四川成都市2025-2026学年高一下学期期末调研数学自编模拟试题

**基本信息** 2025-2026高一下成都期末模拟数学卷，覆盖复数、向量、立体几何等核心知识，通过梯度题型考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数象限、向量投影、立体几何位置关系|基础巩固，如第3题空间线面关系判断，考查空间观念| |多选题|3题|三角公式、正方体动态问题|能力提升，如第10题正方体动点体积与二面角，体现推理能力| |填空题|3题|菱形向量运算、圆柱异面直线角、解三角形多解|创新应用，如第14题三角形两解范围，考查数学眼光| |解答题|5题|向量运算、复数应用、立体几何综合、解三角形、三角函数变换|综合探究，如17题面面垂直证明与体积比，18题角平分线面积最小值，体现数学思维与语言|

2025-2026学年度高一下期成都市期末调研模拟 数学 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 4．已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 5．在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．把一个上底半径，下底半径，高为的玻璃圆台融化后铸成一个玻璃球（不计损耗）则球的半径为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 10．在棱长为2的正方体中，是棱上的动点，，分别是，的中点，是该正方体的中心，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．二面角的平面角的正切值的取值范围为 D．到点的距离小于等于到正方体每个顶点的距离的点所构成的几何体的体积是 11．下列命题中，正确的是(    ) A．若向量，则与的夹角为 B．若非零向量与的夹角为，则” “是”为锐角”的充分不必要条件 C．若平面向量，，，若，则的最小值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 三、填空题 12．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 13．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．   14．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 四、解答题 15．已知向量，． (1)若，求的值； (2)设，，求的取值范围． 16．已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为． (1)若复数为纯虚数，求实数a的值； (2)若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限．求实数a的取值范围． 17．如图，在四棱锥中， 是正三角形，. (1)求证:平面平面; (2)设 求二面角的余弦值. (3)若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面内，若四棱锥的体积与球O 的体积分别为，求的值. 18．在中，． (1)求； (2)设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 19．已知． (1)若，求的最小正周期和初始相位； (2)根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； (3)若且对任意恒成立，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年度高一下期成都市期末调研模拟 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D C B B ABD ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，是第二象限点. 2．B 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 3．B 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 4．C 【分析】先根据坐标运算得，再根据向量夹角公式列方程求解即可. 【详解】，， ， ，的夹角与，的夹角相等， ，即，解得， 5．D 【分析】由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得，再由平分结合面积公式，可得，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】已知， 由余弦定理，又，所以， 由等面积法知，又平分， 则，又， 所以有，即， 因此， 当且仅当时取等． 6．C 【分析】应用圆台的体积公式及球的体积公式计算求解. 【详解】圆台体积公式得， 设球的半径为，再应用球的体积公式得，所以 7．B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 8．B 【分析】由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解. 【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度， 可得：， 当，可得， 则， 因为存在唯一实数，使得， 即是的子集，且唯一， 由图像可知， ， 所以实数的取值范围为， 故选：B 9．ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 10．ABD 【分析】由线面平行的判定定理可得∥平面，即点到平面的距离是定值，从而判断A；当为棱靠近的三等分点时，取的三等分点，由面面平行的判定定理可得平面∥平面，判断B；由线面垂直的判定定理可作出二面角的平面角，当与重合时，求得其正切值在外，可判断C不正确；由到点的距离小于等于到正方体每个顶点的距离的点所构成的几何体为由的中垂面围成的正八面体，求其体积，可判断D. 【详解】对于A，因为均为定点，所以的面积为定值. 连接，因为分别是，的中点，所以∥. 因为∥，所以∥. 又平面，平面， 所以∥平面， 所以点到平面的距离是定值. 三棱锥的体积等于三棱锥的体积，且为定值. 故A正确.    对于B， 如图所示，当为棱靠近的三等分点时， 取的三等分点，使得， 则∥，且. 因为∥，且，所以∥，且，所以四边形为平行四边形，所以∥. 因为分别是的中点，所以∥，所以∥. 又平面，平面，所以∥平面； 同理可得∥，从而证得∥平面. 因为平面， 所以平面∥平面.因为平面，所以∥平面. 故B正确.    对于C， 如图所示，取的中点，连接， 易知四边形是平行四边形， 所以∥. 过作，为垂足，则. 由正方体的性质知，平面，所以. 由正方体的性质知，平面，所以. 过作∥，交于，则，. 因为平面， 所以平面， 所以. 所以为二面角的平面角. 且. ， 当与重合时，， 所以. 此时，故C不正确.    对于D， 到点的距离小于等于到正方体每个顶点的距离的点所构成的几何体为由的中垂面围成的正八面体. 记平面的中心为，对应的八面体的一个顶点为， 则. 由，得，解得. 所以该正八面体的六个顶点到的距离均为. 所以其体积是， 故D正确.        11．ACD 【分析】分别利用向量夹角余弦公式、向量数量积与夹角逻辑关系、垂直条件结合二次函数求模长最小值、投影向量公式逐项验证命题真假. 【详解】选项A，由，， 则， ，， 设与的夹角为，所以， 而，则，命题A正确； 选项B，时，，即， 当时，同向共线，满足，但不是锐角. 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，命题B错误； 选项C，由，，， 则，化简得， 而，则， 令，二次函数开口向上，对称轴， 则，即，命题C正确； 选项D，由，， 则，， 则在上的投影向量为，命题D正确. 12． 3 / 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 13．/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    14． 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，从而求得. （2）先根据向量的运算及三角函数恒等变换求出，再利用三角函数值的取值范围求出的取值范围． 【详解】（1）因为，则，即，得. （2） 所以 . 因为，所以， 则，， 因此，即的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的定义以及纯虚数的定义即可求解； （2）先根据复数的除法对复数进行化简，再根据复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）由复数，可得， 则， 因为复数为纯虚数，则满足， 解得． （2）由复数， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得，所以实数a的取值范围为． 17．(1)依题意，，，则是线段的中垂线，即， 又，，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解. （3）根据给定条件，确定球心的位置，再利用球半径表示出锥体及球的体积即可. 【详解】（1）略 （2）记与交于点，连接，如图，作出符合题意的图形， 由，而为的中点，得， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 则平面，取的中点，由，得， 同理，因此为二面角的平面角， 由，，得， 于是，，，， 又，在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． （3）由题意得，，，，五点同在球上，且在平面内， 则为四边形的外心，且、、、四点共圆， 由对称性知，为的中点，且为正的中心， 设球的半径为，则，，，又，于是， 因此，，所以． 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理得，根据余弦定理求得，求出； （2）（ⅰ）根据的面积相等，得；再根据基本不等式，求得，最后根据面积公式求出面积的最小值； （ⅱ）由余弦定理得，结合，得，从而求得的最小值. 【详解】（1），由正弦定理得. 由余弦定理得； ，. （2）由（1）得.令，.   是的角平分线，. （ⅰ），， . ，得. ，，（当且仅当时等号成立）； ，得. ，即面积的最小值为. （ⅱ）在中，由余弦定理得. 由（ⅰ）得，； ； ，当时，取得最小值，即； ，即的最小值为. 19．(1)的最小正周期为，初始相位为 (2)的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简得，利用最小正周期以及初始相位的定位即可求得； （2）结合函数图象变换的“左加右减、上加下减“以及伸缩变换的规律，逆向推导从到的平移、伸缩步骤； （3）根据求出，，；令，将转换为，求解不等式得；根据，求得的最大值. 【详解】（1） ； 的最小正周期，初始相位. （2）由（1）得. 的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象. （3）由（1）得； ； ，. 令，则. 由，得； ，即，得； ， ，； ，，解得，. ，， ，即的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $