暑假作业06 数列解答题专练（巩固培优,3知识12题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 系统整合等差等比数列概念、公式、性质及求和方法，通过12类题型构建“知识梳理-题型突破-素养提升”的完整训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3大知识点（含定义、公式、性质、结论）|等差等比定义法、基本量运算、5种求和技巧（错位相减等）|从概念生成到公式推导，再到性质应用，形成“定义-公式-性质-结论”递进链条| |题型训练|12类题型（含基本量运算、判定、求和等）|结构不良问题选择策略、新定义问题转化方法、跨学科融合建模|题型与方法一一对应，典例覆盖高频考点，突出数学运算与模型意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 数列解答题专练 【知识点1 等差数列】 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是___________，那么称这样的数列为___________数列. 数学语言表达式：___________为常数. (2)等差中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的_______中项.根据等差数列的定义可以知道，___________. 2.等差数列的通项公式与前项和公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为______________________. (2)前项和公式：_________________________________. 3.等差数列的性质 (1)与项有关的性质 ①等差数列中，若公差为，则，当时，. ②在等差数列中，若，则.特别地，若，则. ③若数列是公差为的等差数列，则数列，为常数)是公差为的等差数列. ④若数列是公差分别为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. ⑤数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项，，组成的数列仍是等差数列，公差为. (2)与和有关的性质 ①等差数列中依次项之和，，，…组成公差为的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和.若等差数列的项数为，则，；若等差数列的项数为，则是数列的中间项)，. ③为等差数列为等差数列. ④两个等差数列的前项和之间的关系为 4.等差数列常用结论 (1)已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为. (2)在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值. (3)等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列. (4)数列是等差数列. 【知识点2 等比数列】 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是___________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的___________，通常用字母表示. 数学语言表达式：为非零常数. (2)等比中项：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，，我们称为的___________中项. 2.等比数列的通项公式及前项和公式 (1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：___________. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，______________________. 3.等比数列的性质 (1)与项有关的性质 ①在等比数列中，(，). ②在等比数列中，若，则. ③在公比为的等比数列中，取出项数成等差数列的项，，仍可组成一个等比数列，公比是. ④个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积. ⑤若均为等比数列，公比分别为，则仍为等比数列，且公比为仍为等比数列，且公比为；仍为等比数列，且公比为. ⑥当是公比为的正项等比数列时，数列是等差数列，首项为，公差为. (2)与和有关的性质 ①等比数列连续项的和仍为等比数列，即，，仍为等比数列，且公比为，或且为奇数. ②在等比数列中，若项数为，则. ③在等比数列中，当时，. ④在等比数列中，. 4.等比数列常用结论 (1)若数列(项数相同)是等比数列，则数列也是等比数列. (2)数列是等比数列，是其前项和. 若，则成等比数列. 若数列的项数为，则；若项数为，则，或. (3)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证. (4)等比数列的前项和，可以写成. (5)三个数成等比数列，通常设为；四个符号相同的数成等比数列，通常设为. 【知识点3 数列求和】 1.公式法 (1)等差数列的前项和. (2)等比数列的前项和， 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或其他可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. (5)并项求和法：将相邻、周期项两两或多项合并，每组化简为定值或简单数列，分奇偶项求和。 3.常用结论 (1)一些常见的数列的前项和 ①； ②； ③. (2)几种常见变形 ①； ②等差数列的公差为，则； ③； ④. 【题型1 等差数列基本量运算】 1．（25-26高三下·北京房山·期中）设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 2．（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 3．（25-26高三上·北京·期末）已知等差数列中，．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【题型2 等比数列基本量运算】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设 ，求证：是等比数列. 2．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 3．（25-26高三下·北京门头沟·期中）已知等比数列中，，. (1)求数列的前5项及前项和； (2)若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 【题型3 等差（比）数列的判定】 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）记为等比数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)判断是否成等差数列，并给出证明. 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设，求证：是等比数列. 3．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【题型4 等差（比）数列中结构不良试题】 1．（25-26高三下·北京房山·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：；条件②：；条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 2．（25-26高二上·全国·期末）已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和；②；③且. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 3．（24-25高二下·北京·期中）已知在数列中，，，_____，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和；②；③且． 【题型5 错位相减求和】 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 2．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【题型6 裂项相消求和】 1．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【题型7 分组求和】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【题型8 绝对值求和】 1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 3．（25-26高二上·山东·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【题型9 倒序相加求和】 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 2．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 3．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【题型10 并项求和】 1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 2．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 【题型11 新定义问题】 1．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 2．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 3．（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【题型12 数列的融合交汇问题】 1．（25-26高三上·宁夏中卫·期末）已知点和是椭圆上的两个点． (1)求的方程； (2)过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 2．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 3．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 4．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 1．（2026·北京延庆·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 2．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列满足，且为常数列． (1)求的值； (2)若，记的前项和为，求． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 6．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设离散型随机变量的取值为且，（）． (1)当数列为等差数列时，求． (2)若数列的通项公式为，求实数的值． (3)当数列满足时，求． 7．（25-26高一下·上海·期中）设等差数列的公差为且，记数列的前项和分别为． (1)若，求的值； (2)若，证明：对任意，数列都不是等比数列； (3)若数列是等差数列，且，求的值． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 1．（25-26高三下·北京·月考）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 3．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 4．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 数列解答题专练 【知识点1 等差数列】 1.等差数列的概念 (1)定义：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列. 数学语言表达式：为常数. (2)等差中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等差数列，那么叫作与的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，. 2.等差数列的通项公式与前项和公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为. (2)前项和公式：. 3.等差数列的性质 (1)与项有关的性质 ①等差数列中，若公差为，则，当时，. ②在等差数列中，若，则.特别地，若，则. ③若数列是公差为的等差数列，则数列，为常数)是公差为的等差数列. ④若数列是公差分别为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. ⑤数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项，，组成的数列仍是等差数列，公差为. (2)与和有关的性质 ①等差数列中依次项之和，，，…组成公差为的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和.若等差数列的项数为，则，；若等差数列的项数为，则是数列的中间项)，. ③为等差数列为等差数列. ④两个等差数列的前项和之间的关系为 4.等差数列常用结论 (1)已知数列的通项公式是(其中为常数)，则数列一定是等差数列，且公差为. (2)在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值. (3)等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列. (4)数列是等差数列. 【知识点2 等比数列】 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母表示. 数学语言表达式：为非零常数. (2)等比中项：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，，我们称为的等比中项. 2.等比数列的通项公式及前项和公式 (1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 3.等比数列的性质 (1)与项有关的性质 ①在等比数列中，(，). ②在等比数列中，若，则. ③在公比为的等比数列中，取出项数成等差数列的项，，仍可组成一个等比数列，公比是. ④个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积. ⑤若均为等比数列，公比分别为，则仍为等比数列，且公比为仍为等比数列，且公比为；仍为等比数列，且公比为. ⑥当是公比为的正项等比数列时，数列是等差数列，首项为，公差为. (2)与和有关的性质 ①等比数列连续项的和仍为等比数列，即，，仍为等比数列，且公比为，或且为奇数. ②在等比数列中，若项数为，则. ③在等比数列中，当时，. ④在等比数列中，. 4.等比数列常用结论 (1)若数列(项数相同)是等比数列，则数列也是等比数列. (2)数列是等比数列，是其前项和. 若，则成等比数列. 若数列的项数为，则；若项数为，则，或. (3)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证. (4)等比数列的前项和，可以写成. (5)三个数成等比数列，通常设为；四个符号相同的数成等比数列，通常设为. 【知识点3 数列求和】 1.公式法 (1)等差数列的前项和. (2)等比数列的前项和， 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或其他可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. (4)倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. (5)并项求和法：将相邻、周期项两两或多项合并，每组化简为定值或简单数列，分奇偶项求和。 3.常用结论 (1)一些常见的数列的前项和 ①； ②； ③. (2)几种常见变形 ①； ②等差数列的公差为，则； ③； ④. 【题型1 等差数列基本量运算】 1．（25-26高三下·北京房山·期中）设等差数列的公差不为0，，且． (1)求的通项公式： (2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 【答案】（1）（2）使成立的的最小值为8． 【详解】（1）设等差数列的公差为，． ，，解得或（舍）． 所以的通项公式为． （2）由题意可得， 令，解得或（舍）， 故使成立的的最小值为8． 2．（2026·河北张家口·三模）记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值． 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比中项的定义列出方程组，求解可得； （2）根据裂项相消求和法求得，分析其单调性，可得的最小整数值． 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，则， 即，则，因为，所以， 所以，解得，则，所以. （2）由（1）得，所以， 则， 因为对任意，，且单调递增，所以，则的最小整数值为1. 3．（25-26高三上·北京·期末）已知等差数列中，．数列的前项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列，求的前项和． 【答案】（1），（2） 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 所以，所以， 解得，所以，所以； 由， 当时，，解得， 当时，由，得， 所以，即， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以； （2）由（1）得， 所以， 所以 所以的前项和为：. 【题型2 等比数列基本量运算】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设 ，求证：是等比数列. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件计算出等比数列的公比；（2）运用等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）由题可知，将代入得， 解得或，又因为公比，所以； （2）由（1）可知，， ，，所以是等比数列. 2．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）等比数列中，，公比.对于数列，点都在函数的图象上，求： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)数列中最大项是第几项？（直接写出答案） 【答案】（1）（2）（3）. 【详解】（1）由题设且，则，则； （2）由题设，则； （3）由，其中为奇数时，为偶数时， 又，若第项最大为奇数且，则， 所以，整理得，则，所以. 3．（25-26高三下·北京门头沟·期中）已知等比数列中，，. (1)求数列的前5项及前项和； (2)若等差数列满足，，求的前项和，的最值及取得最值时的取值. 【答案】（1），，，，， （2）当时，取得最小值，无最大值. 【详解】（1）等比数列中，，所以公比. 又，所以，所以. 前5项分别为，，，，，. （2）由（1）知，，，所以，. 设等差数列的公差为，则， 由，得. 所以等差数列的通项公式为. 则. 为开口向上的二次函数，对称轴为， 因为为正整数，所以当时，取得最小值，.该数列无最大值. 故；当时，取得最小值，无最大值. 【题型3 等差（比）数列的判定】 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）记为等比数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)判断是否成等差数列，并给出证明. 【答案】(1)，(2)成等差数列 【分析】（1）由等比数列的性质，将已知条件转化为首项与公比的关系，结合前两项和求得公比，进而写出通项公式； （2）利用等比数列求和公式表示出各项和，通过代数变形验证相邻三项满足等差中项关系. 【详解】（1）已知数列为等比数列，所以， 因为，所以，解得或， 因为，所以，，所以，. （2）成等差数列，理由如下： 由(1)知， ，而， 因为，则， 所以，因此成等差数列. 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知等比数列的前项和为，公比，且，. (1)求公比的值； (2)设，求证：是等比数列. 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，将代入得， 解得或，又因为公比，所以； （2）由（1）可知，， ，，所以是等比数列. 3．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）是，理由如下： 因为，所以， 所以，故数列为等差数列，故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故，所以， 当时，，，，， 上述等式相加得，故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故，所以实数的取值范围是. 【题型4 等差（比）数列中结构不良试题】 1．（25-26高三下·北京房山·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和. 条件①：；条件②：；条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为.由等差数列性质得：，解得. 又，解得.因此通项公式为：,即. （2）选条件②：，所以​不是常数，不是等比数列，不符合要求. 选条件①：，代入得，则， 因此是首项，公比的等比数列. 由等比数列前项和公式：，符合要求. 选条件③：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求. 综上所述，选条件①：；选条件②：数列不是等比数列； 选条件③：不能判断数列是等比数列. 2．（25-26高二上·全国·期末）已知在数列中，，，______，其中.从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答. ①数列的前项和；②；③且. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得. 所以数列的通项公式为. （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得， 所以 ＝. 即. 3．（24-25高二下·北京·期中）已知在数列中，，，_____，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和；②；③且． 【答案】(1);(2)证明见解析;(3). 【详解】（1）若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则，可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得． 所以数列的通项公式为． （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得， 所以 ＝． 即． 【题型5 错位相减求和】 1．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）观察递推式，通过变形构造新数列，可发现其为等比数列，求出首项和公比后，即可得到新数列通项，进而还原出的表达式； （2）通项是等差数列乘等比数列，采用错位相减法：先写出的展开式，两边同乘公比后与原式相减，对差式中的等比数列部分求和，化简整理即可得到． 【详解】（1）由，得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，解得； （2）①， ②， ①②得， ，所以． 2．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ，故数列的通项公式为． （2）由，则， 所以， ， 两式相减得： ， 所以． 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用与的关系化简原式求解； （2）错位相减法求前项和 【详解】（1）因为，所以， 两式相减并整理得，则， 当时，，则，所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则，所以. （2）由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 【题型6 裂项相消求和】 1．（2026·江西·一模）已知数列中，，满足． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由题意，，则，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列.所以，则. （2）由，则， 所以即. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，，整理得，解得舍去. 当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，由， 得. 所以数列的前项和， 得，因此，. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，； ，， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足；综上所述：； （2）， 则； 4．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题中条件，利用作差法求出数列的通项公式. （2）先根据（1）求出，再对列项，然后通过列项相消法求. （3）分n为偶数和奇数两种情况，根据数列的单调性，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， 当时，， 两式相减得，当时，， 当时，，上式也成立，综上，数列的通项公式为． （2）由（1）可知，所以，， 则，所以数列的前项和. （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为偶数时，单调递增，所以，则， 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增，所以，则，则， 综上所述，所以实数的取值范围为. 【题型7 分组求和】 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题设可得，进而求证即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由，得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 所以. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用的关系得到，则是等比数列，求出其通项公式，进而得到数列的通项公式； （2）根据（1）中的结果分组求和即可. 【详解】（1）已知，当时，有， 两式相减得， 整理得，又当时， 得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为，则的通项公式为. （2）由（1）可得. 3．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知是等差数列，是等比数列，且，，，. (1)求的通项公式； (2)设，（），求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用等比数列、等差数列通项公式计算即可； （2）运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 已知，，则，则，， 又因为，，则，， 根据等差数列的通项公式，则，即，解得， 所以等差数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，则， 因为，（），所以， 则数列前项和为， 其中，， 因此，即数列的前项和为. 【题型8 绝对值求和】 1．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【详解】（1）当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； （2）设数列的前项和为， 由，则当时，，，此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知数列满足． (1)求证数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，求数列的前项和． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据所给递推关系，取倒数后利用等差数列定义证明，再利用等差数列通项公式可求出； （2）根据裂项相消法求和； （3）先证明数列为等差数列，求其前项和为，再分类讨论求即可. 【详解】（1）由可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以，所以. （2）因为， 所以 （3）因为数列为等差数列，所以， 所以，所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，设前项和为， 则，令，解得， 当时，，所以， 当时，, 综上，. 3．（25-26高二上·山东·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求和的通项公式； (2)求. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求解； （2）令，分段求数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，所以，所以等差数列的公差， 所以，所以. （2）令，为数列的前项和，则， ，. 当时，， 当时，. 综上，. 【题型9 倒序相加求和】 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 则，得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 2．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有？ 【答案】(1)(2)不存在 【分析】（1）由题意得，结合倒序相加法即可求解； （2）通过放缩说明当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大即可求解. 【详解】（1）由于，即， 所以，解得． （2）不存在． ， 说明，当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以不存在常数，使得． 3．（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以，即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得，所以． 【题型10 并项求和】 1．（25-26高二上·宁夏·期末）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)；(2)30 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 2．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组求解出和，然后写出的通项公式. （2）先根据题目条件求出，然后写出数列的通项公式，再利用并项求和法求出. 【详解】（1）记等差数列的公差为，成等比数列， ，即，整理得. 又，即，联立解得或. 当，此时；当，此时. （2）由（1）以及数列为递增数列可得. ，. . 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项的和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比中项解关于公差的方程得，再求解通项公式即可； （2）先根据累加法得，再结合等差数列求和公式，根据分组求和法求解即可. 【详解】（1）根据题意，设是公差为，且, 因为，且成等比数列，所以，即，即，解得. 所以，即的通项公式为. （2）因为，， 所以，，，…，， 所以，根据累加法得， 所以 又，满足，所以， 所以数列的前20项的和为 ， 这是一个首项为3，末项为39，项数为10的等差数列求和， 所以数列的前20项的和为. 【题型11 新定义问题】 1．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)；(2)不是，理由见解析. 【分析】（1）利用给定定义计算得解. （2）根据给定的定义，借助变形，结合等比数列定义判断即可. 【详解】（1）由正项数列是“数列”，得，则，而，所以. （2）由正项数列是“数列”，得，， 则，即，而， 因此，当时，， 两式相减得，即，而， 则，又，即，则， 由，得，即不满足，所以数列不是等比数列. 2．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1)(2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列， 得，则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，，解得或（不符合题意舍去）， 所以，此时数列，因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中，故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异，所以； （ii）， ， 则. 3．（2026·北京石景山·一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． (1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； (2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； (3)已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 【答案】（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列” （2）不是“等比源数列” （3）详见解析 【详解】（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列”． 中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”； 中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列， 且这四者的其他次序也不构成等比数列，所以不是“等比源数列”． （2）不是“等比源数列”． 假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列， 即中存在的，，三项成等比数列， 也就是，即， ，两边时除以得， 等式左边为偶数， 等式右边为奇数． 所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列． 综上可得不是“等比源数列”． （3）证明：因为等差数列单调递增，所以． 因为则，且，所以数列中必有一项． 为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项， 使得成立，即， 即成立． 当，时，上式成立． 所以中存在，，成等比数列． 所以，数列为“等比源数列“． 【题型12 数列的融合交汇问题】 1．（25-26高三上·宁夏中卫·期末）已知点和是椭圆上的两个点． (1)求的方程； (2)过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）将点代入椭圆方程，可得，即， 将与点的坐标代入椭圆方程，可得，，解得， 因为，，所以椭圆的方程为. （2）设过点的切线方程为， 将代入椭圆方程，得到，展开并整理可得， 因为直线与椭圆相切，所以：， 化简得，所以，即，解得， 将，代入， 可得，即， 因为直线与椭圆相切，所以， 将代入，可得， 将代入上式，可得， 所以数列的通项公式为： . 2．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而，则，又，所以. （2）由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而， 所以. 3．（2026·山东德州·一模）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）（ii）证明见解析 【详解】（1）因为 当时，则，所以， 可得，且，则， 即，可得，所以函数在上单调递增， （2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称，则在，处取到最大值，在，处取到最小值， 可得， 综上所述： （ii） 方法一：数学归纳法证明不等式成立， 当时，左边，右边，因为，所以不等式成立， 假设当时不等式成立，即成立， 则当时，左边 所以当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式. 令， 所以，即 ， 综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三：， 4．（2026·河北·模拟预测）篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直接影响．某教练指导三名学员B，C，D进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练手里，由教练进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B，C，D其中一人，学员控球训练1分钟后，将球传出，传给教练的概率为，传给另外两名学员的概率均为，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了3次传球，求教练控球2次的概率． (2)设分别表示第次传球后由A，B控球的概率． （i）求的表达式及其最大值； （ii）若数列的前项和为，求． 【答案】(1)；(2)（i），其最大值为；（ii）. 【分析】（1）分析给定信息，将问题转化为两个互斥事件的和，并结合概率的乘法公式计算即得. （2）（i）由给定信息可得，，再利用构造法求出数列通项，按分奇偶求出最大值；（ii）由（i）的结论求出，进而求出，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）第1次传球后必为学员控球，第2次传球后教练控球的概率为，学员控球的概率为， 若第2次传球后教练控球，则第3次传球后必为学员控球，学员控球的概率为1； 若第2次传球后学员控球，则第3次传球后教练控球的概率为， 四人进行了3次传球，教练控球2次的事件是初始控球及只在第2次控球的事件， 与初始控球及只在第3次控球的事件的和，概率为， 所以四人进行了3次传球，教练控球2次的概率为. （2）（i）因规则对学员B, C, D完全对称，且第1次传球后他们控球的概率相等，故之后任意一次传球后他们控球的概率均相等， 可记为，则，又， 因此，即，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，， 于是，当为正奇数时，， 当为正偶数时，，而数列单调递减，则当时，取最大值， 所以的表达式为，其最大值为. （ii）由（i）得，， 因此，，， 两式相减得，所以. 1．（2026·北京延庆·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【详解】（1）已知， 所以，所以， 两边同除以，得，因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，，时，也满足， 因为，所以，解得，又，所以的最大值为. 2．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知数列满足，且为常数列． (1)求的值； (2)若，记的前项和为，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由为常数列可得，结合关系可求； （2）由（1）结合可得，证明为等差数列，结合等差数列求和公式求结论. 【详解】（1）因为为常数列，所以，即， 又，所以． （2）由（1）知时，数列是常数列，又，所以，即． 因为，所以数列是首项为0，公差为2的等差数列， 所以． 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知等差数列的前项和为，且，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的首项和公差，从而列方程组求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）对求导后，可知是等差乘等比结构的求和问题，用错位相减法即可计算出结果． 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为， 又对恒成立，所以有， 联立， 即， 解得 所以 ，故数列的通项公式为． （2）由，则， 所以， ， 两式相减得：， 所以． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则，由已知，故， 两式相除得，结合，解得，又，故，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2)①证明见解析② 【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得：， 则． 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以，所以实数m的取值范围是． 6．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）设离散型随机变量的取值为且，（）． (1)当数列为等差数列时，求． (2)若数列的通项公式为，求实数的值． (3)当数列满足时，求． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用离散型随机变量的概率和为，结合等差数列求和，即可求得； （2）利用离散型随机变量的概率和为，结合裂项相消法求和，即可求得； （3）利用离散型随机变量的概率和为，结合数列的递推关系和累乘法，即可求得. 【详解】（1）离散型随机变量的概率和满足， 因为为等差数列，所以前99项和为，由，得； （2）离散型随机变量的概率和满足， 由， 则，所以； （3）离散型随机变量的概率和满足， 令，， 则，整理得，， 由累乘法可得：，即可得， 又，即，故. 7．（25-26高一下·上海·期中）设等差数列的公差为且，记数列的前项和分别为． (1)若，求的值； (2)若，证明：对任意，数列都不是等比数列； (3)若数列是等差数列，且，求的值． 【答案】(1)3(2)证明见解析(3)． 【详解】（1），所以，所以， （2）由，得等差数列通项：，因此． 假设数列是等比数列，则对任意正整数，都满足（为公比）， 代入得： 约去整理得： 展开后对比等式两边同次幂系数： 二次项系数：，因，得； 一次项系数：，得，与条件矛盾，故假设不成立 所以对任意，数列都不是等比数列； （3）为等差数列，，即， ，即，解得或． ．又，由等差数列的性质知，， 即，即，解得或（舍） 当时，，解得，与矛盾，舍去； 当时，，解得，符合题意． 综上，． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）根据递推关系得出是等差数列，结合通项公式可得答案，通过构造等比数列可求的通项公式； （2）利用分组求和的方法及错位相减法可求答案； （3）利用古典概率的求法可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为，由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项，所以所求概率． 1．（25-26高三下·北京·月考）无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）. （2）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，，考虑数列的前项： 其中至少有项的取值相同， 不妨设此时有：矛盾. 故对于任意的正整数，必存在，使得. （3）当时，数列为. 特别地，，，故对任意的： 若为偶数，则； 若为奇数，则. 综上，恒成立，特别地，取，有当时，恒有成立. 假设存在，使得“存在， 当时，恒有成立”，则数列的前项为： 后面的项顺次为： 对任意的，总存在，使得，，这与矛盾， 故若存在，当时，恒有成立，必有. 综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件. 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7.(2)单调递减，证明见解析(3)46 【分析】（1）求出、、、、后，根据“默契数列”的定义判定即可； （2）由“默契数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解； （3）根据数列及其“默契数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解. 【详解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为，，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，，又因为，所以有， 所以，即成立，所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，．所以，所以，所以 因为，所以， 又， 则，即，，所以．所以的最大值是46． 3．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）是等差数列，理由解析 【分析】（1）先利用递推公式结合的定义验证满足等差中项性质即可证明； （2）结合前项和与的关系推导第二问的等式即可证明； （3）通过与的递推关系推导的通项公式，判断其为等差数列 【详解】(1)证明： 由题意得，对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得，又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为，所以，故成等差数列，证毕.； (2)证明：因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和，所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； (3)数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有，令（），得， 因为，所以， 验证时也成立，所以，对所有， ， 当时，，两式相减得：， 展开整理得，令，代入上式得（）， 可变形为，又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 4．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】（1）最大值为252（2）存在，详见解析（3）详见解析 【详解】（1）数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． （2）数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． （3）必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $