结果为 6.694 027 188，要求精确到0.01，可得≈6.69. 4 4 . 8 1 EXE EXE 典 例 精 析 1．9的算术平方根是(　　) A．3 B．－3 C．±3 D. A 2．下列说法正确的是(　　) A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根 B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根 C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D．以上说法都不对 A 随 堂 练 习 3.若方程(x－5)2＝19的两个解分别为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是(　　) A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根 C 4.要使有意义，则x的取值范围是(　　) A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1 B 随 堂 练 习 5．已知9的算术平方根为a，b的绝对值为4，求a－b的值． 解：由题意知， a＝＝3, b＝±4. 当a＝3,b＝4时，a－b＝3－4＝－1； 当a＝3,b＝－4时，a－b＝3－(－4)＝7. 随 堂 练 习 定义 算术平方根 正数a的正的平方根 1.一个正数的算术平方根只有一个，且是正数. 2.0的算术平方根是0. 3.负数没有算术平方根. --算术平方根的非负性 性质 开平方，用计算器计算算术平方根 课 堂 总 结 $