2026年高二暑假数学-数列自测题

**基本信息** 2026年高二暑假数学数列自测题，覆盖等差等比数列的通项、求和、Sn与an关系等核心知识点，题型多样且梯度合理，适合暑假自主巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择|4|等差数列通项与求和、等比数列性质|基础概念辨析，注重公式直接应用| |多项选择|1|Sn与an关系、数列单调性|多维度考查，培养严谨思维| |填空题|3|Sn求an、递推数列求通项|强调运算准确性，覆盖易错点| |解答题|4|数列前n项积求通项、分组求和、错位相减、不等式证明|综合性强，梯度设计合理，贴合高考命题趋势|

2026年高二暑假数学-数列自测题解析 1． 单项选择题 1.等差数列，则（ ） A． B. C．10 D．12 2.等差数列的前n项和是，则（ ） A． B. C．10 D．12 3.在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则=（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 2． 多项选择题 5.已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 三．填空题 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=　　　　　　.  7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=6，Sn=(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____ 8.已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=　　　　　　.  四．解答题 9.记为正项数列的前项积，已知． （1）求；（2）求. 10.已知bn=(-1)n2n，（1）求数列{bn}的前100项和T100. （2）求数列{bn}的前n项和Tn. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=log2a2n-1，cn=，记{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<. 12.记为数列的前项和，且． 求的通项公式；设，求数列的前项和为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二暑假数学-数列自测题解析 1． 单项选择题 1.等差数列，则（ ） A． B. C．10 D．12 【详解】设公差为，因为，所以， 解得，所以，选B 2.等差数列的前n项和是，则（ ） A． B. C．10 D．12 【详解】设公差为，因为，所以， 即， 解得，所以，选B 3.在等比数列中，，，则（   ）． A． B．567 C．451 D．699 【详解】因为，所以，当时，，，舍去，故 所以，即，所以. 选B 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则=（ ） A. 2n–1 B. 2–21–n C. 2–2n–1 D. 21–n–1 【详解】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 故. 选B 2． 多项选择题 5.已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．若是等差数列，则 B．若不是递增数列，则 C．若，则 D．若的最小值为3，则 【答案】ABD 【详解】若为等差数列，则，所以，解得，，故A正确；，则，，当时，，所以，因为不是递增数列，所以或，则，故B正确；若，则，整理得，又，所以，故C错；因为的最小值为3，所以恒成立，即，当时，成立，当时，，则，故D正确. 三．填空题 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-4n+1，则an=　　　　　　.  答案　 【详解】当n=1时，a1=S1=-2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.因为当n=1时，不满足an=2n-5， 所以an= 7.已知数列{an}的前n项和为Sn，a2=6，Sn=(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____ 答案　an=3n 【详解】当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，整理得(n-1)an=nan-1， 方法一　即=，由累乘法， 得an=a2×××…×=6×××…×=3n(n≥2)， 又S2=·a2=a2+a1，解得a1=3，满足上式，综上，an=3n(n∈N*). 方法二　即=(n≥2)，所以数列为常数列，所以===3，所以an=3n(n∈N*). 8.已知数列{an}中，a1=5且an+1=4an+6，则an=　　　　　　.  答案　7×4n-1-2 【详解】因为an+1=4an+6，所以an+1+2=4an+8=4(an+2)， 又因为a1+2=5+2=7≠0，所以=4， 所以数列{an+2}是以7为首项，4为公比的等比数列，所以an+2=7×4n-1⇒an=7×4n-1-2. 四．解答题 9.记为正项数列的前项积，已知． （1）求；（2）求. 【详解】（1）因为，令，可知， ，， 又数列的各项均为正，即 ，解得； （2） 由 当时，可得， 即，即， 可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列； 因此， 所以 10.已知bn=(-1)n2n，（1）求数列{bn}的前100项和T100. （2）求数列{bn}的前n项和Tn. 【详解】（1）bn=(-1)n2n， 方法一　T100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)=2×(-1-3-…-99)+2×(2+4+…+100) =2×+2×=100. 方法二　T100=(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+b6)+…+(b99+b100)=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-198+200) =2×50=100. （2）因为bn=(-1)n2n， 当n为偶数时，Tn=b1+b2+b3+…+bn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]=2×=n； 当n为奇数时，Tn=-=n+1-2(n+1)=-n-1， 综上，Tn= 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=log2a2n-1，cn=，记{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<. 【详解】(1)由Sn=2an-2， ① 当n=1时，S1=2a1-2=a1，解得a1=2， 当n≥2时，Sn-1=2an-1-2， ② ①-②，得an=2an-1， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an=a12n-1=2n. (2)证明　由(1)知a2n-1=22n-1， ∴bn=log2a2n-1=2n-1，bn+1=2n+1. 则cn===， 故Tn===-， ∵0<≤，∴≤Tn<. 12.记为数列的前项和，且． 求的通项公式；设，求数列的前项和为． 【详解】当时，，解得． 当时，，所以 即，而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以. , 所以 故 所以 ， . 学科网（北京）股份有限公司 $