精品解析：天津市河北区2025-2026学年高二第二学期期末质量检测数学试卷

河北区2025－2026学年度第二学期期末高二年级质量检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至8页. 第I卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么 如果事件，相互独立，那么 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 6. 设都是正数，则的最小值是（　　） A. 12 B. 16 C. 26 D. 36 7. 已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B. C. 当时，残差为 D. 点一定在经验回归直线上 8. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线异面 B. 平面平面 C. 截面是梯形 D. 直线平面 9. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 第II卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.答案填在题中横线上. 10. 已知复数，则复数的模为________． 11. 的展开式中的系数为__________． 12. 在中，若，则=_____________ 13. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 14. 已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 15. 已知函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之积不大于1（若的图象与的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称与是一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的序号是_________. ①与 ②与 ③与 ④与 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合； （3）若，，求的值. 17. 已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长； （3）若，且，求的面积． 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 20. 已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若在上存在零点． ①求实数的取值范围； ②记的极值点为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025－2026学年度第二学期期末高二年级质量检测 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至8页. 第I卷（选择题 共45分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： 如果事件，互斥，那么 如果事件，相互独立，那么 球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 因此. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件. 【详解】由，解得或， 故由能够推出；由不能够推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 4. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出. 【详解】由于服从正态分布，且，故其均值. 而服从二项分布，故，再由，就有，得. 故选：D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质得，再由函数的单调性进行判断． 【详解】因为，所以，则，即， 故， 由于函数在区间上单调递减，所以． 6. 设都是正数，则的最小值是（　　） A. 12 B. 16 C. 26 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由都是正数，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 7. 已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B. C. 当时，残差为 D. 点一定在经验回归直线上 【答案】C 【解析】 【分析】先计算平均数，再由回归直线经过样本中心得，判断B；由回归直线方程求得预测值即可判断A；由回归方程求出预测值，计算残差值即可判断C；将点坐标代入回归直线方程即可判断D. 【详解】 因，， 因为必过样本中心点，则有，解得. 对于A：年对应，代入得 ，但该预测值不是确定值，故A错误； 对于B：计算得，故B错误； 对于C：当时，实际值，预测值 ，残差 ，故C正确； 对于D：时，点为即，代入回归方程得， 故点不在回归直线上，故D错误. 8. 如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线异面 B. 平面平面 C. 截面是梯形 D. 直线平面 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：可证，可知四点共面，即可判断A；对于B：可证平面平面，结合平面平面分析判断；对于C：根据面面平行可证，可知分别为的中点，进而分析判断；对于D：直线与不垂直即可判断. 【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则， 又因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故A错误； 对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 同理可得：，， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面， 则，且，则， 又因为为的中点，则为的中点，可得， 且，可得，所以截面是梯形，故C正确； 对于选项D：由选项C可知平面即为平面， 显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误. 9. 已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 第II卷 注意事项： 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上. 3.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.答案填在题中横线上. 10. 已知复数，则复数的模为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 则． 11. 的展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得的系数为 ， 故答案为： 12. 在中，若，则=_____________ 【答案】2 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理得,结合正弦定理得，代入计算得到答案； 【详解】由三角形内角和定理得, 由正弦定理得. 故答案为： 13. 已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可解答. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为 . 14. 已知非零向量，的夹角为，.若，则_________；若对于任意的，恒成立，则_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用向量垂直数量积为0结合代入计算求解空1，将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空2； 【详解】由，可得，则； 由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 15. 已知函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之积不大于1（若的图象与的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称与是一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的序号是_________. ①与 ②与 ③与 ④与 【答案】①③④ 【解析】 【分析】构造新函数，则函数与的图像交点的横坐标即为函数的零点，则只需判断函数的所有零点之积是否不大于1即可. 【详解】令，根据题意可得， 若的所有零点之积不大于1，则称与是一组“小积函数”. ①，，则， ，所以在R上单调递增， ，， 则有唯一零点，且零点在，故与是一组“小积函数”； ②，，则，， 令，则，即在R上单调递增， 且，， 则在存在唯一零点，当时，，即，单调递减； 当时，即，单调递增，大致图像如图所示： 因为，， ，则有两个零点，， 且，故与不是一组“小积函数”； ③，，则为偶函数， 当时，，在时单调递减， 且，，则在存在唯一零点， 当时， 单调递增；当时，，单调递减， 大致图像如图所示： 因为，所以在时， 有两个零点，，则， 因为为偶函数，根据对称性可知故有四个零点， 且这四个零点之积小于1，故与是一组“小积函数”； ④，，则， 因为，所以， 若，则，即的零点之积等于1，故与是一组“小积函数”. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）求使成立的的取值集合； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简，由单调性求解； （2）由三角不等式进行求解； （3）由二倍角公式进行求解． 【小问1详解】 , 由，得， 而，则取，得， 故函数在上的单调递增区间为． 【小问2详解】 由，得，得， 得， 得， 故使成立的的取值集合． 【小问3详解】 若，，得， 得，， 则． 17. 已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长； （3）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合已知条件化简求出，再结合三角形内角范围求解； （2）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得出的周长； （3）由已知条件得出是中点，利用向量平方和余弦定理构造方程求出，进而求出的面积． 【小问1详解】 ， 故， ，则，解得． 【小问2详解】 ，解得， 由余弦定理， 则，解得， ， ． 【小问3详解】 由可知是中点，是中线， 则， 则，故， 由余弦定理， 两式相减得，解得， 故． 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 19. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （或等价形式） （3） 【解析】 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【小问1详解】 已知，则， 进而. 【小问2详解】 令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. 【小问3详解】 由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 20. 已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）设，若在上存在零点． ①求实数的取值范围； ②记的极值点为，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②由①可知，且，于是在上单调递增， 要证，只需证，即证， 又，则， 即证， 记，， 只需证在时恒成立 则 ； 记， ， 因为，则，， 所以，故在上单调递增，于是， 而有，于是在上单调递增，所以，证毕． 【解析】 【分析】（1）不等式恒成立，分离构造新函数，则求导找的单调区间，确定函数先增后减，求出，从而解出参数范围； （2）①时导数，函数单调增，无法满足零点条件，直接排除，时导函数单调递增，存在唯一变号零点，使得，原函数先减后增，极小值点唯一，极小值，配合区间端点函数值正负，满足零点存在条件，限定参数范围即可； ②利用两式消去参数，建立关系式，欲证，结合前面函数单调性，转化为证明函数值，等价变形后构造单变量辅助函数，，求导研究单调性，证函数，即可得到原不等式成立. 【小问1详解】 由已知，令，，则． 因为， 令，解得；令，解得， 所以在单调递增，在单调递减， 从而，因此． 所以实数的取值范围 【小问2详解】 ①，，且， 因为，若，则对任意的，， 于是在上单调递增， 所以，在上无零点，不合题意； 若，记，因， 所以在上单调递增， 注意到，时，；时，， 所以存在唯一的，使得，且在上单调递减，在上单调递增． 若，则在上单调递增，而，显然不符合题意 若，则在上单调递减，在上单调递增． 因此，时，， 故存在唯一的，使得，符合题意； 此时在单调递减，在单调递增， 于是只需即可，即 综上，所求取值范围为 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $