4.4.3两个一次函数图象的应用（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两个一次函数图象的应用”，核心知识点涵盖交点的几何代数及实际意义、图象位置与函数值大小关系、实际应用场景及解题步骤。课堂通过复习一次函数性质搭建支架，衔接新知。 其特色在于结合上网套餐、销售盈利等实际情境，以图象分析培养几何直观与模型意识，例题分层设计强化运算能力和推理意识。易错总结助力学生规避错误，教师使用可提升教学效率，学生能体会数学应用价值。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 4.4.3两个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 北师大版八年级上册4.4.3 两个一次函数图象的应用 练习题 【核心知识点回顾】 1. 两一次函数交点的核心意义（重中之重） 在同一坐标系中，有两个一次函数 $$y_1=k_1x+b_1$$、$$y_2=k_2x+b_2$$。两直线交点的坐标 $$(x,y)$$，同时满足两个函数解析式。交点横坐标是方程 $$k_1x+b_1=k_2x+b_2$$ 的解，代表两个函数值相等时的自变量取值。 2. 图象上下位置与函数值大小关系 以两直线交点为分界点：① 在交点左侧：上方直线对应的函数值更大；② 在交点右侧：上方直线对应的函数值更大；③ 交点处：$$y_1=y_2$$，两函数值相等。 3. 实际应用场景 常用于两种计费方案、两种行驶路线、两种消费方式的对比问题。通过图象可快速判断：自变量取何值时方案一划算、方案二划算、两种方案费用相同。 4. 解题步骤 ① 列出两个一次函数解析式；② 联立方程求出交点坐标；③ 根据图象左右位置判断函数值大小；④ 结合实际情境作答。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 两个一次函数图象的交点坐标对应的意义是（） A. 两个自变量相等 B. 两个函数值相等 C. 无特殊意义 D. 函数值为0 2. 若两直线 $$y_1=2x+1$$，$$y_2=-x+4$$ 交于一点，则交点处（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法比较 3. 在交点右侧，直线 $$y_1$$ 在 $$y_2$$ 上方，则（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 恒成立 4. 解决两种套餐划算问题，关键是找到（） A. 原点 B. 两函数图象交点 C. x轴交点 D. y轴交点 5. 方程组 $$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$$ 的解对应图象的（） A. 与x轴交点 B. 与y轴交点 C. 两直线交点坐标 D. 任意点 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 两个一次函数图象的交点横纵坐标，同时________两个函数解析式。 2. 比较两个函数值大小，应以________为分界点。 3. 直线上方的函数值一定________下方的函数值。 4. 方案对比问题中，交点代表两种方案________的时刻。 5. 求两直线交点需要________两个函数解析式解方程。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知两个一次函数 $$y_1=2x-1$$，$$y_2=-x+5$$。（1）求两直线交点坐标；（2）说明x取何值时 $$y_1>y_2$$。 2.（20分）A、B两种上网套餐：A套餐 $$y_1=0.5x+10$$；B套餐 $$y_2=1.5x$$（x为上网时长，单位：小时）。求两种套餐费用相等时的上网时长。 3.（20分）已知甲、乙两车行驶的一次函数图象交于点(4,120)，说明该交点的实际意义。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 填空题答案：1.满足 2.交点 3.大于 4.费用相等（效果相同） 5.联立 解答题解析 1. 解：（1）联立解析式：$$2x-1=-x+5$$，解得 $$x=2$$，代入得 $$y=3$$，交点坐标为$$(2,3)$$；（2）由图象可知，交点右侧$$y_1$$在上，故当 $$x>2$$时，$$y_1>y_2$$。 2. 解：费用相等即 $$y_1=y_2$$，$$0.5x+10=1.5x$$，解得 $$x=10$$。答：上网10小时时，两种套餐费用相等。 3. 解：交点(4,120)的实际意义：行驶4小时时，甲、乙两车行驶的路程相等，均为120千米。 ### 易错知识总结 1. 不会区分交点左右的函数值大小，记反上下关系；2. 解方程求交点时计算出错；3. 实际应用题不会翻译交点的实际意义；4. 混淆单个函数与两个函数的解题逻辑，忘记联立方程。 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系. 进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识. 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣. 复习导入 想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 中: 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限. 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 一级标题：黑体， 3 如图，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 知识点1 两个一次函数图象的应用 根据图象填空： (1) 当销售量为2t时， 销售收入为 元，销售成本 为 元. (2) 当销售量为6t时， 销售收入为 元，销售成本 为 元. 知识点1 两个一次函数图象的应用 2000 3000 6000 5000 O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 (3) 当销售量 时，销售收入等于销售成本. (4) 当销售量 时，销售收入大于销售成本，该公司盈利；当销售量 时，销售收入 小于销售成本，该公司亏损. 知识点1 两个一次函数图象的应用 4t 大于4t 小于4t O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 (5) 当销售量为 t时，该公司盈利1000元. (6) l1对应的函数表达式是 ， l2对应的函数表达式是 . (7) 你能借助(6)的结论求解(5)吗? 知识点1 两个一次函数图象的应用 6 y=1000x y=500x+2000 (7)由“盈利1000元”，得 1000x-(500x+2000)=1000， 解得x=6. O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 图中，设l1对应的一次函数为y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数为y=k2x+b2，k2和b2的实际意义各是什么? 知识点1 两个一次函数图象的应用 k1的实际意义是：每销售1t产品的销售收入. b1的实际意义是：未销售时，销售收入为0元. O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 图中，设l1对应的一次函数为y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么?设l2对应的一次函数为y=k2x+b2，k2和b2的实际意义各是什么? 知识点1 两个一次函数图象的应用 k2的实际意义是：每销售1t产品的销售成本. b2的实际意义是：未销售时，为销售所花的成本为2000元. O 1 x/t y/元 2 1000 l1 l2 2000 3 4 5 3000 4000 5000 6000 知识点1 两个一次函数图象的应用 在同一平面直角坐标系中，当自变量取相同的值时： 下方的图象对应函数的函数值小，上方的图象对应函数的函数值大，交点处两个函数的函数值相等. 图象交点的含义： 几何意义：两个一次函数图象的交点表示两条直线的公共点即该点同时在两条直线上. 代数意义：两个一次函数图象的交点坐标同时满足这两个函数表达式，即把交点的横、纵坐标分别代入这两个函数表达式中都成立. 实际意义：不同的实际问题，横、纵坐标代表的量一般也 不同，交点表示的含义也不同. 知识点1 两个一次函数图象的应用 例1 如图是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙.图中，l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 知识点1 两个一次函数图象的应用 例1 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1) 哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系? 知识点1 两个一次函数图象的应用 解：(1) 当t=0时，甲到观景台1的路程为0m，即s=0， 故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间 之间的关系. 例1 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (2) 甲和乙哪个人的速度快? 知识点1 两个一次函数图象的应用 (2) t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1000， l2上点的纵坐标增加了600， 即 20min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快. (3) 30min内甲能否追上乙? 知识点1 两个一次函数图象的应用 (3) 如图，延长l1，l2 ，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方， 这表明，30min时甲尚未追上乙. O 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 t/min s/m l1 l2 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 P 例1 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (4) 到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙? 知识点1 两个一次函数图象的应用 (4) 到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙? 知识点1 两个一次函数图象的应用 (4) 在图中，l1与l2的交点P的纵坐标小于(800+1300=)2100， 这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. O 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 t/min s/m l1 l2 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 P 例1 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (5) 设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2，k1，k2的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? 知识点1 两个一次函数图象的应用 (5) k1表示甲的速度， k2表示乙的速度. 甲的速度是50m/min， 乙的速度是30m/min. 回顾 应用一次函数解决问题的过程，对不同解决方法有什么体会? 用一次函数解决问题，常见方法有关系式法(通过设函数表达式，代入已知点求参数，用表达式分析问题)、 图象法(画出函数图象，借助图象的增减性、交点等直观解题). 知识点1 两个一次函数图象的应用 回顾 应用一次函数解决问题的过程，对不同解决方法有什么体会? 关系式法精准，适合定量计算； 图象法直观，利于分析变化趋势和交点意义； 不同方法各有优劣，结合使用可更全面高效解决问题，比如复杂计算用关系式，快速看趋势用图象. 知识点1 两个一次函数图象的应用 知识点 两个一次函数图象的实际应用 1. 如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程y(km)随时间x(h)变化的图象，则下列结论错误的是(　　) A.轮船的速度为20 km/h B.快艇的速度为40 km/h C.轮船比快艇先出发2 h D.快艇到达乙港用了6 h 返回 (第1题) D 基础提优题 2.［2025济南］A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(h)的关系如图所 示，则他们相遇时距离A地　　　　km. 返回 (第2题) 基础提优题 3. 春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品盒，该网商通过调研，发现这种礼品盒的来源有两种方案： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用y1(单位：元)与礼品盒的数量x(单位：盒)满足如图所示的函数关系. 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这 种礼品盒，所需费用(包括租赁机器的费用和生 产礼品盒的费用)y2(单位：元)与礼品盒的数量x (单位：盒)满足如图所示的函数关系. 返回 基础提优题 请回答下列问题： (1)方案一中，礼品盒的单价为　　　　元. 返回 3 基础提优题 (2)求出y1，y2关于x的函数表达式. 返回 【解】设y1关于x的函数表达式为y1＝k1x. 因为该函数图象经过点(500，1 500)，所 以1 500＝500k1，解得k1＝3.所以y1关于x的函数表达式为y1＝3x.设y2关于x的函数表达式为y2＝k2x＋b.因为该函数图象经过点(0，1 000)和(1 500，4 000)，所以1 500k2＋b＝4 000，b＝1 000，解得k2＝2.所以y2关于x的函数表达式为y2＝2x＋1 000. 基础提优题 (3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由. 返回 【解】令3x＝2x＋1 000，解得x＝1 000， 所以当x＝1 000时，两种方案同样省钱； 当x＜1 000时，选择方案一更省钱； 当x＞1 000时，选择方案二更省钱. 基础提优题 4. 甲、乙两个工程队分别同时挖掘两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，以下信息一定正确的有(　　) ①甲队挖掘20 m，用了2 h； ②开挖6 h后，甲队比乙队多挖掘10 m； ③乙队从开挖2 h后到6 h之间，每小时挖掘5 m； ④开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 (第4题) D 综合应用题 返回 (第4题) 【点拨】由题图可知，开挖6 h，甲队一共挖掘60 m，所以甲队的速度为＝10(m/h).所以甲队挖掘20 m，用了2 h，故①正确；由题图可知，开挖6 h后，甲队挖掘了60 m，乙队挖掘了50 m，所以甲队比乙队多挖掘10 m，故②正确； 综合应用题 返回 (第4题) 由题图可知，乙队从开挖2 h后到6 h之间挖了50－30＝20(m)，则易知每小时挖掘5 m，故③正确；开挖4 h后，甲队挖了10×4＝40(m)，乙队挖了30＋5×(4－2)＝40(m)，则开挖4 h后，甲、乙两队所挖河渠长度相等，故④正确. 综合应用题 5. 已知甲、乙两地相距480 km，一辆出租车从甲地出发前往乙地，一辆货车沿同一条公路从乙地出发前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120 km，货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，则下列说法： ①a＝120； ②点F的坐标为(8，0)； ③出租车从乙地返回甲地的速度为128 km/h； ④出租车原路返回的过程中，货车出发 h或 h时 都与出租车相距12 km. 其中正确的是　　 　　.(填序号) 返回 (第5题) ①②③ 综合应用题 返回 【点拨】由题图可得C(4，480)，设OC所在直线的表达式为y＝kx，把(4，480)代入y＝kx得480＝4k，解得k＝120，则OC所在直线的表达式为y＝120x.把(1，a)代入y＝120x，得a＝120，故①正确.由图象得货车行驶 h后开始停下来装货物，装完后发现此时与出租车相距120 km. (第5题) 综合应用题 返回 因为a＝120，所以货车装完货物时与乙地相距120 km，所以此时出租车距离乙地120＋120＝240(km)，所以出租车距离甲地480－240＝240(km).把y＝240代入y＝120x，得240＝120x，解得x＝2，所以货车装完货物时，x＝2，则B(2，120).根据货车改变速度继续出发 h后与出租车相遇，可得×(出租车的速度＋货车的速度)＝120 km. (第5题) 综合应用题 返回 根据题图易知出租车的速度为120 km/h，所 以相遇时，货车的速度为120÷－120＝60 (km/h)，故可设BG所在直线的表达式为y＝ 60x＋b，将(2，120)代入y＝60x＋b，得120＝ 2×60＋b，解得b＝0，所以BG所在直线的表达式为y＝60x，故货车装完货物后前往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y＝60x. (第5题) 综合应用题 返回 把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，所以G(8，480)，所以F(8，0)，故②正确.根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15 min到达甲地，易知E，即E，所以出租车原路返回的速度为480÷＝128(km/h)，故③正确. (第5题) 综合应用题 返回 设在出租车原路返回的过程中，货车出发z h与出租车相距12 km，此时货车距离乙地60z km，出租车距离乙地128(z－4)＝(128z－512) km，分以下两种情况讨论：出租车和货车第二次相遇前相距12 km时，可得60z－(128z－512)＝12，解得z＝； (第5题) 综合应用题 返回 出租车和货车第二次相遇后相距12 km时，可得(128z－512)－60z＝12，解得z＝，故出租车在原路返回的过程中，货车出发 h或 h时都与出租车相距12 km，故④错误. (第5题) 综合应用题 用一次函数图象解决问题 在同一平面直角坐标系中，当自变量取相同的值时，下方的图象对应函数的函数值小，上方的图象对应函数的函数值大，交点处两个函数的函数值相等. 利用一次函数的图象解决“比较大小”“方案选择”等实际问题 注意横纵坐标分别对应什么 利用图象给出的信息解决问题 $