精品解析：天津市宁河区芦台第一中学2025-2026学年度第二学期第一次学情诊断高一数学试题

芦台一中2025－2026学年度第二学期第一次学情诊断 高一数学 一、单选题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 长度一样的两个向量相等 B. 平行的两个向量为共线向量 C. 零向量的大小为0且没有方向 D. 方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 3. 在△ABC中，“”是“A＜B”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性． 【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理，得．若，则由正弦定理，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即是A＜B的充要条件．故选C. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化. 4. 已知向量，，，且，，则 A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果. 【详解】因为向量，，，且，， 所以，解得：，即，， 所以，因此. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型. 5. 已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再求出、，最后根据向量在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以， ， 又是与方向相同的单位向量，所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D 6. 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ） A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，垂心 【答案】B 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】由，可得到三个顶点的距离相等，所以为的外心； 因为，所以，为的中点， 所以所在直线经过中点，与中线共线， 同理可得，分别与边的中线共线，所以是三角形中三条中线的交点，所以是重心； 因为，所以， 所以，所以，所以， 同理得到另外两个向量都与相应边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：B. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 8. 已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，再逆用两角差的正弦公式及三角形内角和定理求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 所以或， 即(舍去)或， 故为直角三角形， 故选：C 9. 已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解． 【详解】在中，由，可得， 根据，得，， 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，则， 设为平面内满足的点， 则有，， 则， 由于P在单位圆上，可设，， 则， 故的取值范围为 故选:A 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 在中，，，，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式求解. 【详解】 在中，. 11. 已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 13. 已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，的面积，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】先求出，利用面积公式求出，直接利用余弦定理即可求得. 【详解】在中，因为，由正弦定理得：. 因为，所以，所以，所以， 因为,所以，所以. 因为的面积，所以,所以. 由余弦定理得：,即， 所以，解得：. 故答案为：8 14. 如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用线性运算得到，然后根据三点共线得到，最后解不等式即可. 【详解】，所以，因为三点共线，所以，解得. 故答案为：. 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，，则______；若为线段上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得的坐标，根据数量积的坐标运算，求得；设，表示出的表达式，结合二次函数性质求得的最小值. 【详解】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则， ∴， ∵E是对角线上一点，且，可得， ∴，， ∴； 因为点F为线段（含端点）上的动点，则设, 故， 所以，， 故， 由于，所以时，取到最小值， 即的最小值为， 故答案为：； 三、解答题（本题共4小题，共54分） 16. 已知向量. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或（2） 【解析】 【分析】（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程. （2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题. 【详解】（1）法一:设， 则， 所以 解得 所以或 法二:设， 因为，，所以， 因为，所以 解得或， 所以或 （2）因为向量与互相垂直 所以，即 而，，所以， 因此， 解得 【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题. 17. 已知.求： （1）与的夹角； （2）； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得，即可求解； （2）根据题意，求得，即可求得的值； （3）由与夹角为钝角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 因为， 可得， 即，解得， 又因为的取值范围为，可得. 【小问2详解】 由，且， 可得 所以. 【小问3详解】 若与夹角为钝角，则满足且与不共线 所以，即，解得， 令，可得，解得， 综上可得且，即求的取值范围. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求的值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，故，求出； （2）（ⅰ）在（1）的基础上，由余弦定理得，故，由三角形面积公式得到答案； （ⅱ）由正弦定理得到，由余弦定理得到，由余弦差角公式得到答案. 【小问1详解】 由已知及正弦定理，可得①， 又，代入①式得， ， 整理得， 因为，所以，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以， 整理得，解得或（舍），所以的值为3， 所以的面积为. （ⅱ）由正弦定理，得，有， 由余弦定理得， 又，， 故 . 19. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芦台一中2025－2026学年度第二学期第一次学情诊断 高一数学 一、单选题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 长度一样的两个向量相等 B. 平行的两个向量为共线向量 C. 零向量的大小为0且没有方向 D. 方向相反的两个向量互为相反向量 2. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 3. 在△ABC中，“”是“A＜B”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，且，，则 A. 3 B. C. D. 5. 已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（ ） A. 外心，重心，内心 B. 重心，外心，垂心 C. 重心，外心，内心 D. 外心，重心，垂心 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 9. 已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 在中，，，，则的值为______． 11. 已知向量，满足，，则______． 12. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 13. 已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，的面积，则___________. 14. 如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则__________． 15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，，则______；若为线段上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共4小题，共54分） 16. 已知向量. （1）若向量，且，求的坐标； （2）若向量与互相垂直，求实数的值. 17. 已知.求： （1）与的夹角； （2）； （3）若与夹角为钝角，求的取值范围. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求的值. 19. 已知的内角的对边为，且 （1）求; （2）若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $