3.3 轴对称与坐标变化 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“轴对称与坐标变化”，通过操作发现、例题解析、规律总结等学习支架，引导学生掌握对称点坐标特征、画对称图形及解决最短路径问题。 资料特色突出，以小旗对称、小鱼图案变换等操作活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过坐标关系推理（如例2求对称点坐标）发展推理能力（数学思维），用坐标语言精准描述对称规律（数学语言），助力学生理解知识本质，为教师提供清晰教学路径。初中学生正处于空间观念形成关键期，该资料通过直观操作与逻辑推理结合，符合其认知特点，帮助巩固基础提升应用能力。

轴对称与坐标变化 第三章　位置与坐标 3 探究与应用 1.在图3-3-1所示的平面直角坐标系中,第一、第二象限内各有一面小旗. 探究　 轴对称与坐标之间的变化 操作发现 图3-3-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1)两面小旗有怎样的位置关系?对应点A与A1的坐标有什么关系?其他的对应点也有这个特点吗? 解:(1)两面小旗关于y轴对称,对应点A(2,6)与A1(-2,6)的横坐标互为相反数,纵坐标相同.其他的对应点也有这个特点. 图3-3-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)在这个平面直角坐标系中画出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标 有什么关系? 解:(2)图略.它的各个“顶点”的坐标与其对应点的横坐标相同,纵坐标互为相反数. 图3-3-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(教材典题)(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0), (5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0).你得到了一个怎样的图案? 解:(1)依次连接各点得到的图案如图①所示,它像一条小鱼. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案?这个图案与原图案有怎样的位置关系? 解:(2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),(0,0).依次连接这些点,所得图案如图②所示,它与原图案关于y轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 将操作发现2(1)中图案的各个“顶点”的横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,依次连接这些点,你会得到怎样的图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系? 操作思考 解:图略.得到的图案是与原图案形状相同,大小一样的“鱼”.所得到的图案与原图案关于x轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关于x轴对称的两个点的坐标之间有什么关系?关于y轴对称的两个点呢?坐标具有这样关系的两个点,关于坐标轴对称吗? 思考交流 解:略 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 轴对称与坐标之间的关系: (1)关于x轴对称的两个点的坐标,　　　　坐标相同,　　　　坐标互为相反数;反过来,横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于　　　　轴对称.  (2)关于y轴对称的两个点的坐标,　　　　坐标相同,　　　　坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于　　　　轴对称.  概括新知 横 纵 x　 纵 横　 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 点A(-1,-2)关于x轴对称的点的坐标是　　　　,关于y轴对称的点的坐标是　　　　;点(3,-1)与点(-3,-1)关于　　　　轴对称.  应用1　求关于坐标轴对称的点的坐标 例 1 (-1,2)　 (1,-2)　 　y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 已知点A(a-1,1)与点B(2,b+1)关于x轴对称,求A,B两点的坐标. 例 2 解:因为点A(a-1,1)和点B(2,b+1)关于x轴对称,所以a-1=2,b+1=-1, 所以点A的坐标为(2,1),点B的坐标为(2,-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若点P(a,b)关于y轴的对称点是P1,而点P1关于x轴的对称点是P2,已知点P2的坐标为(-3,4),求点P的坐标. 例 3 解:点P(a,b)关于y轴的对称点是P1(-a,b),点P1(-a,b)关于x轴的对称点是P2(-a,-b). 因为点P2的坐标为(-3,4), 所以-a=-3,-b=4, 所以a=3,b=-4, 则点P的坐标是(3,-4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.点P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y),关于y轴的对称点的坐标为(-x,y). 2.根据点的对称性求坐标的一般思路: (1)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于x轴对称,则x1=x2,y1+y2=0; (2)若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于y轴对称,则x1+x2=0,y1=y2. 善 总结 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图3-3-2,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1). (1)画出△ABC的各点纵坐标不变,横坐标 乘-1后得到的△A1B1C1; (2)画出△A1B1C1的各点横坐标不变,纵坐标乘 -1后得到的△A2B2C2; 应用2　画关于坐标轴对称的图形 例 4 解:(1)(2)如图所示: 图3-3-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)点C1的坐标是　　　　,点C2的坐标是　　　　.    图3-3-2 (-4,-1)　 (-4,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 作一个图形关于坐标轴对称的图形,可依据轴对称的性质作图,也可先确定图形各关键点的对称点的坐标,根据坐标描出对称点后再按原图形的顺序连接. 明 思路 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【延伸拓展】 利用关于坐标轴对称的点的坐标特点解决最短路径问题 如图3-3-3,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(4,2),P是x轴上任意一点,求当PA+PB有最小值时点P的坐标. 解:如图,作点A关于x轴的对称点A',连接BA'与x轴交于点P,此时PA+PB有最小值,过点B作BC⊥x轴于点C. 因为A(0,2),所以A'(0,-2),所以OA'=2. 图3-3-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为B(4,2),所以OC=4,BC=2,所以OA'=BC. 在△OA'P和△CBP中, 因为∠OPA'=∠CPB,∠A'OP=∠BCP=90°,OA'=CB, 所以△OA'P≌△CBP(AAS), 所以OP=CP. 又因为OC=OP+CP=4, 所以OP=2, 所以点P的坐标为(2,0). 图3-3-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据轴对称求线段和的最小值的方法 根据轴对称求线段和的最小值,就是借助轴对称的性质作对称点,将线段和的最小值问题转化为两点间的距离问题. 学 方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.在平面直角坐标系中,将△ABC上所有点的横坐标都乘-1,纵坐标不变,得到新的三角形,则 (　　) A.两个三角形关于x轴对称 B.两个三角形关于y轴对称 C.两个三角形重合 D.两个三角形的形状改变,大小也改变 | 课堂检测 | B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,-7),(3,7),则点A,B关于　　　　对称.  3.若点P(2,-3)与点Q关于y轴对称,则点Q的坐标是　　　　.  x轴 (-2,-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.如图3-3-4,△ABC在平面直角坐标系中. (1)写出点A,B,C的坐标; 解:(1)A(0,4),B(-2,2),C(3,0). 图3-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1,B1,C1的坐标. 解:(2)如图,△A1B1C1即为所求. A1(0,-4),B1(-2,-2),C1(3,0). 图3-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $