暑假作业06 数列求和与数列综合（8种题型，巩固培优）高二数学沪教版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 数列求和与数列综合 【知识点1 裂项相消法】 适用形式 通项可拆成两项之差，求和中间项抵消，多用于分式、根式数列。 1. 基础分式 常用： 1. 根式型 1. 等差积倒数 （等差，公差） 步骤 拆分通项→展开累加→消中间项→剩首尾有限几项 【知识点2 错位相减法】 适用：等差×等比型： 标准步骤 1. 写 1. 两边同乘公比得 1. 两式上下错位相减 1. 右侧中间构成等比数列求和，整理化简 注意 相减时符号易错，最后一项为负；直接等差求和，不用错位。 【知识点3 分组（并项）求和】 1. 分组求和 通项拆成两个可求和数列之和：， 例：等差 + 等比、等差 + 裂项式 2. 并项求和 相邻两项合并成定值/简单式子，适合正负交替数列 例：，两两配对计算 【知识点4 倒序相加法】 适用：首尾相加为定值，典型等差推导、对称型函数数列 设 倒写 两式相加：，再除以 2 经典：常数型求和。 【知识点5 奇偶数列问题】 特征：奇数、偶数通项表达式不同；或递推分段 1. 分为奇数、偶数两种情况分别求、； 1. 设（偶）、（奇）换元转化常规数列； 1. 求最值、恒成立时奇偶分开算范围，最后取参数交集。 【知识点6 数列单调性问题】 判定方法 1. 作差法（通用） 递增；递减 1. 作商法（正项数列） 递增 1. 函数辅助 把换构造，导数判单调，再取邻近正整数 用途 求数列最大项、最小项、最值点 【知识点7 数列恒成立问题】 核心转化：恒成立等价最值约束 1. 恒成立 1. 恒成立 1. 含参数标准流程 分离参数或→判断单调性→求最值→写范围 1. 和式恒成立：恒成立，若递增则 【知识点8 数列新定义问题】 通用解题步骤 1. 翻译题干文字定义为等式，标注取值范围； 1. 代入算前几项，预判规律； 1. 写出、两组式子，作差/作商推导递推关系； 1. 转化为等差、等比、累加累乘等熟悉模型； 1. 求通项、和、参数、存在性；务必检验是否符合通式。 【题型1 裂项相消法】 1．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 2．已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依次将代入递推关系式中计算即可； （2）由得到，再根据等比数列的定义证明即可； （3）由（2）得到的解析式，进而得到及的解析式，再根据裂项相消法求出数列的前项和为，即可得证. 【详解】（1）在数列中，已知， 则，； （2）由可得， 则，又因为， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列； （3）由（2）可得，解得， 则 ， 所以． 3．已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，然后由题设及等差数列通项公式可得答案； （2）设数列的前项和为，由可得，据此可得答案. 【详解】（1）设的公差为，由题意，，解得， 则； （2）设数列的前项和为，因为， 所以， 所以 4．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，求导，再结合题意可得，利用与的关系求解； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设二次函数，则，得 所以 由点均在函数的图像上，则 当时，， 当时， 符合上式， （2）由（1）知 所以 【题型2 错位相减法】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系变形，再利用构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 则，数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 2．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 3．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可推出是公比为3的等比数列，进而求出的通项公式 （2）利用错位相减法即可求出的前项和. 【详解】（1）已知，即， 所以是以1为首项，公比为3的等比数列， 故， 因此，. （2），两边同乘3， 可得， 相减得： ， 故. 4．已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知递推式变形可得，当时，，进而推出，进而得出数列的通项公式； （2）由和推出是2为首项，2为公比的等比数列，求出，进而求出，再利用错位相减法计算求出． 【详解】（1）已知， 故， 时，，故， ． （2），， 由可得，故， 是2为首项，2为公比的等比数列， ，，， ， 令，设数列的前项和为，则， ①， ②， 由①减②得： ， ， ． 【题型3 分组（并项）求和】 1．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为为等差数列，故，故， 设等差数列的公差为，则， 故，故. （2）由题设有，故， 故 . 2．设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 3．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）已知，，. 对递推式变形： 即（常数）. 当时，. 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得： . 整理得的通项公式：. （2）由，前项和：. 等比数列求和：. 常数项求和：. 因此. 4．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可； （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则，则，， 又因为，，则，， 根据等差数列的通项公式，则，即，解得， 所以等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 【题型4 倒序相加法】 1．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 2．已知函数，其中k为自然数． (1)当时，求在上极值点； (2)求； (3)当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）． 【答案】(1)极大值点为，极小值点为； (2)； (3). 【分析】（1）由题设，对函数求导并研究其区间单调性，进而确定其极值点； （2）结合求导公式计算即可； （3）由（2）得，则，再由等差数列定义有，最后应用倒序求和及二项式定理可得结果. 【详解】（1）， 令，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故的极大值点为，极小值点为； （2）， 故 （3）由（2）知，因为，所以， 又是首项为1，公差为2的等差数列，故， 则，其中， 令， 考虑， 则， 由组合数性质，将倒序写为：， 即 则， ，故， 故. 3．已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 4．定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 【题型5 奇偶数列问题】 1．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，，，， (2)当时，取到最小值，无最大值 【分析】（1）由题意写出数列和的通项公式，进而求出数列的前6项； （2）首先分组求和求出，然后利用确定单调性，确定的最值. 【详解】（1）等差数列的首项，公差为2， 等比数列的首项，公比为， 根据等差数列和等比数列的通项公式可得 ，， 又数列满足（为正整数）， 所以，，，，，， 所以数列的前6项依次为，，，，7，. （2） ， ， ， ，则单调递增， 则当时，取到最小值，无最大值. 2．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 3．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于数列，利用与的关系，通过和两种情况求出通项公式；对于数列，根据已知条件求出首项和公比，进而得到通项公式； （2）对于数列，根据的奇偶性分别求和，再将结果相加得到前项和即可. 【详解】（1）因为①，时，②． 由①-②得， 所以，则， 因为，所以， 因为，．则为首项1，公差1的等差数列， 所以， 因为，，则公比，， 所以． （2）当为偶数时， ， 当为奇数时，是偶数， 则， 把偶数公式中替换成： 则， 所以 4．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 【题型6 数列单调性问题】 1．设数列各项均为正数，且，，对于任意正整数m，n，p，q满足时，恒有． (1)若时，求数列的通项公式； (2)证明：，都有； (3)讨论a、b的取值，并指出此时数列的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①当时，数列为递增数列；②当时，数列为常数列；③当时，数列为递减数列. 【分析】构造新数列，将原条件转化为当时，. （1）先根据已知的、值求出的首项和公比，再利用等比数列通项公式得到，进而得到. （2）取，，代入转化后的条件即可推导出要证明的等式. （3）先写出的通项，进而得到的通项，再通过作差法比较与的大小，分情况讨论单调性. 【详解】（1）因为，所以，，即，. 令，则时，. 取，则，即. 计算，，所以， 故是首项为，公比为的等比数列，， 因此. （2）令， 取，，则， 所以 即，其中，. 因此对任意，有 即，得证. （3）由（2）知，是等比数列，公比，首项为， 故 数列的单调性由的符号决定： 因为，所以，，因此符号由决定： 当时，，数列单调递增； 当时，，数列为常数列，； 当时，，数列单调递减. 2．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 3．设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由，得， 所以，即， 当时，，故， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． （2），， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 故时，， 故，，所以数列的最大值为. 4．已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用与的关系式，结合构造法以及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）写出数列的通项公式，结合单调性分析求出即可. 【详解】（1）由可得， 当时，， 则，则， 则，又，所以， 故数列是公比为，首项为的等比数列． （2）由（1）可知， 令， 有， 当时，，即， 当时，因为，所以， 则， 又，所以， 所以从第2项起单调递减，即， 所以的最大项为， 即数列的最大值为． 【题型7 数列恒成立问题】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求； (3)已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)由，得，即， 所以数列是公差为1的等差数列； (2) (3) 【分析】（1）根据递推式得，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）写出的通项公式，应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求； （3）根据已知求得，再由数列不等式恒成立得对任意的恒成立，结合右侧的单调性确定参数范围. 【详解】（1）略 （2）由（1），得，所以，又， 所以，解得，则． ， ， 以上两式相减，得 ， 所以． （3）因为数列的前项和，当时， 以上两式相减，得， 又，满足上式，所以． 因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 令， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围是. 2．已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减 (2) (3)3 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【详解】（1）由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， （2）因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 3．记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得； （2）根据裂项相消求和法求得，分析其单调性，可得的最小整数值． 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，则， 即，则，因为，所以， 所以，解得， 则， 所以. （2）由（1）得， 所以， 则， 因为对任意，，且单调递增， 所以，则的最小整数值为1. 4．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）对递推关系变形，构造数列，得到通项公式； （2）对进行放缩，得利用裂项相消法证不等式； （3）用错位相减法求，将恒成立问题转化为求数列最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2） ， 所以 ，即命题得证. （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 【题型8 数列新定义问题】 1．对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【答案】(1)关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质” (2)不存在满足要求的等比数列 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和. （2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列. （3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列. 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 2．已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)数列不具有性质. (2)数列具有性质，理由见解析. (3) 一定为等差数列，理由见解析. 【分析】（1）取特殊值代入检验判断即可. （2）先根据求出，然后将代入表达式进行判断即可. （3）先通过赋值求出的通项公式，然后求出的通项公式，然后判断是否为等差数列即可. 【详解】（1），是以为首项，公比为的等比数列，其前项和，. 取代入计算. 再取代入计算. 两次计算结果不相等，不存在常数满足性质的定义，故不具有性质. （2），是以为首项，公差为的等差数列，其前项和，. 将代入表达式： . 故存在满足性质的定义，故数列具有性质. （3）具有性质， 故对任意两两不同的正整数，有 ， 同理两两不同的正整数，有，故. 由性质的定义知， ，再令，记数列的前项和为， 则有， 故，， 故. 作差可得， 故，其中， 而，故，故满足此式， ，故满足此式， 综上，，其中， 故，故是等差数列. 3．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)3个 (3) 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【详解】（1）（1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. （2）（2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. （3）与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 4．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； (2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； (3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 【答案】(1)数列与接近，理由见解析 (2)3或4； (3). 【分析】（1）计算出，时，，满足对任意，，数列与接近； （2）与接近，，则，，，，分三种情况，当时，时，，时，求出中元素的个数为3或4； （3）推出，，若，则恒成立，不合要求；若，令，，满足，数列与接近，且为奇数时，至少存在、、、这100个数为正，从而得到的取值范围为. 【详解】（1）数列与接近，理由如下： 由题意，，， ∴， ∵时，，∴， 满足对任意，，∴数列与接近； （2）∵，，，，又与接近，∴， ∴，则，，，， ∴当时，中有、、三个元素； 或时，中有、、三个元素； 当，时，中有、、、四个元素； ∴中元素的个数为3或4； （3）∵，∴，， ∴，即，， ①若，则恒成立，不满足“至少有100个为正数”，不符； ②若，令，，∴， 满足，数列与接近，此时， 当为奇数时，， ∴在、、、这200个数中， 至少存在、、、这100个数为正， 故时，存在数列满足题意， ∴的取值范围为. 1．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为由数列的单调性求的取值范围. 【详解】由伯努利不等式可得， 所以， 即，因此. 令，则， 则， 又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以. 因对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立， 则小于的最小值，即. 2．设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（   ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】对于A，由可得，则，，故A错误； 对于B，因，则 ，则，，故B错误； 对于C，因，则， 则 故， 故，则，故C错误； 对于D，因，则，则， ， 故，故D正确． 3．数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 【答案】1013 【分析】由题设有，根据的关系得，再应用分组求和求目标式的值. 【详解】由题设得，，故， 所以 ，即，故， 所以 . 4．若数列满足，，且对于都有，则________． 【答案】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 5．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，，求. (3)已知数列是公比大于1的等比数列，且，，，若数列是严格递减数列，求实数λ的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知前项和，当时，利用，代入和的表达式，化简后消去，得到的表达式，进而推出的通项，最后验证时通项成立. （2）由（1）求出的，得，将通分后进行裂项，转化为两个分式之差的形式，再将展开，通过中间项抵消(裂项相消法)，化简后得到的表达式. （3）已知是公比的等比数列，由、，利用等比数列性质求出，得到的通项；再结合表示出，根据是严格减数列，列出，整理后分离参数，构造新数列，利用新数列的单调性求出其最大值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）已知，当时，，此为恒等式. 当时，. 由，代入得：. 化简得：，即，即. 当代入得，符合通项公式. 故数列的通项公式为. （2）由，则，裂项得：. 因此 化简得. （3）设数列的公比为，由题有，所以，所以. 即，所以. 由数列是严格减数列有恒成立，所以. 即. 令，即，又是单调递减数列. 所以，所以，即. 6．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用的关系可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求得，进而利用单调性可求得的最小值； （3）由题意可得为等比数列，求得，令，利用作差法可得的单调性，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当； 当时，， . 当时，代入符合； 所以，； （2）， . 由单调性知，递增，当时，， 当时，，所以 所以，所以， 所以最小值为. （3） 数列为等比数列，首项为，公比为2， 所以. 所以，令， 所以 当时，， 当时，，所以， 又，，， 因为集合为正整数有且仅有两个元素， 当时，集合为正整数有且仅有两个元素. 所以实数为为的取值范围. 1．已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据数列递推式，先求出，再结合时，，化简推得是以为首项，公差为2的等差数列，求出，进而求出，根据的定义，求得，解不等式即得答案. 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 2．设为正整数，且，，，．若对任意的，长为、、的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据构成三角形的条件两边之和大于第三边，列出不等式组求解，借助最值解决对任意都满足的问题. 【详解】因为长为、、的线段均能构成三角形，所以. 由，有，即， 若，则对任意的都成立， 若，则，而当时，有最大值， 要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数； 由，有，即， 所以，因，当时，有最大值， 要使任意的都有，即要，解得； 由，有，即， 若，则对任意的都成立， 若，则，当时，有最小值， 要使任意的都有，即要，解得. 综上，，所以满足条件的有4个． 故选：B 3．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 4．已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据题意有当和均取得最小值时，有最小值，不妨取，可得，，运算得解. 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 5．定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是“数列”，理由见解析； (3)存在，且，. 【分析】（1）根据题设得，进而知是以首项为，公差的等差数列，写出通项公式； （2）由题设得，利用关系得，应用构造法得是以首项为，公比为的等比数列，求数列通项公式，即可得结论； （3）根据已知得，假设存在正整数，，使得，进而求出对应参数值，即可得结论. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； （2）由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 6．设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． (1)已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； (2)已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)具有 “性质”，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据新定义列不等式求参数范围； （2）应用关系及等差数列的定义求通项公式，再结合定义判断结论； （3）由题设可得，讨论的范围，结合等比数列的前n项和公式把不等式组等价转化可得结果. 【详解】（1）由题意得且，可得， 故，即的取值范围为. （2）由题设，有，则， 两式相减得，，则， 因为，所以，故， 由得， 所以是首项、公差均为1的等差数列，故， 所以，故具有“性质M”. （3）由数列是公比为的等比数列，得， 因为具有“性质M”，所以， ①当时，， 所以时，数列具有“性质M”，故满足题意． ②当时，，则． 因为数列具有“性质M”，所以对任意恒成立. 当时，等价于， 等价于对任意恒成立． 因为，所以， 所以， 因为二次函数在为增函数， 所以，故， 所以当时，数列具有“性质M”． 当时，等价于1）， 等价于，对任意恒成立， 所以， 由得，，解得，与矛盾. 综上所述，的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 数列求和与数列综合 【知识点1 裂项相消法】 适用形式 通项可拆成两项之差，求和中间项抵消，多用于分式、根式数列。 1. 基础分式 常用： 1. 根式型 1. 等差积倒数 （等差，公差） 步骤 拆分通项→展开累加→消中间项→剩首尾有限几项 【知识点2 错位相减法】 适用：等差×等比型： 标准步骤 1. 写 1. 两边同乘公比得 1. 两式上下错位相减 1. 右侧中间构成等比数列求和，整理化简 注意 相减时符号易错，最后一项为负；直接等差求和，不用错位。 【知识点3 分组（并项）求和】 1. 分组求和 通项拆成两个可求和数列之和：， 例：等差 + 等比、等差 + 裂项式 2. 并项求和 相邻两项合并成定值/简单式子，适合正负交替数列 例：，两两配对计算 【知识点4 倒序相加法】 适用：首尾相加为定值，典型等差推导、对称型函数数列 设 倒写 两式相加：，再除以 2 经典：常数型求和。 【知识点5 奇偶数列问题】 特征：奇数、偶数通项表达式不同；或递推分段 1. 分为奇数、偶数两种情况分别求、； 1. 设（偶）、（奇）换元转化常规数列； 1. 求最值、恒成立时奇偶分开算范围，最后取参数交集。 【知识点6 数列单调性问题】 判定方法 1. 作差法（通用） 递增；递减 1. 作商法（正项数列） 递增 1. 函数辅助 把换构造，导数判单调，再取邻近正整数 用途 求数列最大项、最小项、最值点 【知识点7 数列恒成立问题】 核心转化：恒成立等价最值约束 1. 恒成立 1. 恒成立 1. 含参数标准流程 分离参数或→判断单调性→求最值→写范围 1. 和式恒成立：恒成立，若递增则 【知识点8 数列新定义问题】 通用解题步骤 1. 翻译题干文字定义为等式，标注取值范围； 1. 代入算前几项，预判规律； 1. 写出、两组式子，作差/作商推导递推关系； 1. 转化为等差、等比、累加累乘等熟悉模型； 1. 求通项、和、参数、存在性；务必检验是否符合通式。 【题型1 裂项相消法】 1．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 2．已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，数列的前项和为，求证：． 3．已知在公差为的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 4．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【题型2 错位相减法】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．已知数列满足，， (1)若，求数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和． 【题型3 分组（并项）求和】 1．在等差数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 2．设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 3．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 4．已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【题型4 倒序相加法】 1．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 2．已知函数，其中k为自然数． (1)当时，求在上极值点； (2)求； (3)当时，记数列，有限数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前100项和（化成最简形式）． 3．已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 4．定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【题型5 奇偶数列问题】 1．已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为，数列满足（为正整数）. (1)依次写出数列的前6项； (2)设，判断是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小值，若不存在，请说明理由. 2．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 3．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足（），求的前项和． 4．已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【题型6 数列单调性问题】 1．设数列各项均为正数，且，，对于任意正整数m，n，p，q满足时，恒有． (1)若时，求数列的通项公式； (2)证明：，都有； (3)讨论a、b的取值，并指出此时数列的单调性． 2．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 3．设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 4．已知数列的前项和为，且满足． (1)求证：数列是等比数列． (2)求数列的最大值． 【题型7 数列恒成立问题】 1．已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求； (3)已知数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 3．记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 4．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【题型8 数列新定义问题】 1．对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 2．已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 3．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； (2)设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； (3)设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 4．给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与 “接近”. (1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由； (2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数； (3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围. 1．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（   ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 3．数列的前n项和为，若对任意恒成立，则=______． 4．若数列满足，，且对于都有，则________． 5．已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，，求. (3)已知数列是公比大于1的等比数列，且，，，若数列是严格递减数列，求实数λ的取值范围. 6．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，设是数列的前项和，若存在常数，使不等式对任何正整数都成立，求的最小值. (3)已知数列满足（为正整数），且集合为正整数有且仅有两个元素，求实数的取值范围. 1．已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．设为正整数，且，，，．若对任意的，长为、、的线段均能构成三角形的三边，则满足条件的共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 3．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 4．已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 5．定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 6．设数列的前项和为，若，则称具有 “性质”． (1)已知数列具有＂性质M＂，其前5项依次为，求的取值范围； (2)已知数列各项均为正数，且成等差数列．判断是否具有 “性质”，并说明理由； (3)设数列是公比为的等比数列，若数列与都具有＂性质M＂，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $