精品解析：湖南桃源县文昌中学2026年上学期八年级期中检测试卷 数学

2026年上学期八年级期中检测试卷 数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M(1﹣m，m﹣3)，则点M不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 7. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 平面直角坐标系内一点到轴、轴的距离分别为3和5，且该点在第四象限，则该点坐标为___________． 11. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 12. 已知点在第二象限，则点在第__________象限． 13. 如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为________． 14. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 15. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为_________； 三．解答题（共72分） 16. 在平面直角坐标系中，点，点 （1）若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． （2）若点A，B关于x轴对称，求的值． （3）若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 17. 如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足为F,连接DF； 求证:(1)AC=EF； (2)四边形ADFE是平行四边形； (3)AC⊥DF； 18. 阅读与思考 阅读材料 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题， 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： （1）在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的（　　）思想方法 A．整体 B．方程 C．转化 D．分类讨论 （2）如图1，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点E． 联系拓广： （3）图2中，的度数为___________ 19. 如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1． （1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值； （3）求三角形ABC的面积． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB． （1）求证：四边形DBFC是菱形； （2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，则AC＝　　． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； （3）在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 22. 如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H． （1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG． ①求证：△AGE≌△AFE； ②若BE=2，DF=3，求AH的长． （2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级期中检测试卷 数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知点M(1﹣m，m﹣3)，则点M不可能在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个象限的点的坐标特点，列出不等式组，不等式组无解则点M不可能在该象限． 【详解】解：点M不可能在第一象限，理由如下： 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第一象限，则有： ， ∴解①得m＜1， 解②得m＞3， ∴不等式组无解，符合题意； ∴点M不可能在第一象限； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第二象限，则有： ， ∴解①得m＞1， 解②得m＞3， ∴不等式组解集是m＞3，不符合题意； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第三象限，则有： ， ∴解①得m＞1， 解②得m＜3， ∴不等式组解集是1＜m＜3，不符合题意； 点M的坐标是（1﹣m，m﹣3），若点M在第四象限，则有： ， ∴解①得m＜1， 解②得m＜3， ∴不等式组解集是m＜1，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点并正确地列出不等式组或方程是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：， 则点即在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，正确得出的值是解题关键． 5. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 6. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ， 故选：A． 7. 将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 9. 如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点．点第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出前若干个点的坐标，得到规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，，，，，…，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. 平面直角坐标系内一点到轴、轴的距离分别为3和5，且该点在第四象限，则该点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】点在第四象限时，横坐标大于0， 纵坐标小于0， 到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，进而得出该点的坐标． 【详解】解：该点到轴、轴的距离分别为3和5， 纵坐标为，横坐标为， 又该点在第四象限， 纵坐标为，横坐标为5， 该点坐标为． 11. 若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和与外角和，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形是n边形，根据正多边形的内角和是外角和的2倍，列出一元一次方程，求出n的值，再根据多边形的内角和公式，即可解答． 【详解】解：设这个正多边形是n边形，依题意，得 ， 解得， ∴这个正多边形的一个内角度数是． 故答案为：． 12. 已知点在第二象限，则点在第__________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】根据第二象限点的性质，可以列出不等式，解出x，y的解集，利用解集判断B点在哪个象限即可. 【详解】∵在第二象限， ∴，, ∴，， ∴，， ∴点B在第四象限． 故答案为：四 【点睛】此题主要考查了象限内点的性质，灵活运用不等式的解集判断其他多项式的符号是解题的关键. 13. 如图．在中，，点D，E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，．由三角形中位线定理推出，，，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如解图，连接，取的中点，连接，． ，分别是，的中点， ，分别是和的中位线， ，，，． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理． 14. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为_________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和，解即可得答案 【详解】解：点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和， 解 得：， ∴A的坐标为； 故答案为： 三．解答题（共72分） 16. 在平面直角坐标系中，点，点 （1）若点A关于y轴对称的点在第二象限的角平分线上，求a的值． （2）若点A，B关于x轴对称，求的值． （3）若点A向上平移2个单位长度后，与点B关于y轴对称，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在第二象限角平分线上的坐标特征：横坐标和纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此列式计算即可求解； （3）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵点关于y轴对称的点为， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：∵点向上平移2个单位长度后得到点， ∴点， ∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴ ． 17. 如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足为F,连接DF； 求证:(1)AC=EF； (2)四边形ADFE是平行四边形； (3)AC⊥DF； 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF； （2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形； （3）先求∠EAC=90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，则AC⊥DF． 【详解】证明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF，AB=AE， ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ∵ ， ∴△AFE≌△BCA(HL)， ∴AC=EF； (2)∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°， 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； (3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90° ∵四边形ADFE是平行四边形， ∴AE∥FD， ∴∠EAC=∠AGD=90°， ∴AC⊥DF. 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握各性质定义，灵活运用各定理. 18. 阅读与思考 阅读材料 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题， 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： （1）在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的（　　）思想方法 A．整体 B．方程 C．转化 D．分类讨论 （2）如图1，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点E． 联系拓广： （3）图2中，的度数为___________ 【答案】（1）C （2）见解析 （3）180 【解析】 【分析】（1）根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； （2）根据三角形外角的定义和性质可得，，再根据角的和差关系即可证明； （3）根据三角形外角的定义和性质可得，，根据三角形内角和定理可得，进而可得． 【小问1详解】 解：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故选C． 【小问2详解】 证明：连接并延长到点E． 则为的外角，为的外角， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图， ∵，， 又∵， ∴． 故答案为：180． 【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19. 如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1． （1）画出经过两次平移后的图形，并写出A1、B1、C1的坐标； （2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），请求出a，b的值； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】（1）图见解析，A1（﹣4，﹣3），B1（2，2），C1（﹣1，1） （2） （3）10.5 【解析】 【分析】（1）先根据△ABC位置求出A，B，C的坐标，再利用平移求出A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标，然后描点，连线即可解决问题． （2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题． （3）利用分割法先利用辅助线将△ABC补成长方形ADEF，然后用长方形面积减去三个三角形面积即可求出△ABC的面积． 【小问1详解】 解：根据△ABC所在位置可得点A（-1，1），B（5，2），C（2，5）， 先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1． 平移后的坐标A1（-1-3，1-4），B1（5-3，2-4），C1（2-3，5-4），即A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1）， 然后再平面直角坐标系中描点A1（-4，-3），B1（2，-2），C1（-1，1）， 顺次连接A1B1， B1C1，C1A1， 则△A1B1C1为所求． 【小问2详解】 解：平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣4）， ∵P1（﹣2，﹣2）， ∴， 解得． 【小问3详解】 过点A作水平线与过点A，点B的铅直线于A，F，过C的水平线与过点A，点B的铅直线于D，E， 则四边形ABCD为长方形， ∴S△ABC=S长方形AFED-S△ADC-S△CEB-S△AFB， =， =， =， =， =10.5． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素（平移方向、平移距离）.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，方程组，割补法求三角形面积，． 20. 如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB． （1）求证：四边形DBFC是菱形； （2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，则AC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）证BD//CF，CD//BF，得四边形是平行四边形，再证出，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，过作于，则，然后证出是等腰直角三角形，得出，则，即可求解． 【详解】（1）证明：，，． ∴BD//CF，CD//BF， 四边形是平行四边形； 平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 过作于，如图所示： 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，且a，b满足． （1）填空： ， ； （2）若在第四象限内有一点，用含m的式子表示三角形的面积； （3）在（2）的条件下，线段与y轴相交于点，当时，P是y轴上一动点，当满足，试求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中三角形面积的计算，解题的关键是利用非负数性质求出a、b的值，再结合坐标与图形性质计算三角形面积． （1）根据非负数的性质，两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，求出a、b的值； （2）先求出的长度，再根据点的坐标确定三角形的高，最后利用三角形面积公式计算； （3）设出点坐标，求出，由（2）知，再结合已知面积关系求出，利用三角形面积公式列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解，得， 解，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在第四象限， ， ∵点A，B的坐标分别为 ； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 点， ∵ ∴ 由（2）知， ， ， ， ， ， 解得：或，故点的坐标为或． 22. 如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H． （1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG． ①求证：△AGE≌△AFE； ②若BE=2，DF=3，求AH的长． （2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②6；（2）MN2=ND2+BM2,，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可； （2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可． 【详解】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°． 又∵∠EAF=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°． ∴∠BAG+∠BAE=45°． ∴∠GAE=∠FAE． 在△GAE和△FAE中， ∴△GAE≌△FAE． ②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF， ∴AB=AH，GE=EF=5． 设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3． 在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25． 解得：x=6． ∴AB=6． ∴AH=6． （3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°． 由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′． ∴∠NDM′=90°． ∴NM′2=ND2+DM′2． ∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°， ∴∠EAF=∠FAM′=45°． 在△AMN和△ANM′中，， ∴△AMN≌△ANM′． ∴MN=NM′． 又∵BM=DM′， ∴MN2=ND2+BM2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $