4.3.1　正比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦正比例函数的图象和性质，从函数图象定义导入，联系前节一次函数图象的直观认知，以“是否为直线”设问，通过画y=2x的列表、描点、连线操作，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以“探究-操作-概括”为主线，通过画y=2x、对比y=-3x等实例培养几何直观和推理意识，课堂小结用“认知逻辑”梳理知识脉络帮助构建模型。学生能提升探究能力和知识结构化，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

第1课时　 正比例函数的图象和性质 第四章　一次函数 3 探究与应用 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象,本章教材图4-1就是摩天轮上某一点离地面的高度h(单位:m)与旋转时间t(单位:min)之间函数关系的图象,借助图象可以直观地认识函数.在前一节学习中,我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线,真是这样吗?我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧! 探究1　正比例函数的图象 概念导入 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 画正比例函数y=2x的图象. (1)为了画出函数的图象,首先需要选取一些自变量的值,并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示.那么,列表时选取自变量x的哪些值呢?观察这个函数表达式,x可以取0吗?可以取正数吗?可以取负数吗?将下面的表格补充完整. 解:(1)x可以取任意实数,可以是0,正数,负数;列表如下(不唯一): 操作思考 x … 　  　  　  　  　  … y … 　  　  　  　  　  … -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)以你所列表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. 图4-3-1 x … 　  　  　  　  　  … y … 　  　  　  　  　  … -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 解:(2)描点,如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)这些点真的在一条直线上吗?你能画出这条直线吗? 解:(3)在一条直线上,可以画出. 连线:把这些点依次连接起来,得到y=2x的图象,它是一条直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上吗? 解:(4)其他满足y=2x的点(x,y)也在上面画出的直线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 画函数图象的一般步骤:　　　　、　　　　、　　　　.  列表 概括新知 描点 连线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)在图4-3-1中画正比例函数y=-3x的图象. 思考交流 图4-3-1 解:(1)如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象有什么共同特点?一般地,正比例函数y=kx的图象有何特点?与同伴进行交流. 解:(2)正比例函数y=2x和y=-3x的图象都是过原点的一条直线,正比例函数y=kx的图象也是过原点的一条直线. 图4-3-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在画正比例函数图象时,我们通常过点(0,0)和点(1,k)画直线. 巧 画图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 正比例函数y=kx的图象是一条经过　　　　　　　　的直线.因此,画正比例函数图象时,只要再确定一个点,过这个点与　　　　画直线就可以了.  概括新知 原点(0,0) 原点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 探究2　正比例函数的性质 (1)在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x,y=3x,y=-x和y=-4x的图象. 尝试思考 解:(1)正比例函数y=x的图象经过(0,0),(1,1)两点; 正比例函数y=3x的图象经过(0,0),(1,3)两点; 正比例函数y=-x的图象经过(0,0),(2,-1)两点; 正比例函数y=-4x的图象经过(0,0),(1,-4)两点. 画图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)上述四个函数中,随着x值的增大,y的值分别如何变化?相应图象上的点的变化趋势如何? 解:(2)在正比例函数y=x,y=3x中,y的值随着x值的增大而增大,图象上的点从左到右在升高;y=-x和y=-4x中,y的值随着x值的增大而减小,图象上的点从左到右在降低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在正比例函数y=kx中,当k>0时,y的值随着x值的增大而　　　　;当k<0时,y的值随着x值的增大而　　　　.  概括新知 增大 减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)正比例函数y=x和y=3x中,随着x值的增大,y的值都增大了,其中哪一个增大得更快?你能解释其中的道理吗? 思考交流 解:(1)正比例函数y=3x增大得更快.解释其中的道理:自变量每增加1,函数y=x的函数值增加1,而函数y=3x的函数值增加3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(2)函数y=-4x减小得更快.判断方法:根据图象可知函数y=-4x的图象比函数y=-x的图象陡一些,由此判断自变量增加相同的单位,函数y=-4x的函数值要比函数y=-x的函数值减小得快(判断方法不唯一). (2)类似地,正比例函数y=-x和y=-4x中,随着x值的增大,y的值都减小了,其中哪一个减小得更快?你是如何判断的?与同伴进行交流. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 正比例函数y=kx的图象与k的关系 |k|越大,直线越陡,直线与x轴的夹角(锐角)就越大,直线越靠近y轴,y的值随着x值的增大而增大(或减小)得越快. 明 关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 应用　利用正比例函数图象的性质解决问题 减小 (1)已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0), ①若图象经过第二、四象限,那么y的值随着x值的增大而　 (填 “增大”或“减小”);  ②若函数值y随着自变量x值的增大而减小,那么符合条件的正比例函数可以是　　　 　(只需写出一个).  (2)已知点P1(1,y1),P2(2,y2)在正比例函数y=-x的图象上,则y1　　 y2 (填“>”“<”或“=”).  例 1 y=-2x(答案不唯一) > 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 减小 已知正比例函数y=-x和y=-3x.它们的函数值y都随x的增大而　　　　,且函数y=-3x的y值比函数y=-x的y值　　　　得更快,即直线y=-3x比直线y=-x更　　　　(填“陡”或“平”).  例 2 减小 　陡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图4-3-2,三个正比例函数的图象分别对应关系式:①y=ax, ②y=bx,③y=cx,将a,b,c从小到大排列,并用“<”连接为　　　　　　.  例 3 a<c<b 图4-3-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 比较正比例函数值的大小的方法 (1)已知函数关系式及相应自变量的值,直接代入自变量的值求出函数值,最后再比较函数值即可; (2)当自变量的值未知时,借助正比例函数y=kx的性质比较大小:当k>0时,y的值随x的值的增大而增大;当k<0时,y的值随x的值的增大而减小. 寻 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.正比例函数y=x的图象大致是 (　　) | 课堂检测 | A 图4-3-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.关于正比例函数y=-5x,下列结论正确的是(　　) A.图象必经过点(-1,-5) B.图象经过第一、三象限 C.y随x的增大而减小 D.不论x取何值,总有y<0 3.对于正比例函数y=-3x,当x1=-3,x2=0,x3=2时,对应的y1,y2,y3之间的大小关系为　　　　　　　　(用“>”连接).  C y1>y2>y3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知正比例函数y=kx. (1)若函数y的值随着x的增大而减小,则k的取值范围是什么? 解:(1)因为函数y的值随着x的增大而减小,所以k<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若点(1,-2)在它的图象上,求它的表达式. 解:(2)当x=1,y=-2时,k=-2, 即y=-2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $