湖南省岳阳市弘毅新华中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

**基本信息** 弘毅新华中学八年级下学期期中数学试卷，以运动会球类图形、DeepSeek单词频率等现实情境及《九章算术》文化素材为载体，覆盖几何图形、函数、统计等核心知识，通过基础判断、规律探究及新定义问题，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称与轴对称、一次函数平移、直角三角形性质|结合运动会情境考查图形性质，以DeepSeek单词考查频率计算| |填空题|8/24|多边形内角和、点坐标对称、《九章算术》木柱问题|古代数学问题体现文化传承，动点面积函数图像考查几何直观| |解答题|8/66|矩形证明、统计图表分析、垂美四边形新定义、利润最大化|垂美四边形新定义探究考查创新意识，利润问题体现模型观念，勾股定理应用结合动态几何|

2025八下期中考试数学答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D A C A A C 二．填空题（共8小题） 11．函数y的自变量x的取值范围是 　x≥1　 ． 12．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 　10　 ． 13．若点P（2m+4，3m+3）在x轴上，则点P的坐标为 　（2，0）　 ． 14．若点（a，﹣9）与（3，b）关于原点对称，则a+b＝ 　6　 ． 15．已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数yx的图象上，则y1　＞　 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）． 16．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（BC＝9）处时而绳索用尽．则木柱长为 　12　 尺． 17．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　 ． 18．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②BEBF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正确结论有 　①③④ 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．（6分）如图，△ABC的顶点均在格点上： （1）（3分）直接写出△ABC的顶点坐标；A（﹣2，3），B（﹣4，0），C（2，﹣3）； （2）（1分）顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：　（2，3）　 ； （3）（2分）求△ABC的面积为 12． 20．（6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 【解答】证明：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABC和△DEF都是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 21．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°． （1）（4分）求证：四边形ABCD是矩形． （2）（4分）若∠ACB＝30°，AB＝1，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠ACB＝30° ∴AC＝2AB＝2， 在Rt△ABC中，． ∴四边形ABCD的面积为． 22．（8分）弘毅新华中学七年级开展了“社团”活动，培养学生的特长（其中有锻炼体魄类项目）（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：轮滑；项目D：排球），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．（1）（2分）本次调查的学生共有 　200　 人； （2）（2分）在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 　108　 °； （3）（2分）将条形统计图补充完整； （4）（2分）若全校共有1200名学生，估计出该校选修项目B：篮球的总人数． 根据题意得：1200360（名）， 答：估计该校选修项目B：篮球的人数有360名． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），直线CD交y轴于点D（0，9）． （1）（2分）求出a的值； （2）（3分）求直线CD的解析式； （3）（4分）若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线AB：过点A（4，a）， ∴a3； （2）把A（4，3），D（0，9）代入y2＝mx+n得， 解得， ∴直线CD的解析式为y2x+9； （3）令y＝0，则0，解得x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∵点P在x轴上，△ABP的面积为6，A（4，3）， ∴6，即， ∴PB＝4，即|xP﹣（﹣2）|＝4，解得xP＝﹣6或xP＝2， ∴P（﹣6，0）或（2，0）． 24．（9分）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元；购进6本A类图书和2本B类图书共需240元． （1）（3分）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本． ①（2分）求y关于x的关系式． ②（4分）进货时，A类图书的购进数量不少于500本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 【解答】解：（1）设A类图书的进价为a元，B类图书的进价为b元． 根据题意，得， 解得． 答：A类图书的进价为32元，B类图书的进价为24元． （2）①根据题意，得32x+24y＝48000， 解得yx+2000， ∴y关于x的关系式为yx+2000． ②设所获利润为W元，则W＝（38﹣32）x+（30﹣24）y＝6x+6（x+2000）＝﹣2x+12000， ∵﹣2＜0， ∴W随x的减小而增大， ∵当x＝500时，y不是整数， ∴当x＝501时，W值最大，W最大＝﹣2×501+12000＝10998，y501+2000＝1332． 答：购进A类501本、B类1332本才能使书店所获利润最大，最大利润为10998元． 25．（10分）【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形． 【概念理解】 ①（2分）正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 　①②　 ；（填序号） 【性质探究】 （4分）小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD2+BC2＝AB2+CD2，请你判断他的说法是否正确，并说明理由；（回答正确给1分） 【问题解决】 （4分）如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：①②； （2）说法正确，证明如下： 如图1，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC， ∴∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， 又∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°， 又∵∠BMC＝∠AME， ∴∠ABG+∠BMC＝90°， ∴CE⊥BG． ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， 由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE． 26．（10分）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）（3分）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求B点坐标； （2）（4分）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式； （3）（3分）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 【解答】解：（1）如图2，B（﹣2，1）； （2）如图3，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D， ∵∠CAB＝45°， ∴BC＝AB， 由（1）的模型可得△BCD≌△ABO， ∵y＝2x+6与x轴的交点B（﹣3，0），A（0，6）， ∴CD＝3，BD＝6， ∴C（﹣9，3）， 设直线l2的函数表达式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴l2的函数表达式为yx+6； （3）∵直线y＝2x+（2分）别交x轴、y轴于点A，C， ∴A（﹣1，0），C（0，2）， ∵∠CBA＝45°． ∴OB＝OC＝2， ∴B（2，0）， 设点M（0，m），点Q（n，2n+2）， ①如图4， 当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方）， 分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H， ∵∠GMQ+∠MQG＝90°，∠GMQ+∠HMB＝90°， ∴∠HMB＝∠GQM， ∵∠MHB＝∠QGM＝90°，MB＝MQ， ∴△MHB≌△QGM（AAS）， ∴GQ＝MH，BH＝GM， 即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2， 解得：m，n； 故点M（0，）、点Q（，）； 同理当点M在x轴下方时， 2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）； ②当∠MQB＝90°时，如图5， 同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n， 解得：m＝﹣6，n＝﹣2， 故点M（0，﹣6）、点Q（﹣2，﹣2）； ③当∠QBM＝90°时， 同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n， 解得：m＝4，n＝﹣2， 点M（0，4）、点Q（﹣2，﹣2）； 综上，M（0，）、Q（，）或M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）或M（0，4）点Q（﹣2，﹣2）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘毅新华中学2025年八年级下学期期中考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共计30分） 1．近期，各学校的春季运动会如火如荼地举行着，许多球类项目引人注目，下列各球类的示意图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．“深度求索”的英语单词“DeepSeek”中，字母“e”出现的频率是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣2，3），则点P所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．将直线yx﹣4向上平移5个单位长度，所得直线的表达式为（　　） A．yx﹣1 B．yx+1 C．yx+1 D．yx﹣1 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 （第5题图） （第6题图） （第8题图） 7．下列说法不正确的是（　　） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的邻边相等 （第10题图） C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 8．如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若菱形ABCD的周长是16，则OE长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．直线y＝kx+b经过二、三、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1、l2，点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去．则点A2025的横坐标为 （　　） A．-21012 B．22025 C．21012 D．21013 二．填空题（共8小题，每题3分，共计24分） 11．函数y的自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 　 　 ． 13．若点P（2m+4，3m+3）在x轴上，则点P的坐标为 　 　 ． 14．若点（a，﹣9）与（3，b）关于原点对称，则a+b＝ 　 　 ． 15．已知P1（1，y1），P2（2，y2）在正比例函数yx的图象上，则y1　 　 y2．（填“＞”或“＜”或“＝”）． 16．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部9尺（BC＝9）处时而绳索用尽．则木柱长为 　 　 尺． （第16题图） （第17题图） （第18题图） 17．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　 ． 18． 如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②BEBF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF； 其中正确结论有 　 　 ．（填写序号） 三．解答题（共8小题，共计66分） 19．(6分）如图，△ABC的顶点均在格点上： （1）直接写出△ABC的顶点坐标； （2）顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：　 　 ； （3）求：△ABC的面积为 。 20．(6分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF． 21．(8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形． （2）若∠ACB＝30°，AB＝1，求四边形ABCD的面积． 22．(8分）弘毅新华中学七年级开展了“社团”活动，培养学生的特长（其中有锻炼体魄类项目）（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：轮滑；项目D：排球），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有 　 　 人； （2）在扇形统计图中，B所对应的扇形的 圆心角的度数是 　 　 °； （3）将条形统计图补充完整； （4）若全校共有1200名学生，估计出该校 选修项目B：篮球的总人数． 23．(9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），直线CD交y轴于点D（0，9）． （1）求出a的值； （2）求直线CD的解析式； （3）若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 24．(9分）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需192元；购进6本A类图书和2本B类图书共需240元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划恰好用48000元来购进这两类图书，设购进A类x本，B类y本． ①求y关于x的关系式． ②进货时，A类图书的购进数量不少于500本，已知A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 25．(10分）【综合与实践】 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形． 【概念理解】 ①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 　 　 ；（填序号） 【性质探究】 小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD2+BC2＝AB2+CD2，请你判断他的说法是否正确，并说明理由； 【问题解决】 如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 26．(10分）美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰Rt△ACB的直角顶点C作直线l，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点（1，2）处，求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+6分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数表达式； （3）如图4，直线y＝2x+2分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且∠CBA＝45°．若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 图2 弘毅新华中学八年级期中考试试卷 数学 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $