精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一下期末考试 数学学科试卷 命题人：刘小乐 审题人：张元坤 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2. 已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 不能确定 3. 已知i为虚数单位，复数z满足|z﹣i|＝|z|，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. ﹣1 4. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 8. 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢下面说法正确的是（ ） A. 小强赢的概率最小 B. 小文赢的概率最小 C. 小亮赢的概率最小 D. 三人赢的概率都相等 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若在直线上，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则 10. 新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（ ） A. 若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分 B. 若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数 C. 该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同 D. 该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则______． 13. 已知复数满足，则的最大值是____． 14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 17. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 18. 已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. （1）证明：； （2）证明：； （3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 19. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省彭州中学2025-2026学年度高2025级高一下期末考试 数学学科试卷 命题人：刘小乐 审题人：张元坤 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知可得，， 因为A，C，D三点共线，所以，共线，则，使得， 即，整理可得 因为，不共线，所以有，解得. 2. 已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A. 一个点 B. 一条直线 C. 一个圆 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】因为||=2， 所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上， 故A点构成的图形是一个圆．选C． 3. 已知i为虚数单位，复数z满足|z﹣i|＝|z|，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】将复数设成代数一般形式，通过条件求出，得出共轭复数的虚部即可. 【详解】解：设复数， 因为， 所以， 即， 即， 得， 所以复数的虚部为. 故选：B． 4. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B. 【考点】复数的运算 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 5. 已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得，为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 【点睛】 本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解. 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，，可能有，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确， 故选：D. 7. 哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（ ） A. 至少有个位置存放了不少于个数据 B. 若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为 C. 若的方差为，则的最小值为，最大值为 D. 若的极差为，则最多有个位置没有存放数据 【答案】D 【解析】 【分析】设为数据除以的余数为的数的个数，利用特例法可判断A选项；求出这个数的值，结合中位数的定义可判断B选项；利用方差的定义可求出的最大值和最小值，可判断C选项；对个位置是否存在空位进行讨论，结合极差的定义可判断D选项. 【详解】设为数据除以的余数为的数的个数， 对于A选项，， 不妨假设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，A错； 对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、， 这些数据除的余数分别为：、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、， 所以，，，，，，，， 将这个数由小到大排列依次为、、、、、、，中位数为，B错； 对于C选项，由题意可知，这个数的平均数为， 且，， 因为，， 当这个数中有个，个时，取最小值， 即， 当这个数中有个，个时，取最大值， 即，C错； 对于D选项，不妨这个数依次为：、、、、、、， 满足极差为，此时，所有位置都有数据， 若存在一些位置没有数据，则这个数据中的最大值为，最小值为， 因为，此时，至少需要个位置存放数据，则至多有个位置没有存放数据，D对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项，主要要对个位置是否存在空位进行讨论，利用特例法结合极差的定义进行判断. 8. 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢下面说法正确的是（ ） A. 小强赢的概率最小 B. 小文赢的概率最小 C. 小亮赢的概率最小 D. 三人赢的概率都相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据所有出现的可能，分别计算每个人能赢的概率，即可解答． 【详解】三人同时各投出一枚均匀硬币，共有以下几种情况（用1表示正，0表示反）： ，，，，，，，， 设事件为小强赢，事件为小亮赢，事件为小文赢， 所以，，，所以是小强赢的概率最小． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若在直线上，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，得，故A错误； 对于B，因为在直线上，所以，则，故B错误； 对于C，若为纯虚数，则，即，此时虚部不为0，故C正确； 对于D，若在第四象限，则，解得，故D正确. 故选：CD 10. 新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（ ） A. 若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分 B. 若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数 C. 该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同 D. 该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出换算模型公式，进行原始分和标准分的计算，得到有关结论. 【详解】对A，由题意得：.所以换算模型为： 由，故A对； 对B，因为函数为增函数，所以标准分不改变原始分的排名顺序，原始分的中位数换算后，得到的标准分仍为中位数，故B对； 对C，由，所以只有原始分是150分时，标准分与原始分相等， 当原式分低于150分时，标准分都高于原始分，所以标准分相比于原始分，分数更集中， 所以标准分的标准差比原始分的标准差要小，故C错误； 对D，因为标准分都不低于原式分，所以原始分的平均分低于标准分的平均分，故D对. 故选：ABD 11. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果. 【详解】因为E为AD的中点，所以， 因为B，D，C三点共线，所以， 所以，解得． 故答案为： 13. 已知复数满足，则的最大值是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模长的几何意义进行求解. 【详解】在复平面内，表示复数在以圆心是，半径为的圆上， 而表示复数对应的点到坐标原点的距离， 所以的最大值就是. 故答案为：7. 14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据勒洛四面体和正四面体的对称性，由正四面体的外接球的球心为勒洛四面体内切球的球心，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去其外接球的半径求解. 【详解】解：如图所示： 设O为底面的中心，为其外接球的球心，半径为R， 由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心， 由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R， 则， 在中，， 解得， 所以该勒洛四面体内切球的半径是 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量模长坐标运算得，再利用向量数量积定义及向量数量积运算律求解即可； （2）由向量夹角余弦值计算公式计算求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， ； 【小问2详解】 由， 所以与的夹角的余弦值为. 16. （1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解； （2）利用复数相等得到关于的方程组，从而得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件的点的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为，小圆半径为， 故所求面积为. （2）因为， ，且， 所以，所以且， 故， 因为，， 所以当时，有最小值为， 所以范围为. 17. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． （2）根据棱台的体积公式计算即可． 【小问1详解】 连接交于点，连接，， 因为为三棱台，，所以， 又为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为， 设三棱台的高为，则， 所以． 18. 已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. （1）证明：； （2）证明：； （3）现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）60kg， 【解析】 【分析】（1）利用定义求出总体平均数即可； （2）利用定义求出总体方差即可； （3）代入（1）、（2）公式可得答案. 【小问1详解】 设第一层有个数，分别为，平均数为，， 第二层有个数，分别为，平均数为，方差为， 则， 所以总体平均数； 【小问2详解】 ， 由可得 ， 同理， ∴ ； 【小问3详解】 由（1）可知，， 即该校所有学生体重的平均数为， 由（2）可知 . 19. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. （1）若，求线段EF的长； （2）若，设，求实数和的值； （3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算可得，两边平方可求解； （2）由已知可得，，可得结论； （3）利用向量的线性关系可得，，计算可得结论. 【小问1详解】 若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； 【小问2详解】 若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； 【小问3详解】 ， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $