精品解析：天津市宁河区潘庄中学2025-2026学年高一下学期学科练习二数学校考

潘庄中学2025-2026学年度第二学期高一年级学科练习二 （数学学科） 一、单选题（共36分，每题4分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据空间中各要素的位置关系，充分与必要条件的概念，即可求解． 【解答】因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足， 所以若，时，则，又，所以，即充分性成立； 若，，，则或， 则或m与n相交或异面，即必要性不成立， 所以“”是““的充分非必要条件． 故选：B． 3. 已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24π cm2，则该圆柱的体积为（ ） A. 12π B. 14π C. 16π D. 18π 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆柱表面积公式求出底面圆半径，再求出体积即得. 【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱母线长为， 由圆柱表面积为24π，得，解得， 所以该圆柱的体积为（）. 故选：C 4. 有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8，①这组数据的中位数是3；②这组数据的方差是；③这组数据的众数是8；④这组数据的第百分位数是.以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、方差及百分位数的运算判断即可. 【详解】把这一组数据从小到大排列：数据2，3，3，3，6，7，8，8，则该组的众数为3， 中位数为，平均数为， 方差为， 因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，即. 所以正确的结论有：②④，共2个. 故选：B 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又， 解得，，故A正确； 对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确； 对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误； 对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确. 故选：C. 7. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，证得，则EF平面ABC1D1，从而得出判断；对于B，证得平面ABC1D1，从而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，从而得出判断；对于C，由，得EF与AD1所成角为，在中求解即可得出判断；对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判断． 【详解】对于A，连接BD1，在中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正确； 对于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB， 又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1， 又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由，得EF与AD1所成角为. 在中，，所以， 所以EF与AD1所成角不为60°，故C错误； 对于D，由，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角， 在中，，所以，故D正确． 故选：C． 9. 如图,在正方体中,对于以下三个命题: ①直线与直线所成角的大小为; ②直线与平面所成角大小为 ; ③直线与平面所成角大小为 . 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案. 【详解】在正方体中， 且， 所以为平行四边形， 所以 所以直线与直线所成角等于直线与直线 所成角， 即， 而是正方体的面对角线，所以相等， 所以为等边三角形，故， 故①正确. 在正方体中， 平面， 所以直线与平面所成角为 ， 故②错误. 连接交于，则， 在正方体中， 平面， 所以， 平面， ， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在直角三角形中，， 所以 所以直线与平面所成角大小为 . 故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题. 二、填空题（共30分，每题5分） 10. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率. 【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 11. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可. 【详解】根据题意，是边长为的等边三角形， 设其外接圆的圆心为， 则， 因球心到平面的距离为，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故答案为： 12. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】将该四棱锥放在长方体中，由异面直线的夹角的余弦值求出棱锥的高，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】解：将此四棱锥放在长方体中，连接，由题意知，所以与所成的角等于与所成的角， 所以，设，因为底面是边长为2的正方形， 在中，由余弦定理可得， 即 解得，设外接球的半径为，则， 所以外接球的表面积为：， 故答案为：． 【点睛】考查棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的表面积公式，属于中档题． 13. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可. 【详解】 如图所示，连结，交于点，很明显平面， 则是四棱锥的高，且， ， 结合四棱锥体积公式可得其体积为 ， 故答案为. 点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】球心在正四面体的高上，设底面三角形外接圆圆心为,，根据球半径相等列方程，进而求出半径，即可求出表面积. 【详解】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为, 则, 设,则, 所以外接球半径为,所以表面积为, 故答案为: . 15. 已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出外接圆的半径，设直三棱柱外接球的半径为，则，即可求出，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， 设外接圆的半径为，则， 又直三棱柱的高，设直三棱柱外接球的半径为， 则，即，解得， 所以外接球的体积. 故答案为： 三、解答题（共34分） 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 17. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接交于O点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； （2）证明：取BC中点为H，连接, F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故，即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取BC中点为H，先证明平面，再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （3）证明平面，根据等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知为直线EF与平面ABC所成角，即， 由，E为AB中点，则； 又，得， 又底面，底面，故， 而平面，故平面， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潘庄中学2025-2026学年度第二学期高一年级学科练习二 （数学学科） 一、单选题（共36分，每题4分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24π cm2，则该圆柱的体积为（ ） A. 12π B. 14π C. 16π D. 18π 4. 有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8，①这组数据的中位数是3；②这组数据的方差是；③这组数据的众数是8；④这组数据的第百分位数是.以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 6. 某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 满意度计分的众数约为75分 C. 满意度计分的平均分约为79分 D. 满意度计分的第25百分位数约为70分 7. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中错误的是（ ） A. EF平面 B. C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面所成角的正弦值为 9. 如图,在正方体中,对于以下三个命题: ①直线与直线所成角的大小为; ②直线与平面所成角大小为 ; ③直线与平面所成角大小为 . 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共30分，每题5分） 10. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________． 11. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为______． 12. 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为________________. 13. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 14. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为________． 15. 已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱的外接球的体积为________． 三、解答题（共34分） 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 17. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $