精品解析：山东青岛市市北区2025-2026学年八年级下学期期末数学质量调研

八年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 网约车公司2025年用2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在2026年计划用2400万元继续购入该款新能源车，由于产能规模调整，该款新能源汽车的售价产生变化，设2025年售价为x万元，若x满足，则下列说法正确的是（ ） A. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，多购入20辆车 B. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，少购入20辆车 C. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，多购入20辆车 D. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，少购入20辆车 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①的平方根是2； ②有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④如果三个内角的度数比是，那么是直角三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 因式分解：_________． 11. 如图，中，，平分，，，则的面积是___________． 12. 如图，在中，，将沿方向平移到（点在线段上），若，则平移距离是________． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为4，则的面积为________． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 15. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 16. 如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有________（填写序号）． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17. 尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在四边形中找到一点M，使M到、的距离相等，并且的距离最短． 18. 按要求解答问题： （1）化简：； （2）解分式方程：； （3）解不等式组：． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中找一点P，使得； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰． 20. 对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）______； （2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？ 21. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以秒的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以秒的速度向点B运动，若其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长______； （2）当时，求运动时间t的值． 22. 在学完分式和不等式的内容后，小明想知道：当时，与的大小关系．于是小明采取了如下探究策略： （1）问题探究： 特殊情形 ①当时，若 作差法： 由，得，，，故差值 结论： ②当时，若 当时，______（填“>”、“<”或“=”）； 当时，______（填“>”、“<”或“=”）； （2）问题解决： 一般情形 请你参考问题探究的过程，当时，比较与大小． 23. 如图，四边形是平行四边形，，，连接、， （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 24. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价少20元，经过测算，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．售出时，甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，将两种商品全部售出后获利最多是多少？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品涨价m元（），乙商品售价不变，如果将两种商品全部售出后的利润至少是8000元，请直接写出m的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． （1）点的坐标为__________； （2）求出直线的函数关系式； （3）若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，但是中心对称图形．故本选项不合题意； D、它是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 2. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 3. 小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出剩余阅读天数，再根据“按时或提前完成”的要求，得到总阅读页数不低于图书总页数，即可列出不等式． 【详解】解：∵两周总天数为 天，第1天已经阅读， ∴剩余天数为 天， ∵要求按时或提前完成阅读，即总阅读页数不少于图书总页数142页， ∴总阅读页数为第一天阅读页数加上剩余天数阅读总页数，满足不等式： ． 4. 如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据相等垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出，由此可得答案． 【详解】解：∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5. 网约车公司2025年用2700万元购置了一批新能源汽车投入市场运营，在2026年计划用2400万元继续购入该款新能源车，由于产能规模调整，该款新能源汽车的售价产生变化，设2025年售价为x万元，若x满足，则下列说法正确的是（ ） A. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，多购入20辆车 B. 该款新能源汽车2026年比2025年涨价，少购入20辆车 C. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，多购入20辆车 D. 该款新能源汽车2026年比2025年降价，少购入20辆车 【答案】C 【解析】 【分析】明确方程中各代数式的实际意义，结合题意判断售价变化和购买数量的变化即可. 【详解】解：∵2025年该款车售价为万元，2026年售价为万元， ∴可得2026年售价比2025年降价， 又∵表示2025年购置的车辆总数，表示2026年购置的车辆总数， 将原方程移项可得， 即2026年购置的车辆数比2025年多辆，因此选项C正确. 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①的平方根是2； ②有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④如果三个内角的度数比是，那么是直角三角形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根定义、全等三角形判定、平行四边形判定和直角三角形判定逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①，的平方根是，因此①是假命题； ②根据全等三角形的判定定理，只有两边及其夹角对应相等才能判定两个三角形全等，若这个角不是两边的夹角，无法判定全等，因此“有两边和一角对应相等的两个三角形全等”是假命题； ③如图，点E，F，G，H分别是各边的中点， 连接， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 所以“顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形”是真命题． ④若三个内角的度数比是，根据三角形内角和为，可得三个内角分别为，，，因此是直角三角形，④是真命题． 综上，真命题共有2个． 7. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将纵坐标代入正比例函数求出交点的横坐标，得到交点坐标，再根据两直线图象位置关系，交点右侧一次函数图象更高，得出对应不等式解集． 【详解】解：∵点在直线上，且纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴交点坐标为， 直线的图象在直线上方时，对应的的取值范围， 从图中可知：在交点的右侧，即时，在上方，满足不等式， ∴不等式的解集为． 8. 如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 9. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 10. 因式分解：_________． 【答案】． 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 如图，中，，平分，，，则的面积是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：6． 12. 如图，在中，，将沿方向平移到（点在线段上），若，则平移距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知平移距离等于对应点间的距离，即，因此，结合图形中线段的关系，求出，即可解答． 【详解】解：由平移可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平移距离是． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，进而求出的面积，再根据平行四边形对边平行可得与同底等高，从而得出的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵四边形是平行四边形，  ， ∴点到的距离等于点到的距离， 与同底等高， ． 14. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 15. 对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据符号[x]的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】∵ ∴5＞≥4 解得＞≥7 整数有7,8,9,共3个. 【点睛】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 16. 如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有________（填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可证是等边三角形，得出，结合可得四边形是等腰梯形，即可判断①．根据三角形外角的性质可得，根据角的和差可得，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，再次用勾股定理求出，即可得出的长，从而判断②．根据三角形中位线定理求出，即可判断③；根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可推导出与的关系，即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ． 平分， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴与不平行， ∵， ∴四边形是等腰梯形．故①正确． ∵，， ， ， ， ∵ ， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，，故②正确． ， 点是的中点， 在中，点是的中点， 是的中位线， ， ∵， ，故③正确． 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17. 尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在四边形中找到一点M，使M到、的距离相等，并且的距离最短． 【答案】解：如图，点即为所求. 【解析】 【分析】结合角平分线的性质以及垂线段最短，作的平分线，再过点作角平分线的垂线，垂足为点，则点即为所求． 【详解】略 18. 按要求解答问题： （1）化简：； （2）解分式方程：； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2）无解 （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． （1）在图①中找一点P，使得； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； （3）在图③中以为边画一个等腰． 【答案】（1）如图①，点P即为所求（答案不唯一）； （2）如图②，即为所求（答案不唯一）； （3）如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【小问1详解】 解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴； 【小问3详解】 解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求． 20. 对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）______； （2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）11 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以秒的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以秒的速度向点B运动，若其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长______； （2）当时，求运动时间t的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，进一步表示． （2）根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，过作于，过作于，进一步可得，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时，如图， 即， ∴， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时，如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． 22. 在学完分式和不等式的内容后，小明想知道：当时，与的大小关系．于是小明采取了如下探究策略： （1）问题探究： 特殊情形 ①当时，若 作差法： 由，得，，，故差值 结论： ②当时，若 当时，______（填“>”、“<”或“=”）； 当时，______（填“>”、“<”或“=”）； （2）问题解决： 一般情形 请你参考问题探究的过程，当时，比较与大小． 【答案】（1）； （2）当或时，；当，时，；当，则． 【解析】 【分析】（1）根据所提供探究思路作差比较即可； （2）对一般情形作差，分三种情况讨论：①若；②若；③若，；④若，，分别讨论差值的正负，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 由，，得，， ∴， ∴， ∴． 当时，， 由，，得，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． ∵， ∴． 分以下情况讨论： ①若，则， ∴，即， ∴． ②若，则； ③若，，即时，， ∴， ∴． ④若，，即，相当于时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，；当，时，；当，则． 23. 如图，四边形是平行四边形，，，连接、， （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵由（1）有， ∴， ∴， ∵由（1）有， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即可证明，根据全等三角形的性质得出结论； （2）由平行四边形得到，，结合得出，由得到，，即可证明，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价少20元，经过测算，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．售出时，甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，将两种商品全部售出后获利最多是多少？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品涨价m元（），乙商品售价不变，如果将两种商品全部售出后的利润至少是8000元，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）甲商品的进价为60元，乙商品的进价为80元 （2）全部售出后获利最多是6500元． （3） 【解析】 【分析】（1）设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为元，根据“用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同”列出方程，求解并检验即可； （2）设购进甲商品n件，两种商品全部售出后获利w元，列出w关于n的函数解析式，再求出出自变量n的取值范围，根据一次函数的增减性求解即可； （3）列出调价后的利润关于n的函数解析式，结合判断函数增减性，找到最小利润，列不等式求解得到m的范围． 【小问1详解】 解：设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：甲商品的进价为60元，乙商品的进价为80元． 【小问2详解】 解：设购进甲商品n件，两种商品全部售出后获利w元，则 ， ∵n应满足， 解得， ∵， ∴w随n的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为． 答：将两种商品全部售出后获利最多是6500元． 【小问3详解】 解：根据题意，得两种商品全部售出后总利润 ， ∵， ∴， ∴w随n的增大而增大， ∵由（2）有， ∴当时，w取得最小值，为 ∵要使总利润至少为8000元，即， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． （1）点的坐标为__________； （2）求出直线的函数关系式； （3）若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F，证明，得到，由此得到点； （2）利用待定系数法求出解析式； （3）设，分三种情况①当为边，且点P在y轴下方时，②当为边，且点P在y轴上方时，③当为对角线时，根据平行四边形对角顶点的坐标关系列方程组解答． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F， 由旋转得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设直线的函数关系式为， 则， 解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 设， ①当为边，且点P在y轴下方时，如图， ， 解得， ∴； ②当为边，且点P在y轴上方时，如图， 则， 解得， ∴； ③当为对角线时，如图， 得， 解得， ∴， 综上，存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $