4.2.2 一次函数与正比例函数（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的定义、关系及应用，通过“均匀变化”复习导入，结合弹簧长度、汽车耗油量等实际问题表格，引导学生从具体情境抽象函数关系式，搭建从实际到数学概念的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，培养抽象能力和模型意识，如用弹簧、汽车问题抽象出y=kx+b形式。通过“一次函数整式型，次数为一系数恒”等口诀小结，强化推理与运算能力。学生能提升数学眼光与思维，教师可借助清晰结构和典型例题提高教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 4.2.2一次函数与正比例函数 第四章 一次函数 4.2.2 一次函数与正比例函数 精讲复习（北师大版八年级上册） 一、一次函数的定义（核心必考） 若两个变量 $$x、y$$ 之间的关系式可以表示成 $$y=kx+b$$（$$k、b$$ 为常数，$$k eq0$$）的形式，则称 y是x的一次函数。 关键条件缺一不可： 1. 自变量 $$x$$ 的次数为 1（不能是0、2、-1、分数次）； 2. $$k、b$$ 为常数； 3. k≠0（k=0就不是一次函数）； 4. 解析式为整式形式（分母不含x、根号不含x）。 本质：一次函数 = 均匀变化函数，是最标准的均匀变化模型。 二、正比例函数的定义（特殊的一次函数） 在一次函数 $$y=kx+b$$ 中，当 b=0 且 $$k eq0$$ 时，函数变为 $$y=kx$$，称 y是x的正比例函数。 正比例函数必备条件： 1. 形式：$$y=kx$$； 2. $$k eq0$$； 3. 无常数项（$$b=0$$）。 三、一次函数与正比例函数的包含关系（超级易混） 1. 正比例函数一定是一次函数（特殊的一次函数）； 2. 一次函数不一定是正比例函数（有常数项b≠0时不是）； 3. 关系口诀：正比包含于一次，无常数为正比，有常数为一次。 四、函数类型判定标准（选择题秒杀） 1. 是正比例函数 满足：$$x$$次数为1、整式、$$k eq0$$、$$b=0$$ 2. 是一次函数但非正比例 满足：$$x$$次数为1、整式、$$k eq0$$、$$b eq0$$ 3. 不是一次函数 ① $$x$$次数不是1：$$y=x^2、y=x^3$$（二次、三次）； ② 分母含x：$$y=\dfrac{1}{x}$$（反比例函数）； ③ 根号含x：$$y=\sqrt{x}$$； ④ $$k=0$$：$$y=b$$（常数函数，无变化，不属于均匀变化）。 五、解析式参数求解题型（必考大题） 1. 已知是一次函数，求字母参数 解题两步法：次数=1，系数k≠0 例：若 $$y=(m-2)x^{|m|-1}+3$$ 是一次函数，求m。 解：由题意得：$$|m|-1=1$$ 且 $$m-2 eq0$$ 解得 $$m=\pm2$$，舍去 $$m=2$$，得 $$m=-2$$。 2. 已知是正比例函数，求字母参数 解题三步法：次数=1，k≠0，b=0 六、一次函数的实际意义 一次函数对应均匀变化： 1. $$k$$ 代表变化速率： $$k>0$$ 均匀递增，$$k<0$$ 均匀递减； 2. $$b$$ 代表初始值（x=0时的y值）； 3. 正比例函数是初始值为0的均匀变化。 七、自变量取值范围 1. 纯数学解析式：一次函数、正比例函数自变量取值为全体实数； 2. 实际问题：自变量必须符合实际（时间、长度、数量≥0，人数为整数等）。 八、典型例题精讲 例1 区分函数类型 判断下列函数哪些是一次函数、哪些是正比例函数： $$y=3x、y=-2x+1、y=\dfrac{1}{x}、y=x^2、y=5$$ 解： 一次函数：$$y=3x、y=-2x+1$$； 正比例函数：$$y=3x$$； 其余均不是一次函数。 例2 正比例函数参数计算 已知$$y=(k+3)x^{k^2-8}$$ 是正比例函数，求k。 解：次数为1、系数不为0： $$k^2-8=1$$ 且 $$k+3 eq0$$ 解得 $$k^2=9$$，$$k=\pm3$$，舍去 $$k=-3$$，得 $$k=3$$。 九、高频易错点（考试重灾区） 1. 判定一次函数忘记 $$k eq0$$，导致参数多解、错解； 2. 误以为正比例函数和一次函数是并列关系，实际是包含关系； 3. 将反比例、二次函数误判为一次函数； 4. 认为 $$y=kx$$ 一定是正比例函数，忽略 $$k eq0$$； 5. 参数题只看次数，不验证系数，步骤扣分。 十、本节万能口诀 一次函数整式型，次数为一系数恒； k不为零是底线，b为零是正比例； 正比属于一次里，有常无常要分清； 均匀变化一次专，曲线全都不算行。 通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展抽象思维能力、数学建模思想。 能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。 能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力。 1.“均匀”变化是指：一个变量增加______的数值时，另一个变量的改变量是_______的. 相同 固定 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ··· 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ··· 2. 根据下面表格试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 之间的关系式. l=22.9－0.5t（45.8≥t≥0） 复习导入 复习导入 在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）与所挂物体的质量 x （单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 (1) 随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的变化是“均匀”的吗? 是“均匀”变化的. 探索新知 探索新知 (2) 写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由. 在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）与所挂物体的质量 x （单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 理由如下：分析表格可知，弹簧的原长为 3 cm，每挂 1 kg 重的物体，弹簧长度就每增加 0.5 cm，所以得出 y＝0.5x＋3. y=0.5x＋3 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km耗油 4 L. 行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量 y/L 0 4 8 12 16 24 （1）请完成下表. 尝试·思考 20 （2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式. （3）写出油箱剩余油量 z（单位：L）与汽车行驶路程 x 之间的关系式. 或 y＝0.08x 或 y＝－0.08x+40 行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量 y/L 0 4 8 12 16 24 20 在上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特征？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.08x （3）z ＝ －0.08x ＋ 40 y ＝ kx ＋ b 这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 观察·思考 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 函数是一次函数 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0) 关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0) ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的结构特征有哪些？ 思考1 正比例函数一定是一次函数？ 思考2 对一次函数而言，自变量每增加1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的. y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0） 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ (1) y=－； (3) y=1+8x； (4) y=x2+2x+1； 正比例函数：（1） (2) y = ； 一次函数：（1）、（3） 【例1】 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ 由路程＝速度×时间，得 y＝60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数； (1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的关系； 解 （2）圆的面积 y（单位：cm2）与它的半径 x（单位：cm）之间的关系； 由圆的面积公式，得 y＝πx2， y 不是 x 的正比例函数，也不是x的一次函数； （3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，经过 x h 这个水池内有水 y m3. 这个水池每小时增加水 5 m3，x h增加水 5x m3，因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. 解 解 思考·交流 （1）例1中， y＝60x 和 y＝15＋5x 两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少？它们的实际意义是什么？ （2）一般地，k ，b 对一次函数 y=kx＋b 有怎样的影响？与同伴进行交流. （1）刹车开始时汽车的速度为 120 km/h，每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h，于是经过 t s 汽车的速度减少了 35t km/h，所以 y 与 t 的关系式是 y= -35t+120. 其中，k= -35 表示每秒汽车速度的变化量，b=120 表示刹车开始时汽车的速度. 解 【例2】在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h. (1) 假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间 t（单位：s）之间的关系式 y=kt+b，并说明 k 和 b 的实际意义； （2）汽车停止时速度 y=0，解方程 0= -35t+120，得t=≈3.43. 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间约为 3.43 s. 解 【例2】在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h. (2) 求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间（结果精确到0.01s）. 1. 下列函数中，是正比例函数的是(　A　) A. y＝－8x B. y＝－ C. y＝5x2＋6 D. y＝－0.5x－1 2. 某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以 20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水 量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式 为 ⁠ ，该水池注满水需 h。 A V＝10＋20t　 4　 随堂练习 3. 如图，△ABC的边BC长为10cm，BC边上的高 为6cm，D点在BC边上运动。设BD长为xcm，则 △ACD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式 为 ，此函数是 函数(填“正 比例”或“一次”)。 y＝30－3x　 一次　 随堂练习 4. 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ 解：(1)由题意得m－1≠0， ∴m≠1. (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0， ∴m＝ . 解：(1)由题意得m－1≠0， ∴m≠1。 解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0， ∴m＝ 。 随堂练习 知识点1 一次函数的概念 1.下列函数：①y＝4x；②y＝－；③y＝；④y＝－4x＋5；⑤y＝2x2－4；⑥y＝kx＋b.其中一次函数的个数是(　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 返回 C 基础提优题 2.［2026六安期末］已知函数y＝(m－1)x｜m｜＋5是一次函数，则m的值为(　　) A.－1　　 B.1　　 C.±1　　 D.2 返回 A 此题易忽略一次函数y＝kx＋b中而致错. 基础提优题 知识点2 正比例函数的概念 3.下列关系中，成正比例函数关系的是(　　) A.正方形的面积与边长 B.三角形的周长与边长 C.圆的面积与它的半径 D.速度一定时，路程与时间 返回 D 基础提优题 4.已知y＝(m－2)x＋｜m｜－2. (1)m满足什么条件时，y＝(m－2)x＋｜m｜－2是一次函数？ 返回 【解】由题意得m－2≠0，解得m≠2. 基础提优题 (2)m满足什么条件时，y＝(m－2)x＋｜m｜－2是正比例函数？ 返回 【解】由题意得｜m｜－2＝0，且m－2≠0，解得m＝－2. 基础提优题 一次函数与正比例函数 概念 关系 依据实际问题的意义 列出相应的表达式 一次函数 正比例函数 形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数 当 b＝0时，y=kx 叫作正比例函数 课堂小结 课堂小结 $